27.3 第2课时 平面直角坐标系中的位似-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(人教版)

拔尖特训·数学（人教版）九年级下 第2课时 平面直角坐标系中的位似 >“答案与解析”见P27 自基础进阶 (1)请画出△ABC向左平移6个单位长度后 1.(2025·内蒙古)如图，在平面直角坐标系中， 得到的△A1B1C1(点A,B,C的对应点分别 △OAB的顶点坐标分别是O(0,0),A(2,1), 为A1,B1,C1). B(1,2),以原点O为位似中心，在第三象限 (2)以点O为位似中心，将△ABC缩小为原 画△OA'B'与△OAB位似.若△OA'B'与 来的)，得到△A,B,C2,请在y轴右侧画出 △OAB的相似比为2：1，则点A的对应点 △A2BC2(点A,B,C的对应点分别为A2, A'的坐标为 ( B2,C2). 幻素能攀升 4.(2025·浙江)如图，五边形ABCDE, A'B'CD'E是以坐标原点O为位似中心的 位似图形，已知点A,A'的坐标分别为(2,0)， (3,0).若DE的长为3，则DE的长为() (第1题) 7 A.(-2,-1) B.(-4,-2) A. B.4 C.(-1,-2) D.(-2,-4) C. 9 2 D.5 2.（2025·淮安金湖一模)在平面直角坐标系 中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(5,0), B(6,4),C(3,0),将△ABC以坐标原点O为 位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后 C 的点B所对应的点的坐标为 3.(2025·吴忠盐池一模)如图，在平面直角坐 标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是 (第4题) (第5题) A(2,2),B(4,0),C(4,-4). 5.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的 边长均为1个单位长度，以点P为位似中心 作正方形PA1A2A3,正方形PA4A5A6… 按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格 -5-43210 点上，其中正方形PA1A,A3的顶点坐标分 ~t 别为P(-3,0),A1(-2,1),A2(-1,0), A3(一2，-1)，则顶点A1的坐标为() -5 A.(31,34) B.(31,-34) (第3题) C.(32,35) D.(32,0) 44 第二十七章相似 6.*如图，直线y=2x十1与x轴交 物线上是否存在点D,使得△OAC与 △OBD位似，且位似中心为点O?若存在， 于点A,与y轴交于点B,△BOC与 求出点D的坐标；若不存在，请说明理由， △B'O'C'是以点A为位似中心的位似图形， 且相似比为，则点B的对应点B'的坐标为 0 (第6题) 7.如图，把正方形ABCD及其内部的每个点的 横、纵坐标都乘同一个实数α，将得到的点先 向右平移m个单位长度，再向上平移n个单 位长度(m>0,n>0),得到正方形A'B'C'D 思维拓展 及其内部的点，其中点A,B的对应点分别为 10.如果两个一次函数y=k1x十b1和y A',B'.已知正方形ABCD内部的一个点F k2x十b2满足k1=2,b1≠b2,那么称这 经过上述操作后得到的对应点F'与点F重 两个一次函数为“平行一次函数”.如图，函 合，则点F的坐标为 数y=一2x+4的图象与x轴、y轴分别交 于A,B两点，一次函数y=kx+b与y= 一2x十4是“平行一次函数” (1)若函数y=kx十b的图象过点(3,1)，求 (1,2) (2,2) b的值. (-3,0) (3,0) (2)若函数y=k.x十b的图象与两坐标轴围 (第7题) (第8题) 成的三角形和△AOB构成位似图形，位似 8.