专题特训六 相似与平面图形的综合-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(人教版)

AB-PB-(CN+MN)=(x- 3.4)m 0.8 .AB≈7.3m ∴.樱花树AB的高度约为7.3m 方法归纳 利用镜子的反射测量物体的 高度时隐含的条件 利用镜子的反射测量物体的 高度时，反射角与入射角相等是判 定两个三角形相似的隐含条件. 专题特训六相似 与平面图形的综合 1.(1)2(2)96 2.(1)·四边形ABCD为平行四 边形， .AB=CD,AB//CD. .∠AEM=∠F CE⊥AB, ,.CE⊥CD ∴.∠ECF=90°. AD=2AB,M是边AD的中点， .'AM=MD=AB .DM=DC. ∴.∠DMC=∠DCM. 在△AEM和△DFM中， |∠AEM=∠DFM, ∠AME=∠DMF, AM-DM, ∴.△AEM≌△DFM. .EM=FM. ∠ECF=90, CM-EM-FM-TEF. '.∠MCF=∠F '.∠DMC=∠F=∠MCF ∠EMC=∠F+∠MCF, .∴.∠EMC=2∠DMC. (2)由(1)，知∠DMC=∠F」 ,∠MCD=∠FCM, .'.△MCD∽△FCM. 瓷畏 '.CM=CD·CF. AB=CD, '.CM=AB·CF 3.D 4.B解析：，四边形ABCD为正方 形，∴.AB=AD,∠BAD=∠ADC= ∠ABC=90°.如图①，把△ADF绕点 A顺时针旋转90°得到△ABG, .∴.∠ABG=∠ADF=90°，AG=AF, BG=DF,∠DAF=∠BAG, ∠FAG=90°.'.点G在CB的延长 线上.'.EG=BE+BG=BE+DF. ∠EAF=45°，.∠EAG=45. 在△AEG和△AEF中， (AE-AE, ∠EAG=∠EAF,∴.△AEG≌ AG-AF, AAEF..'EG=EF..BE+DF= EF.故①正确.，·四边形ABCD为正 方形，∴.∠ABD=∠DBC=45. ∴.∠MAN=∠MBE..∠AMN ∠BME,..△AMNc∽△BME ∠AMB=∠NME,∴.△ABM∽ △NEM.故②正确.如图②，把 △ADN绕点A顺时针旋转90°得到 △ABH,连接HM..易得 ∠ABH=∠ADN=45°，AH=AN, BH=DN,∠NAH=90. .∠MAN=45,∴.∠MAH=45. 在△AMN和△AMH中， AM-AM, ∠NAM=∠HAM,'.△AMN≌ AN-AH, △AMH..MN=MH. ,∠ABH=∠ABM=45, ∴.∠HBM=90°.∴.BM+BH= MH.∴.BM+DN2=MN2.故③正 确.如图①，：'△AMNC∽△BME, ∴.∠ANM=∠BEM..△AEG≌ △AEF,.'.∠AEG=∠AEF. ∴.∠ANM=∠AEF.'∠MAN ∠FAE,'.△AMN∽△AFE. 23 :A￥-：△AB△NEM, ∴.∠MEN=∠ABM=45°= ∠EAN.∴.△AEN为等腰直角三角 形，易得AE=2AN AM √2，即AF=√2AM.故④错误.综上 所述，正确的是①②③，共3个. D N M B ① N H: B E ② (第4题) 5.(1)四边形ABCD是菱形， .CB=CD=AB. ∠C=60°， .△CDB是等边三角形 .DB=DC=AB=4. E是边BC的中点， .DE⊥BC. ∴.易得DE=25. (2)①四边形ABCD是菱形， .AD//BC. ∴.∠ADG=∠DEC=90°. ∴.∠ADG=∠GFE=90°. 又.·∠AGD=∠EGF, ,.△AGDC∽△EGF. “器器 “格照 ,∠AGE=∠DGF, ∴.△AGE∽△DGF. ②过点E作EH⊥CD于点H. .△AGEC∽△DGF, '.易得∠EAG=∠FDG=30°. ,∠GFE=∠ADG=90, 1F=2AE-2年+aB-n. 在Rt△ECH中，易知CH=1, EH=5, ∴.在Rt△EFH中，FH= √(W7)2-(3)2=2. .CF=2+1=3. .∴.DF=CD-CF=1. 6.2√14解析：如图，连接AC,AE, AC与BE交于点L.:四边形 ABCD是矩形，且矩形ABCD内接于 ⊙O,∴.∠D=∠BAD=90°.∴.AC 是⊙O的直径.AF=1,EG= FG=3,∴.∠BEC=∠GFE= ∠AFB.∠BEC=∠BAC, .∠AFB=∠BAC.∴.∠ALB= ∠GAC+∠AFB=∠GAC+ ∠BAC=∠BAD=90°.∴.∠GAC= ∠ABE=90°-∠BAC.∠ABE= ∠ACG,∴.∠GAC=∠ACG .CG=AG=AF+FG=1+3=4. :∠CDG=∠AEG=90°，∠CGD= ∠AGE,.△CDGC∽△AEG. “瓷 =1.DG=EG=3. .AD=AG+DG=4+3=7,CD= √CG-DG=√42-3=√7. ∴.AC=√AD2+CD= √72+(7)=2√4.