专题特训八 相似三角形中的类比探究、新定义问题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(人教版)

拔尖特训·数学（人教版）九年级下 专题特训)八 相似三 新定义 类型一相似三角形的类比探究型题 1.(2025·开封通许期末)在四边形ABCD中， E,F分别是AB,AD边上的点，DE与CF 交于点G. [特例解析 (1)如图①，若四边形ABCD是矩形，且 DE1CF,求证：A, CF AB [类比探究 (2)如图②，若四边形ABCD是平行四边形， CF AB 且∠B+∠EGC=180,求证：DE一AD: D ① ② (第1题) 46 角形中的类比探究、 问题 “答案与解析”见P28 类型二相似三角形的新定义型题 2.给出定义：抛物线y=ax2十bx+c(a≠0)与 x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,连接 AC,CB,若满足△ACO∽△CBO,则这样的 抛物线被称为“相似抛物线”.如图，二次函数 y=a.x2十bx+2(a≠0)的图象是“相似抛物 线”，且AC=2√5，则此抛物线的对称轴为 (第2题) 3.(2024·运城一模)如图①，在四边形ABCD 的边AB上取一点E(点E不与点A,B重 合)，分别连接ED,EC,可以把四边形 ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三 角形相似，那么我们把E叫做四边形ABCD 的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形 都相似，那么我们把E叫做四边形ABCD的 边AB上的“强相似点”. A B (第3题①) (1)如图②，在四边形ABCD中，∠A= ∠B=∠DEC. ①试判断E是否为四边形ABCD的边AB 上的“相似点”，并说明理由 ②若E为边AB的中点，求证：E为四边形 ABCD的边AB上的“强相似点” (2)如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使，点 D落在边AB上的点E处.若E恰好是四边 形ABCM的边AB上的一个“强相似点”，试 探究线段AB与BC之间的数量关系. AE B ⑨ ⊙ (第3题) 4.定义：P是△ABC内部或边上的点 (顶点除外)，在△PBC,△PAB或 △PCA中，如果有一个三角形与 △ABC相似，那么称P是△ABC的“相似点” (1)如图①，在△ABC中，AB=AC,∠A= 36°，P是AB上一点，CP平分∠ACB,求证： P为△ABC的“相似点”， (2)如图②，△ABC为锐角三角形，E是 △ABC的“相似点”，且点B与点A对应，点 E在∠ABC的平分线BF上，连接CE.若 C-号求部的值 第二十七章相似 (3)如图③，在菱形ABCD中，E是AB上 点，F是△ABC内一点，且AC=4EF,连接 DE与AC交于点G,连接DF,GF.若G是 △DEF的“相似点”，且∠EDF=∠BAC= ∠FGC,求证：DE=2EF ② ③ (第4题) 47-3a+m=-1, 得方程组 由点B到 0Xa+n=2, 3a+m=2, 点B,可得方程组 解得 0×a+n=2, a=2 1设点F的坐标为(x,y). m=2 n=2. 点F与点F重合，得到方程组 1 2x+2 x, x=1, 解得 即点F 2y+2=y, y=4, 的坐标为(1,4). 8.√10-1或√10+1 解析：”y=一2x2+x+4 之-1)+号抛物线的对称 轴为直线x=1,则点D的坐标为 (1,0).又，点E的坐标为(0,1)，且 点E与点F关于直线x=1对称， ∴点F的坐标为(2,1).如图，作直线 DE和DF,与抛物线分别交于点P, P'和点Q,Q',连接PQ,P'Q'.设直线 DE对应的函数解析式为y=k.x十b. 将D(1,0),E(0,1)代人，得 k+b=0,. k=-1, 解得 .直线DE b=1, b=1. 对应的函数解析式为y=一x十1.联 {y=-x+1, 立 解得 by=-2x2+x+4 2=2-√0，x2=2+√10， y=-1+√10，y2=-1-√10. ∴.点P的坐标为(2-√10，-1十 √10)，点P'的坐标为(2+√0， 一1一√10).同理可得，点Q的坐标 为（√0，-1+√10），点Q的坐标 为(-√0，-1-√0)..PQ∥ x轴，P'Q∥x轴.又EF∥x轴， .EF∥PQ∥P'Q.∴.△DEF∽ △DPQ,△DEF△DP'Q',即 △DPQ和△DP'Q'都是△DEF以点 D为位似中心的位似图彩，：器 √10-(2-√10) 2 =√10-1， p'Q_+而=-)=√0+ EF 2 1,'.△DPQ与△DEF的相似比的 值为√10-1或√10+1. D (第8题) 9.(1):抛物线的对称轴为直线 x=2, =2,解得b=一 4 1 2× ,抛物线与x轴交于点A(1,0), 十c=0,解得c=是 '.抛物线对应的函数解析式为y= 3 (2)存在. :地物线)=日x-台4十号与 x轴交于点A(1,0)和点B,对称轴为 直线x=2, ∴.