专题特训五 巧作辅助线构造相似三角形-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(人教版)

拔尖特训·数学（人教版）九年级下 专题特训五巧作辅助： 类型一巧连线段中点构造相似三角形 1.将两把含30°角的三角尺按如图所示的方式 放在一起，E为AD的中点，连接BE交AC 于点P,则的值为 (第1题) (第2题) 2.如图，AD是△ABC的中线，点E 在AC上，BE交AD于点F.若 AD=AP,则长的值为 3.如图①，在△ABC中，D,E分别是BC,AB GE 的中点，AD,CE相交于点G,求证：CE GD 1 AD3 (1)请根据图①中的提示，写出证明过程. (2)在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 点O,E是BC的中点，AE,BD相交于点F. ①如图②，若四边形ABCD为正方形，且 AB=6,则OF的长为 ②如图③，连接DE交AC于点G.若 S四边形OFEG= 2,则SaAD= (第3题)》 34 线构造相似三角形 ◆“答案与解析”见P19 类型二过顶点作辅助线构造相似三角形 4.数学课上，小慧将两张如图①所示的直角三 角形纸片（∠A=90°，AD=2cm,AB=4cm) 的斜边重合，拼成一个四边形（如图②）.接着 分别在CB,CD上取点E,F,连接AE,BF, 使AELBF,则E的值为 F ① ② (第4题) 5.(2025·郴州桂阳开学)如图， ∠BAC=90°，BD平分∠ABC,E 为BD的中点，连接AE,CE.若 AD=2,CE=CA,则CD= D (第5题) 6.(2025·金华金东二模)将一个矩形按如图① 所示的方式分割成三个直角三角形，按面积 从大到小的顺序分别记为△ABC1, △A2B2C2,△A3B,C3,且△A1B1C1∽ △A2B,C,△A3BC3.将△A1B1C1,△AB2C2 叠合，得到图②，涂色部分三角形的面积记为 S1;将△A2B2C2,△A3B3C3叠合，得到图 ③，涂色部分四边形的面积记为S2.若S1= S,则该矩形的长和宽之比为 5 C(A2) A,(C)A,(B2) C A,(A) S B B (C2,A3) B 9 B2 C2 ① ② ③ (第6题) 7.在矩形ABCD中，AB<BC,AB=6,E是射 线CD上一点，点C关于BE的对称点F恰 好落在射线DA上，连接BF,EF (1)如图，当点E在边CD上时，若BC=10, 则DF的长为 ;若AF·DF=9,求 DF的长， (2)作∠ABF的平分线交射线DA于点M, 当C时求DF的长 FD (第7题) 第二十七章相似 类型三延长已有的线段构造相似三角形 8.如图，在矩形ACBD中，AC=3,BC=4,点 H在AC上，且AH=1,连接BH,过点C作 CE⊥BH于点F,交AB于点E,则CE的长 为 AH C (第8题) 9.如图，在矩形ABCD中，E,F分别为对边 AD,BC的中点，线段EF交AC于点O,延 长CD至点G,连接GE并延长，交AC于点 Q,连接GF交AC于点P,连接QF.求证： FE平分∠QFP. E (第9题) 35.CD平分∠ACB,∠ACD=35°， .∠ACD=∠DCB=∠B=35. .∴.∠ADC=35°+35°=70°. (2)△ABC∽△ACD, “6把 AD=3,BD=5, :S把 .AC=2√6」 6.D7.A 8.3或5解析：如图，过点E作 EF⊥BC,交BC的延长线于点F.在 Rt△ABC中，AC=√AB2-BC= 6.:Rt△ABCC∽Rt△ADE &∠BAc=∠DAB,铝=e ,∠BAD=∠CAE. .△ABD∽△ACE..∠ABD= 6 BD=z,则CE=若：EFLRC. AC⊥BC,∴.EF∥AC.'.∠CEF= ∠ACE.∴.∠ABC=∠CEF. .∠ACB=∠CFE =90°， △ABcn△CBR,·0-= n=合80号=3.6x 8.x十15=0，解得x1=3,x2=5. .BD的长为3或5. B D (第8题) 9.9解析：，等边三角形ABC沿 边AC上的高BD平移得到△EFG, .S△Ax=S△FG,AC∥EG. ∴.