专题特训七 相似与函数的综合-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(人教版)

拔尖特训·数学（人教版）九年级下 专题特训七 相似与函数的综合 “答案与解析”见P24 类型一相似与一次函数的综合 类型二 相似与反比例函数的综合 1.如图，设一次函数y=2x十2的图象为直线 3.如图，在平面直角坐标系 中，△ABC的顶点C在 L,直线l与x轴、y轴分别交于点A,B. 4 (1)点A的坐标为 ;点B的坐标为 反比例函数y一上位于第 象限的图象上，顶点A (第3题) (2)若直线m过点P(-3,0),直线l,m与 在x轴的负半轴上，顶点 x轴围成的三角形和直线l,m与y轴围成的 B在反比例函数y一(k≠0)位于第四象限 三角形相似，则直线m与y轴的交点N的坐 标为 的图象上，BC边与x轴交于点D,BD 3CD,AC边与y轴交于点B,AE=号AC B A户 若△ABD的面积为，则k= 4.已知过原点的一条直线1与反比例函数y (第1题) 2.如图，一次函数y=kx十b(k≠0)的图象与 冬〔>0)的图象交于A,B两点（点A在点B x轴、y轴分别交于A,B两点. 的右侧).C是反比例函数图象上位于点A上 (1)求这个一次函数的解析式， 方的一动点，连接AC并延长交y轴于点D, (2)通过观察图象，求关于x的不等式kx十 连接CB交y轴于点E,若AC=mCD,BC b<0的解集. nCE,求n-m的值. (3)在x轴的正半轴上是否存在点P,使 △AOB和△POB相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由， (第2题) 40 第二十七章相似 类型三相似与二次函数的综合 8.如图，二次函数y=m.x2十2m.x一 5.如图，抛物线y=一x2+1的顶点为P,A是 3m(m>0)的图象与x轴交于A,B 第一象限内该二次函数图象上一点，过点A 两点（点A在点B的左侧），与y轴 作x轴的平行线交二次函数的图象于点B, 交于点C,顶点为D.当m取何值时，以A, 分别过点B,A作x轴的垂线，垂足分别为 D,C三点为顶点的三角形与△OBC相似？ C,D,连接PA,PD,PD交AB于点E,则 △PAD与△PEA的关系是 () A.始终相似 B.始终不相似 C.只有AB=AD时相似 D.无法确定 (第8题) D D 0 0 (第5题) (第6题) 6.如图，二次函数y=一x2十bx十c(b,c为常 数)的图象经过点A(3,1),C(0,4),顶点为 M,过点A作AB∥x轴，交y轴于点D,交该 二次函数的图象于点B,连接BC.P是坐标 平面内的一点，如果△ACB与△MCP相似， 且CM的对应边为AC,那么点P的坐标为 7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y= x2+bx+c的图象经过点A(3,0),B(0,6), 点P在这个二次函数的图象上，过点P作 PD⊥y轴，垂足为D,连接AB,OP.若 △POD与△AOB相似，求符合条件的点P 的坐标. (第7题) 4,∠GFE=∠ADG=90, 1F=2AE-2年+aB-n. 在Rt△ECH中，易知CH=1, EH=5, ∴.在Rt△EFH中，FH= √(W7)2-(3)2=2. .CF=2+1=3. .∴.DF=CD-CF=1. 6.2√14解析：如图，连接AC,AE, AC与BE交于点L.:四边形 ABCD是矩形，且矩形ABCD内接于 ⊙O,∴.∠D=∠BAD=90°.∴.AC 是⊙O的直径.AF=1,EG= FG=3,∴.∠BEC=∠GFE= ∠AFB.∠BEC=∠BAC, .∠AFB=∠BAC.∴.∠ALB= ∠GAC+∠AFB=∠GAC+ ∠BAC=∠BAD=90°.∴.∠GAC= ∠ABE=90°-∠BAC.∠ABE= ∠ACG,∴.∠GAC=∠ACG .CG=AG=AF+FG=1+3=4. :∠CDG=∠AEG=90°，∠CGD= ∠AGE,.