∴.⊙0的直径 为2√14 0 (第6题) 7.(1)如图，连接O℃，OD OC=OD, .∠OCD=∠ODC. CE=DF, .△OCE2△ODF. .OE=OF “8恶8器 .易得EF∥AB. ∴.CD∥AB. (2)如图，连接AF △OCE≌△ODF, ∴.∠COE=∠DOF .AB=BD, ∴.∠AOB=∠DOF. ∴.∠AOB=∠DOF=∠COE. .OA=OD, ∴.△AOF≌△DOF. ∴.∠OAF=∠ODF=∠OCE. :∠OCE=∠OAF,∠OEC= ∠AEF, ∴.△OEC∽△FEA. ∴.∠COE=∠AFE. CD//AB, ∴.∠FAB=∠AFE. .∴.∠FAB=∠AOB. 又，∠ABF=∠OBA, ∴.△BAF∽△BOA. “崇器 .AB2=BF·OB. 0 (第7题) 8.(1).∠CDE=∠BDA,∠E= ∠A, .△CED△BAD. (2)过点D作DF⊥EC于点F. ,△ABC是边长为6的等边三 角形， ∴.∠A=60°，AC=AB=6. DC=2AD, ∴.AD=2,DC=4. :△CED∽△BAD, 器器 EC DE 62 24 ∴.EC=3DE ,∠E=∠A=60°，DF⊥EC, .∠EDF=90°-60°=30. .DE=2EF. 设EF=x,则易得DE=2x,DF= √3x,EC=6x. ∴.FC=EC-EF=5.x 在Rt△DFC中，DF2+FC2=DC, .(5x)2+(5.x)2=42,解得x= 9成 2(不合题意，舍去). CE=6x27_127 7 专题特训七相似 与函数的综合 1.(1)(-4,0)(0,2)(2)(0, 6)或(0,6) 2.(1)把A(-1,0),B(0,2)代人 0=一k十b, y=kx十b,得 解得 2=b, k=2, b=2. .这个一次函数的解析式为y= 2x+2. (2)不等式kx+b<0的解集是 x<-1. (3)存在 有两种情况： ①如图①. ,x轴⊥y轴， .∠AOB=∠BOP. 当器器即号时， 则OP=1. 点P在x轴的正半轴上， .点P的坐标为(1,0) ②如图②. 当808邵即g品时. 则OP=4. :点P在x轴的正半轴上， .点P的坐标为(4,0)拔尖特训·数学（人教版）九年级下 专题特训六 相似与 类型一相似与平行四边形的综合 1.如图，在□ABCD中，AC,BD相交于点O,E 是OA的中点，连接BE并延长交AD于 点F FD (1)AF= (2)若△AEF的面积为4，则□ABCD的面 积为 (第1题) 2.(2025·上海嘉定二模)如图，在□ABCD中， AD=2AB,M是边AD的中点，连接MC, CE⊥AB,垂足为E,连接EM并延长，交 CD的延长线于点F,求证： (1)∠EMC=2∠DMC. (2)CM=AB·CF. (第2题) 38 平面图形的综合 ，“答案与解析”见P23 类型二相似与特殊的平行四边形的综合 3.(2025·合肥蜀山一模)P是矩形 ABCD内一点，Q是AD边上的任 意一点，连接PA,PB,PC,PD PQ,AB=6,BC=8.下列结论中，不正确 的是 () A.若△PAD≌△PBC,则PA+PD的最小 值是10 B若△PAB△PDA.周PA- C.PA十PB+PC+PD的最小值为20 D.若S△PAB=S△PBc,则PA十PQ的最小值 蜡 4.（2025·青岛崂山模拟)如图，在正方形 ABCD中，E,F分别为边BC与CD上的点， 且∠EAF=45°，AE与AF分别交对角线 BD于点M,N,连接NE,EF.有下列结论： ①BE+DF=EF;②△ABMp△NEM; ③BM+DNe=MN;①AF-号AM.其 中，正确的有 () E (第4题) A.4个B.3个C.2个 D.1个 5.(2025·泰安东平期末)如图，在菱形ABCD 中，∠C=60°，AB=4,E是边BC的中点，连 接DE,AE,BD (1)求DE的长. (2)F为边CD上的一点，连接AF,交DE 于点G,连接EF,且AF⊥EF. ①求证：△AGE∽△DGF. ②求DF的长（提示：过点E作EH⊥CD于 点H). 0 (第5题) 类型三相似与圆的综合 6.(2025·浙江)如图，矩形ABCD内接于⊙O, E是AD上一点，连接EB,EC分别交AD 于点F,G.若AF=1,EG=FG=3,则⊙O 的直径为 D 0 (第6题) 7.(2025·上海)如图，在⊙O中，AB和CD是 弦，半径OA,OB分别交CD于点E,F,且 CE=DF. (1)求证：ABCD (2)若AB=BD,求证：AB2=BF·OB, (第7题) 第二十七章相似 8.如图，边长为6的等边三角形ABC内接于 ⊙O,D为AC上的动点（不与点A,C重 合)，BD的延长线交⊙O于点E,连接CE. (1)求证：△CED∽△BAD. (2)当DC=2AD时，求CE的长. 0 (第8题) 39