△MFN∽△EFG∽△ABC. 'SAMEN S△AIx D=3.:△MFN的面积记为 :BD 4· S S,Sx=16, 4 ,解得 S=9. 方法归纳 三角形面积比的规律总结 (1)相似三角形的面积比等于 相似比的平方， (2)同（等）高三角形的面积之 比等于底之比. (3)同（等）底三角形的面积之 比等于高之比. 10.(1)·四边形ABCD是平行四 边形， .CD∥AB ∴.∠DAF=∠CDE. 又.CE⊥AD,DF⊥BA, .∠AFD=∠DEC=90 .△ADFC∽△DCE. (2),AD=6,且E为AD的中点， .DE=3. ,△ADF△DCE, “能提即号 解得DC=9. ,四边形ABCD是平行四边形， ..AB=CD=9 1L.(1),Rt△AEPOORt△DPC, .∠AEP=∠CPD. .∠CPD=30°，CD=AB=23, ∴.PC=2DC=4V5. .易得PD=DC=6. ∴.AP=AD-PD=4. :∠AEP=∠CPD=30, ∴.易得AE=√5AP=4√5. (2)存在 假设存在这样的点P, .Rt△AEPc∽Rt△DPC, “贯器器2 CD=AB=2√5， .∴.AP=√3 .DP=10-5. 19 ∴.存在这样的点P,使△DPC的周 长等于△AEP周长的2倍，此时DP 的长为10-√3 12.(1)AE与⊙O相切. 连接OA. DA·AC=DC·AB, “瑞器 ,BC是⊙O的直径，直线EA与CD 垂直， ∴.∠BAC=90°=∠ADC. ∴.△ABC∽△DAC. '.∠ACB=∠ACD. OA=OC, ,'.∠OAC=∠ACB=∠ACD .OA//CD. .∠OAE=∠CDE=90」 .OA⊥DE 又OA为⊙O的半径， ∴.AE与⊙O相切. (2).OA//CD, ∴.△AOE△DCE. :没器 设BO=OC=OA=a,则BC=2a. BC=BE=2a, ∴.S△AE=S△Ax=S1,EO=3a, EC=4a. 小高器 CD=u. .·△ABCC∽△DAC, 瓷 8 ·AC2=BC·CD=3a2. .·△ABCc△DAC, S△ACD 即32 (AC)2 2 BC 3 S,=3S 2 .m=3 专题特训五巧作 辅助线构造相似三角形 1.5 解析：连接CE.:∠CAD= 30°，∠ACD=90°，E为AD的中点， ·CE=?AD=AE.·∠ACE ∠CAE=30°.∠BAC=30°， .∠BAC=∠ACE..AB∥CE. :△ABFO△GER8F-80 ∠CAD=30°，∴.设CD=a,则 AD=2a,CE=2AD=a.·易得 AC=√3a.∠BAC=30°，∴.BC= 吉AC-号易得AB5 含…"0…能-号 3 AF 3 2 3.(1)连接DE. :D,E分别是BC,AB的中点， DE//AC,DE-AC. ∴.△DEG△ACG. ·黑黑 GE GD 1 ·易得cC+GEGA十GD=3,即 GE GD 1 CEAD3· (2)①√2.解析：在正方形 ABCD中，AD=BC,AD∥BC,E为 BC的中点，∴.△BEF∽△DAF,相 似比为1：2·BF=令BD.又 BD,OF=BO-BF- 合BD-专BD=吉BD.:AB= AD=6,.易得BD=6N2..OF= 名BD=E. ②6.解析：连接OE.由题意，得O, E分别是AC,BC的中点，∴.OE∥ ABOE=宁A服.易每器需 小=2同通，可得器 1 畏方小器-2：s 名易得Sax=7+1=子 1 3 35m-号x4=6 4.号解析：如图，连接AC,与BD 交于点G,设BD与AE交于点O.由 题意，得AB=BC=4cm,AD=CD= 2cm,∴.BD垂直平分AC.在 Rt△ABD中，BD=V√AB+AD= 26cm号AB·AD=BD· AG.·AG=专6mAC 2AG-55 cm.AELBF,BD AC,.∠DBF+∠EOB=90°， ∠CAE+∠DOA=90°，∠CDB+ ∠DCA=90°.又∠EOB= ∠DOA,.'.∠DBF=∠CAE. ,∠DCB=90,∴.∠ACE+ ∠IDCA=90°..∠ACE=∠CDB. .