如图，D是抛物线y= 2x2+x+ 中心为原点0，相似比为？，求函数y= 4的对称轴与x轴的交点，点E的 kx十b的解析式. 坐标为(0,1)，点E与点F关于抛物线的对 称轴对称，连接DE,DF,EF,P,Q是抛物线 上的两个动点.若△DPQ与△DEF是以 3 1 点D为位似中心的位似图形，则△DPQ与 A -1012345元 △DEF的相似比的值为 -1 -2 9.已知抛物线y=5x+br十c与x轴交于点 (第10题) A(1,0)和点B,对称轴为直线x=2. (1)求抛物线对应的函数解析式. (2)若C为抛物线的对称轴上一点，则在抛 45(2)如图②所示 D E 0 ① r-- ② (第7题) 8.(1)42. 解析：正方形 ABCD与四边形A'B'CD'是位似图 形，.四边形A'BCD'是正方形 ∴.∠A'B'C=90°.∴.A'C是四边形 A'B'CD'的外接圆的直径.，正方形 ABCD的边长为4，A'B:AB=2: 1,∴.A'B=8.∴.A'C=VW82+82= 8√2..四边形A'B'CD'的外接圆半 径为4√2 (2)由题意，得CD′=A'B′=8， CD=AB=4. :点D'在线段CD的延长线上， ∴.∠CD'C'+∠D'C'C=90. 又∠CD'C+∠AD'D=90°， ∴.∠D'C'C=∠A'D'D. 又：∠D'CC'=∠A'DD'=90°， C'D'=D'A', .△D'C'C≌△A'DD. .CC'=DD'. 设CC=DD'=x. 在Rt△CCD'中，CC2+CD2= C'D'2, ∴.x2+(x十4)2=82，解得x=27 2(负值舍去)： .DD'的长为27-2. 9.(1)如图①②，矩形DEFG即为所 求作的图形 (2)在矩形DEFG中，当DE=2DG 时，如图③，作△ABC的高AM,交 GF于点N,则AN⊥GF :△ABC的面积=号BC·AM 之×12×AM=36 ∴.AM=6. 设AN=x,则DG=MN=6-x, DE=GF=2(6-x)=12-2.x. :GF//BC, .∴.△AGFC∽△ABC GF AN BC-AM' :12g=看解得x=3 12 .'.DG=6-x=3,DE=2DG=6. .矩形DEFG的面积=6×3=18. 在矩形DEFG中，当DG=2DE时， 同理可求得AN=E 5 .DG=6- 5 5 DE 6_24 G=号 12 ∴.矩形DEFG的面积= 6 综上所述，矩形DEFG的面积为18 288 或251 BHD I 1 K B HDI E ② B DM E ③ (第9题) 第2课时平面直角坐标系 中的位以 1.B2.(3,2)或(-3，-2) 3.(1)如图，△A1B1C1即为所求. 27 (2)如图，△A2BC2即为所求， y (第3题) 4.C 5A解析：由题意，可知A1(-2, 1),A4(-1,2),A2(0,3).1=3× 0+1,4=3×1+1,7=3×2+1,, 100=3×33十1，这组点的横坐标规律 为-2=0-2，-1=1-2,0=2 2,…,纵坐标规律为1=0十1,2=1十 1,3=2十1，…，.J顶，点A1m的坐标为 (33-2,33+1),即(31,34) 6.(4,3)或(-8，一3)解析：由直线 1 y=2x十1与x轴交于点A,与y轴 交于点B,易得A(一2,0)，B(0,1. :△BOC与△BO'C的相似比为 390分50m=2 1 OB=1,.O'A=6,OB′=3..点A 为位似中心，∴.易得点B的坐标为 (4,3)或（一8，-3） 方法归纳 画位似图形的方法 (1)确定位似中心；分别连接 并延长位似中心和能代表原图的 关键点：根据相似比，确定能代表 所作的位似图形的关键，点：顺次连 接上述各点，得到放大或缩小的 图形 (2)以原，点为位似中心的两个 位似图形中，如果相似北为k,那么 点(a,b)的对应点的坐标为(ka, kb)(位似图形在原点的同侧)或 (一ka,一kb)(位似图形在原点的 两侧). 