△CDGC∽△AEG. “瓷 =1.DG=EG=3. .AD=AG+DG=4+3=7,CD= √CG-DG=√42-3=√7. ∴.AC=√AD2+CD= √72+(7)=2√4.∴.⊙0的直径 为2√14 0 (第6题) 7.(1)如图，连接O℃，OD OC=OD, .∠OCD=∠ODC. CE=DF, .△OCE2△ODF. .OE=OF “8恶8器 .易得EF∥AB. ∴.CD∥AB. (2)如图，连接AF △OCE≌△ODF, ∴.∠COE=∠DOF .AB=BD, ∴.∠AOB=∠DOF. ∴.∠AOB=∠DOF=∠COE. .OA=OD, ∴.△AOF≌△DOF. ∴.∠OAF=∠ODF=∠OCE. :∠OCE=∠OAF,∠OEC= ∠AEF, ∴.△OEC∽△FEA. ∴.∠COE=∠AFE. CD//AB, ∴.∠FAB=∠AFE. .∴.∠FAB=∠AOB. 又，∠ABF=∠OBA, ∴.△BAF∽△BOA. “崇器 .AB2=BF·OB. 0 (第7题) 8.(1).∠CDE=∠BDA,∠E= ∠A, .△CED△BAD. (2)过点D作DF⊥EC于点F. ,△ABC是边长为6的等边三 角形， ∴.∠A=60°，AC=AB=6. DC=2AD, ∴.AD=2,DC=4. :△CED∽△BAD, 器器 EC DE 62 24 ∴.EC=3DE ,∠E=∠A=60°，DF⊥EC, .∠EDF=90°-60°=30. .DE=2EF. 设EF=x,则易得DE=2x,DF= √3x,EC=6x. ∴.FC=EC-EF=5.x 在Rt△DFC中，DF2+FC2=DC, .(5x)2+(5.x)2=42,解得x= 9成 2(不合题意，舍去). CE=6x27_127 7 专题特训七相似 与函数的综合 1.(1)(-4,0)(0,2)(2)(0, 6)或(0,6) 2.(1)把A(-1,0),B(0,2)代人 0=一k十b, y=kx十b,得 解得 2=b, k=2, b=2. .这个一次函数的解析式为y= 2x+2. (2)不等式kx+b<0的解集是 x<-1. (3)存在 有两种情况： ①如图①. ,x轴⊥y轴， .∠AOB=∠BOP. 当器器即号时， 则OP=1. 点P在x轴的正半轴上， .点P的坐标为(1,0) ②如图②. 当808邵即g品时. 则OP=4. :点P在x轴的正半轴上， .点P的坐标为(4,0) 综上所述，点P的坐标为(1,0)或 (4,0). ① B 0 ② (第2题) 3.-3.5解析：如图，过点C作 CF⊥AD于点F,过，点B作BH⊥AD 于点H,则OE∥CF∥BH. '.△AFCC)△AOE,△CDF∽ △DH新祭需篇 品：△ABC的顶点C在反比例西 数y=兰位于第一象限的图象上， ·设C(x,)x>0),则0F=x, CP=兰.“BC边与x轴交于点D, BD=CD,AC边与y轴交于点R, AE-AC,CD=2BD.AC- 2AE.∴.AF=2OF=2x,BH= 2CF=是÷B(受-)月 OH=-经.FH=OH OF=-号-.：DPF+DH=DF+ DF=FH,DF=号FH (号-)=-号-号 :△ABD的面积为号号AD· 2,解得k=-3.5. (第3题) 4.如图，过点A,B,C分别作y轴的 垂线，垂足分别为G,H,F .'.CF∥AGBH. ∴.△DFC∽△DGA,△FCEC∽ △HBE. DF CF DC CE CF EF ·DC-AGDA'BEB丽EF BC=nCE, “品 EF CE CE 一BE BC-CE 1 n-1' .BH=(n-1)CF. FC//GA,AC=mCD, “品器m “器器器P而 DF 1 m十1 ∴.AG=(m+1)CF 根据对称性，可得BH=AG= (m+1)CF. .(m+1)CF=(n-1)CF. .m+1=n-1. .∴.n-m=2. (第4题) 5.A解析：由题意，得抛物线y= 一x2+1的顶点P的坐标为(0,1). 设A(t,-t2+1),则D(t,0).设直线 PD对应的函数解析式为y=kx十b. 25 把P(0,1),D(t,0)代入，得 1 b=1, 解得 k+6=0, k=一7’.