△BDF∽△ACE..AE-AC BF BD 2W5_5 C E 0 B (第4题) 5.1+ 2 解析：如图，作EF⊥ AD于点F.:'∠BAC=90°，E是BD 的中点，.AE=BE=DE=2BD. AF=DF=号AD=1,∠CAE ∠ADE,∠ABE=∠BAE.∴.∠AED= ∠ABE+∠BAE=2∠BAE.BD 平分∠ABC,∴.∠ABC=2∠ABE. '.∠AED=∠ABC..·CE=CA, '.∠CAE=∠AEC=∠ADE. ,'.△EAD△CAE,∠ACE= ∠AD,·架-能，∠ACE ∠AC品架2设AE=a 20 D=x是-异2①，EF= √AE-AF=√a2-1..易得 AB=2EF=2a-1.,∠BAC= ∠EFD=90°，.△CEFC∽△BCA. EF x+2 x+1②.由①②，得1= 2a2-1 +厘或=亚（舍去. 2 2 ·CD=1+17 2 C (第5题) 95 6.10 解析：四边形C1B2B3A1 是矩形，C1B2=A,B3.设A2B2= B3C3=a,B2C2=6.AABC △A2B2C2△A3B3C3, A2B2 ∠B1A,C1=∠BA,C2,A,B 目合“A会即A品-会 如图，设A,C,与AC2交于一点E, 过点E作EF⊥A,B1,垂足为F ∠B1A1C1=∠B2A2C2,∴易得 B,F=AF=2AB.:∠A,FE= ∠A2B2C2=90°，∠FA2E= ∠B,A2C2,∴.△A2FEn△A,B,C2. 小器提-会 2B,C=76.S=2A,B· EF=子ahS=(B,C+ B,C,)·B,B,=2a+b)(a g)=-s=s :子山=（分6-分），解得6 合。（负根舍去，“由短园①，可得 a295 B2B3=B2B1+B1B3=6+ b 10a. 9v6 B2B3 .10a 95 10 .该矩形的 A2B2 长和宽的比为9⑤ 10 A(B2) C A, B (第6题) 7.(1)2. ,四边形ABCD是矩形， .CD=AB=6,∠A=∠D=90° .∠DEF+∠DFE=90. ,易得∠BFE=90°， .∠AFB+∠DFE=90°. ∴.∠AFB=∠DEF. .△FABC∽△EDF “品祭 .AF·DF=AB·DE .AF·DF=9,AB=6 4.DE-7 CE=CD-DE= 21 :点C关于BE的对称点F恰好落 在射线DA上， EF=CE=号 ∴.在Rt△FDE中，由勾股定理，得 DF=√EF2-DE=3√2 (2)①如图①，当点F在边AD上 时，过点M作MN⊥BF于点N. ,BM平分∠ABF,MA⊥AB, MN⊥BF, .MA=MN. ,∠A=∠MNF=90°，∠AFB= ∠NFM, ∴.△FAB∽△FNM. ·怨器即器谣 AB BE 点C关于BE的对称点F怡好落 在射线DA上， .'BF=BC. :F1 B0=2 MN_MF1 AB BF2 .AB=6, .'.MN=3. ∴.AM=3. 在Rt△ABM和Rt△NBM中 (BM=BM, AM-NM, ∴.Rt△ABM≌Rt△NBM. ∴.AB=NB=6. 设MF=x,则BF=BC=2x, .FN=2x-6. 在Rt△MNF中， MN2+FN2=MF2, ∴.32+(2x-6)2=x2,解得x=5或 x=3(不合题意，舍去)】 ∴.BC=2.x=10. ∴AD=BC=10. .DF=AD-AM-MF=2. ②如图②，当点F在边DA的延长线 上时，过，点M作MN⊥BF于点N. 同情况①可得AM=MN=3,MF= 5,BN=AB=6,BC=AD=10. ∴.DF=AD+AM+MF=18 等上所述，当C-号时，DF的长为 2或18. D B ② (第7题) 21 8126 11 解析：延长CE,与AD交 于点M.·四边形ACBD是矩形， .∴.AD∥BC,∠CAD=∠ACB=90°. ∴.∠BCF+∠ACM=90°.：CE⊥ BH,∴.∠BFC=90°.∴.∠BCF+ ∠CBF=90°.∴.∠ACM=∠CBF. 又∠CAM=∠BCH,∴.△CAM∽ △H.兴- .AC=3, AH=1,..CH=AC-AH=3-1= 2=AM=是在 2 Rt△ACM中，由勾股定理，得CM= √AM+AC= √)+3 3W 2 .:AD∥BC,.