点B的坐标为(3,0). .OA=1,OB=3. .△OAC与△OBD位似，位似中心 为点O, .'.△OAC与△OBD的相似比为 1:3. 点C在抛物线的对称轴上， .点C的横坐标为2， '.点D的横坐标为6. :点D的纵坐标为号×6- 3 66 =3 ∴.点D的坐标为(6,3). 10.(1)一次函数y=k.x十b与 y=一2x十4是“平行一次函数”， 28 .k=-2 函数的图象过点(3,1)， .把(3,1)代入y=-2x+b,得 -2×3+b=1. .b=7. (2)由题意，得函数y=-2x十b的图 象为如图所示的直线A,B1或A2B2 :相似比为2，A(2,0)。 ∴.A1(1,0),A2(-1,0). 将A,(1,0)代人y=-2x+b,得b= 2;将A2(-1,0)代入y=-2x+b,得 b=-2. .函数y=kx十b的解析式为y= -2x+2或y=一2x-2. 6 4￥ B 3 A -0八入345x -2B2 (第10题) 专题特训八相似三角形 中的类比探究、新定义问题 1.(1),四边形ABCD是矩形， .∠A=∠AIDC=90,AB=CD. .DE⊥CF, ∴.∠FGD=90° ∴.∠ADE+∠CFD=∠DCF+ ∠CFD=90°， .∠IDCF=∠ADE. .△DCFC∽△ADE. +器器 又AB=CD, 需 (2)如图，在AD的延长线上取点M, 使CM=CF」 ∴.∠CMF=∠CFM, ,四边形ABCD是平行四边形， '.ABCD,AD∥BC,AB=CD ∴.∠A=∠CDM,∠B+∠A=180°. :∠B+∠EGC=180,∠EGF+ ∠EGC=180°， ∴.∠EGF+∠A=180°. ∴.∠AED+∠AFG=180°. ,'∠CFM+∠AFG=180°， .'.∠AED=∠CFM=∠CMF .'.△DCMp△ADE. 00 又·AB=CD,CM=CF, CF AB DE AD' A M E (第1题) 2.直线x=-1.5 3.(1)①E是四边形ABCD的边 AB上的“相似点” 理由：设∠A=∠B=∠DEC=a,则 ∠ADE+∠DEA=180°-a, ∠BEC+∠DEA=180°-a. ∴.∠ADE=∠BEC. 又：∠A=∠B, '.△ADEO△BEC. ∴.E是四边形ABCD的边AB上的 “相似点” ②由①，得△ADE∽△BEC. “器 E为AB的中点， .'.AE=BE. ·器 “膘 又：∠B=∠DEC, ∴.△BEC∽△EDC. ∴.△ADE∽△BEC∽△EDC. ∴.E为四边形ABCD的边AB上的 “强相似，点”， (2)由折叠的性质和矩形的性质，得 ∠MEC=∠D=90°=∠A=∠B= ∠BCD,∠DCM=∠ECM,EC= DC=AB. ,'E恰好是四边形ABCM的边AB 上的一个“强相似点”， .'.△AME∽△BECc∽△EMC ∴.∠BCE=∠ECM=∠DCM= 3∠BCD=30, BE=2 EC CD=AB, BE√5 BC 3 “提器2 3 ·AB25BC 3 4.(1)AB=AC,∠A=36, ∠B=∠ACB=2X(180° 36)=72 ,CP平分∠ACB .∠ACP=∠BCP=36. .∠BCP=∠A. :∠B=∠B, ∴.△BCP△BAC. '.P为△ABC的“相似点” (2)E是△ABC的“相似点”，且点 B与，点A对应，点E在∠ABC的平 分线上， ∴.易得△BECc∽△ACB. ∴.∠EBC=∠A. BF平分∠ABC, ∴.∠ABF=∠CBF=∠A: .FA=FB :∠BCF=∠ACB,∠CBF=∠A, .△CBFn△CAB. “需器是 (3)G是△DEF的“相似点”， ∠GEF=∠FED, ∴.△GEF∽△FED. ∴.∠EFG=∠EDF :∠EDF=∠BAC=∠FGC, '.∠EFG=∠FGC. ∴.AC∥EF 如图，分别延长EF,DC,交于点H. :四边形ABCD是菱形， .AB∥DC. ,AC∥EF, ∴.四边形AEHC是平行四边形 29 .AC=EH,AE=CH,/EAC= ∠H. ∠EDF=∠BAC, ∴.∠EDF=∠H. 又，∠DEF=∠HED, '.△EDFc∽△EHD. ED EF ·E开ED ∴.ED=EF·EH. EH=AC=4EF, .DE2=4EF2. ∴.DE=2EF B (第4题) 第二十七章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1A [变式] 25 7 典例2 5 4 cm 解析：如图，过点B 作BE⊥DE于点E,则∠BED=9O 由题意，知BD=17cm,BC=6cm, BE=8cm,∠C=90°，AB∥DE,AC∥ BD.∴.∠CAB=∠DBA=∠BDE. 又∠C=∠BED=90, AB BC .△CAB∽△EDB.DB=BE ..AB= 51 4 cm. 8cm D (典例2图) [变式]如图，过点E作HG∥DB, 交AB于点G,交CD于点H. 由题意，可得DH=EF=GB=0.5米， EH=DF=2米，EG=FB=6米， ∴.CH=CD-DH=1.7-0.5=1.2(米). 根据题意，得∠CHE=∠AGE=90°， ∠CEH=∠AEG, .'.△CHEc∽△AGE