直线 b=1. PD对应的函数解析式为y=一上 1当y=-+1时，-7x+1= 一t2+1,解得x=t3,则E(t3,-t+ 1).:PA2=t2+(-t2+1-1)2= t2+t+,PE·PD= w√/(t)2+(-t2+1-1)z· Wt2+1=√/t(t2+1)2=t2(t2+ 1)=t+t2,.PA=PE·PD,即 PA:PE=PD:PA.,∠APE= ∠DPA,'.△PAEO△PDA. 6(告4)或(o,)或(1，)或 （子d）解析：把A3,1D.C0, 代人y=-x2+bx+c,得 1二-9+30+0解得6=2二次 4=c, c=4. 函数的解析式为y=一x2十2x十4. ,△ACB与△MCP相似，且CM的 对应边为AC,.△ACB∽△CMP或 △CABc△CMP.易知点A,B,C,M 的坐标分别为(3,1)，（一1,1），(0,4)， (1,5),则AB=4,BC=10,AC= 3√2，CM=√2.①如图①，当 △ACB∽△CMP时，则AC=BC MPM 即2-4 AB PM-Cp,解得PM= (s-4)2=1 9,(r-1)2+(s-5)2= 号，解得7=号=4或7=0s=号 点P的坐标为（告4）或(0，） ②如图②，当△CAB△CMP时，同 理可得心=四，Mn=青设 P(m,),则m2+(n-4)2=10, 91 (m-102+(a-52-5,解得m=1, 号或m==点P的 坐标为(1，号)或(-了5).综上所 述，点P的坐标为（专，4）或 (o,)或(1，)或(-3,5 D ① M ② (第6题) 7.将A(3,0),B(0,6)代入y=x2+ bx+c,得b=-5,c=6. .二次函数的解析式为y=x2 5x+6. A(3,0),B(0,6), ∴.A0=3,OB=6. 设P(m,m2-5m+6). PD⊥y轴， .点D的坐标为(0，m2一5m十6)， .PD=m,OD=m2-5m+6. ①当△PDO△BOA时， B0-A0,即m=21m2-5m+61, PD OD 解得m=号或m=4 ②当△PDO∽△AOB时， 同理可得m=1或m=6. ∴.符合条件的点P的坐标为(1,2)或 6,12或（号，）或4,2》， 8.由题意，可知A(-3,0),B(1,0), C(0,-3m),D(-1,-4m). ①当∠ACD=90时，如图①，过点D 作DH⊥OC于点H. .·∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+ ∠DCH=90° ∴.∠CAO=∠DCH. :∠AOC=∠CHD=90, ,'.△AOC△CHD “器品 3-3m m 1 ∴.m=1或m=-1(舍去)， .C(0,-3),D(-1,-4). ∴.AC=3√2，CD=√2 “部瑞8 “答带 ,∠ACD=∠COB=90, '.△DCA∽△BOC. ②当∠ADC=90时，如图②，过点D 作DH⊥OC于点H,过点A作AE⊥ DH交HD的延长线于点E 同理，可得△AED∽△DHC 品器 9总 m=之或m= 马( .易得AE=2√2，AD=25 显然此时△ADC与△OBC不相似. 综上所述，当m=1时，以A,D,C三 点为顶点的三角形与△OBC相似. D ① B 日H ② (第8题)》 26 27.3位似 第1课时位似图形的概念 及画法 1.B2.9 3.(1)如图，△A,B,C1即为所求. (2)如图，△A2BC2即为所求. BA=CC,BA//CC2. (第3题) 4.C5.D 6.3解析：△OAB与△OCD是 以点O为位似中心的位似图形， .△OAB∽△OCD.. OA OB OC-OD ,AE,CB分别是△OAB,△OCD的 中线8器器器8股又 ∠O=∠O,∴.△OAEn△OCB. :△OAE与△OCB对应点的连线都 经过同一点，对应边平行或在同一条 直线上，∴.△OAE与△OCB是位似 图形.同理，可知△ABE与△CDB是 位似图形.∴题图中的位似三角形共 有3对. 方法归纳 判断两个图形是否为 位似图形的思路 两个图形是位似图形，必须同 时满足下列条件：首先，两个图形 必须相似：其次，每组对应顶点的 连线交于一点；最后，位似图形的 对应线段平行或在同一条直线上， 7.(1)如图①所示.