∠EAM= ∠EBC,∠EMA=∠ECB..∴.△AEMp △BEC.. ME AM 2 3 CE-BC 4 =8 易得CE8平CM-l 8 11 9.如图，延长QF,与GC的延长线交 于点I. ·四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC,ADBC. ,E,F分别为对边AD,BC的中点， &DE=号AD.CF=2BC 1 .DE=CF. :AD∥BC, .四边形EFCD是平行四边形. ∴.EFCD. ∴.∠QFE=∠I,∠EFG=∠FGI. ∴.△QOF∽△QCI,△QOE∽△QCG. …咒0器 易知OE=OF, ∴.CI=CG 又，易知FC⊥GI, .FI=FG. ∴.∠I=∠FGI,则∠QFE=∠EFG. .FE平分∠QFP (第9题) 第5课时相似三角形应用举例 1.B2.A 3.在正方形ABCD中，AD=10分米， 设EF=x分米，则EG=4x分米. 由题意，可得△AEF和△DEG为等 腰直角三角形， .△AEF∽△DEG. “能器 设AB=a分米，则0产。 工，解得 a=2. ∴.AE=2分米。 ∴.易得EF=√2AE=22分米. .这个正方体礼品盒的棱长为 22分米. 4.A解析：如图，过点P作PE⊥ C于点EE∥AB.既 .:CD∥AB,:△APBO AP △D.“部部-哭- 4 3 BE=BE=3.'CD∥ PE PE,△BPE∽△BDC. 器设PE=a米骨- 后，解得 3 a=2.4.∴.PE=2.4米 D CE B (第4题) 5.B解析：由题意，得AB⊥BC, .∠ABC=90°..DE⊥AC, .∠DEC=90°..∠DEC= ∠ABC=90°..AB=60cm,AB+ BC=140cm,.BC=140-60= 80(cm).∴.在Rt△ABC中，AC √AB2+BC=√602+802= l00(cm).,D是BC的中点， CD=2Bc=40m”∠DCE- ∠ACB,∠DEC=∠ABC, △BcDn△CA.÷8-Rg ·DE=CD.AB=24m钢梁 CA DE的长为24cm. 6.24解析：如图，延长FB,交EA 的延长线于点T,设TA=x米，CE y米.由题意，得AB=1.5米，AC= CD=3米，EF=15米.，AB∥CD, △TaB△.：是-鸽 六千3解得=87A 3米，TC=6米.CD∥EF, .△TCD∽△TEP..元=EF TC CD 63 六6十y方，解得y=24.小CE= 24米. D TAC (第6题) 724 5 解析：设DE=xcm,则 AD=(8-x)cm.由题意，得 7(AD+BC)·AB×3=3X3X6) 即号×(8-x+8)×3×3=54,解得 x=4.∴.DE=4cm.在Rt△CDE中， CE=3cm,∴.CD=√DE+CE 5cm..易知∠ECB=∠DCF=90, ∴.∠ECB-∠DCB=∠DCF ∠DCB,即∠DCE=∠BCF. ∠E=∠BFC=90°，∴.△CED∽ △cPR瓷罡号号解 22 得CF=兰：题图②中水面商度 CF-24 5 cm. 8.设MN=x米，AN=y米. 由题意，得DC⊥NF,BA⊥NF, MN⊥NF, ∴.∠MNF=∠BAE=∠DCF=9O. ∠F=∠F, ∴.△DCF∽△MNF. “器黑 6 3 3+19+y1 ,∠BEA=∠MEN, ∴.△BAEc∽△MNE BAEA MN EN' 162 x 2+y 3 2 ·3+19+2+y1 解得y=38. 解得x=32. .永宁门吊桥门楼MN的高度为 32米. 9.过点D作DP⊥AB于点P,则易 得四边形PBCD为矩形. ∴.PD=BC,PB=CD=2m. :∠APD=∠FEG=90°，∠ADP= ∠FGE, .△APD△FEG .PD_AP EGFE· “品需1 .PD=PA=AB-PB. ,'∠ABC=∠HNM=90°，∠AMB= ∠HMN, .△ABM∽△HNM. AB BM ·NNM 设AB=xm. HN=1.5 m,MN=0.8 m,CN= 0.6m, .BM=BC-CM=PD-CM=