7.(1,4)解析：由点A到点A',可 -3a+m=-1, 得方程组 由点B到 0Xa+n=2, 3a+m=2, 点B,可得方程组 解得 0×a+n=2, a=2 1设点F的坐标为(x,y). m=2 n=2. 点F与点F重合，得到方程组 1 2x+2 x, x=1, 解得 即点F 2y+2=y, y=4, 的坐标为(1,4). 8.√10-1或√10+1 解析：”y=一2x2+x+4 之-1)+号抛物线的对称 轴为直线x=1,则点D的坐标为 (1,0).又，点E的坐标为(0,1)，且 点E与点F关于直线x=1对称， ∴点F的坐标为(2,1).如图，作直线 DE和DF,与抛物线分别交于点P, P'和点Q,Q',连接PQ,P'Q'.设直线 DE对应的函数解析式为y=k.x十b. 将D(1,0),E(0,1)代人，得 k+b=0,. k=-1, 解得 .直线DE b=1, b=1. 对应的函数解析式为y=一x十1.联 {y=-x+1, 立 解得 by=-2x2+x+4 2=2-√0，x2=2+√10， y=-1+√10，y2=-1-√10. ∴.点P的坐标为(2-√10，-1十 √10)，点P'的坐标为(2+√0， 一1一√10).同理可得，点Q的坐标 为（√0，-1+√10），点Q的坐标 为(-√0，-1-√0)..PQ∥ x轴，P'Q∥x轴.又EF∥x轴， .EF∥PQ∥P'Q.∴.△DEF∽ △DPQ,△DEF△DP'Q',即 △DPQ和△DP'Q'都是△DEF以点 D为位似中心的位似图彩，：器 √10-(2-√10) 2 =√10-1， p'Q_+而=-)=√0+ EF 2 1,'.△DPQ与△DEF的相似比的 值为√10-1或√10+1. D (第8题) 9.(1):抛物线的对称轴为直线 x=2, =2,解得b=一 4 1 2× ,抛物线与x轴交于点A(1,0), 十c=0,解得c=是 '.抛物线对应的函数解析式为y= 3 (2)存在. :地物线)=日x-台4十号与 x轴交于点A(1,0)和点B,对称轴为 直线x=2, ∴.点B的坐标为(3,0). .OA=1,OB=3. .△OAC与△OBD位似，位似中心 为点O, .'.△OAC与△OBD的相似比为 1:3. 点C在抛物线的对称轴上， .点C的横坐标为2， '.点D的横坐标为6. :点D的纵坐标为号×6- 3 66 =3 ∴.点D的坐标为(6,3). 10.(1)一次函数y=k.x十b与 y=一2x十4是“平行一次函数”， 28 .k=-2 函数的图象过点(3,1)， .把(3,1)代入y=-2x+b,得 -2×3+b=1. .b=7. (2)由题意，得函数y=-2x十b的图 象为如图所示的直线A,B1或A2B2 :相似比为2，A(2,0)。 ∴.A1(1,0),A2(-1,0). 将A,(1,0)代人y=-2x+b,得b= 2;将A2(-1,0)代入y=-2x+b,得 b=-2. .函数y=kx十b的解析式为y= -2x+2或y=一2x-2. 6 4￥ B 3 A -0八入345x -2B2 (第10题) 专题特训八相似三角形 中的类比探究、新定义问题 1.(1),四边形ABCD是矩形， .∠A=∠AIDC=90,AB=CD. .DE⊥CF, ∴.∠FGD=90° ∴.∠ADE+∠CFD=∠DCF+ ∠CFD=90°， .∠IDCF=∠ADE. .△DCFC∽△ADE. +器器 又AB=CD, 需 (2)如图，在AD的延长线上取点M, 使CM=CF」 ∴.∠CMF=∠CFM, ,四边形ABCD是平行四边形， '.ABCD,AD∥BC,AB=CD ∴.∠A=∠CDM,∠B+∠A=180°. :∠B+∠EGC=180,∠EGF+ ∠EGC=180°，