27.2 第5课时 相似三角形应用举例-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(人教版)

.FE平分∠QFP (第9题) 第5课时相似三角形应用举例 1.B2.A 3.在正方形ABCD中，AD=10分米， 设EF=x分米，则EG=4x分米. 由题意，可得△AEF和△DEG为等 腰直角三角形， .△AEF∽△DEG. “能器 设AB=a分米，则0产。 工，解得 a=2. ∴.AE=2分米。 ∴.易得EF=√2AE=22分米. .这个正方体礼品盒的棱长为 22分米. 4.A解析：如图，过点P作PE⊥ C于点EE∥AB.既 .:CD∥AB,:△APBO AP △D.“部部-哭- 4 3 BE=BE=3.'CD∥ PE PE,△BPE∽△BDC. 器设PE=a米骨- 后，解得 3 a=2.4.∴.PE=2.4米 D CE B (第4题) 5.B解析：由题意，得AB⊥BC, .∠ABC=90°..DE⊥AC, .∠DEC=90°..∠DEC= ∠ABC=90°..AB=60cm,AB+ BC=140cm,.BC=140-60= 80(cm).∴.在Rt△ABC中，AC √AB2+BC=√602+802= l00(cm).,D是BC的中点， CD=2Bc=40m”∠DCE- ∠ACB,∠DEC=∠ABC, △BcDn△CA.÷8-Rg ·DE=CD.AB=24m钢梁 CA DE的长为24cm. 6.24解析：如图，延长FB,交EA 的延长线于点T,设TA=x米，CE y米.由题意，得AB=1.5米，AC= CD=3米，EF=15米.，AB∥CD, △TaB△.：是-鸽 六千3解得=87A 3米，TC=6米.CD∥EF, .△TCD∽△TEP..元=EF TC CD 63 六6十y方，解得y=24.小CE= 24米. D TAC (第6题) 724 5 解析：设DE=xcm,则 AD=(8-x)cm.由题意，得 7(AD+BC)·AB×3=3X3X6) 即号×(8-x+8)×3×3=54,解得 x=4.∴.DE=4cm.在Rt△CDE中， CE=3cm,∴.CD=√DE+CE 5cm..易知∠ECB=∠DCF=90, ∴.∠ECB-∠DCB=∠DCF ∠DCB,即∠DCE=∠BCF. ∠E=∠BFC=90°，∴.△CED∽ △cPR瓷罡号号解 22 得CF=兰：题图②中水面商度 CF-24 5 cm. 8.设MN=x米，AN=y米. 由题意，得DC⊥NF,BA⊥NF, MN⊥NF, ∴.∠MNF=∠BAE=∠DCF=9O. ∠F=∠F, ∴.△DCF∽△MNF. “器黑 6 3 3+19+y1 ,∠BEA=∠MEN, ∴.△BAEc∽△MNE BAEA MN EN' 162 x 2+y 3 2 ·3+19+2+y1 解得y=38. 解得x=32. .永宁门吊桥门楼MN的高度为 32米. 9.过点D作DP⊥AB于点P,则易 得四边形PBCD为矩形. ∴.PD=BC,PB=CD=2m. :∠APD=∠FEG=90°，∠ADP= ∠FGE, .△APD△FEG .PD_AP EGFE· “品需1 .PD=PA=AB-PB. ,'∠ABC=∠HNM=90°，∠AMB= ∠HMN, .△ABM∽△HNM. AB BM ·NNM 设AB=xm. HN=1.5 m,MN=0.8 m,CN= 0.6m, .BM=BC-CM=PD-CM= AB-PB-(CN+MN)=(x- 3.4)m 0.8 .AB≈7.3m ∴.樱花树AB的高度约为7.3m 方法归纳 利用镜子的反射测量物体的 高度时隐含的条件 利用镜子的反射测量物体的 高度时，反射角与入射角相等是判 定两个三角形相似的隐含条件. 专题特训六相似 与平面图形的综合 1.(1)2(2)96 2.(1)·四边形ABCD为平行四 边形， .AB=CD,AB//CD. .∠AEM=∠F CE⊥AB, ,.CE⊥CD ∴.∠ECF=90°. AD=2AB,M是边AD的中点， .'AM=MD=AB .DM=DC. ∴.∠DMC=∠DCM. 在△AEM和△DFM中， |∠AEM=∠DFM, ∠AME=∠DMF, AM-DM, ∴.△AEM≌△DFM. .EM=FM. ∠ECF=90, CM-EM-FM-TEF. '.∠MCF=∠F '.∠DMC=∠F=∠MCF ∠EMC=∠F+∠MCF, .∴.∠EMC=2∠DMC. (2)由(1)，知∠DMC=∠F」 ,∠MCD=∠FCM, .'.△MCD∽△FCM. 瓷畏 '.CM=CD·CF. AB=CD, '.CM=AB·CF 3.D 4.B解析：，四边形ABCD为正方 形，∴.AB=AD,∠BAD=∠ADC= ∠ABC=90°.如图①，把△ADF绕点 A顺时针旋转90°得到△ABG, .∴.∠ABG=∠ADF=90°，AG=AF, BG=DF,∠DAF=∠BAG, ∠FAG=90°.'.点G在CB的延长 线上.'.EG=BE+BG=BE+DF. ∠EAF=45°，.∠EAG=45. 在△AEG和△AEF中， (AE-AE, ∠EAG=∠EAF,∴.△AEG≌ AG-AF, AAEF..'EG=EF..BE+DF= EF.故①正确.，·四边形ABCD为正 方形，∴.∠ABD=∠DBC=45. ∴.∠MAN=∠MBE..∠AMN ∠BME,..△AMNc∽△BME ∠AMB=∠NME,∴.△ABM∽ △NEM.故②正确.如图②，把 △ADN绕点A顺时针旋转90°得到 △ABH,连接HM..易得 ∠ABH=∠ADN=45°，AH=AN, BH=DN,∠NAH=90. .∠MAN=45,∴.∠MAH=45. 在△AMN和△AMH中， AM-AM, ∠NAM=∠HAM,'.△AMN≌ AN-AH, △AMH..MN=MH. ,∠ABH=∠ABM=45, ∴.∠HBM=90°.∴.BM+BH= MH.∴.BM+DN2=MN2.故③正 确.如图①，：'△AMNC∽△BME, ∴.∠ANM=∠BEM..△AEG≌ △AEF,.'.∠AEG=∠AEF. ∴.∠ANM=∠AEF.'∠MAN ∠FAE,'.△AMN∽△AFE. 23 :A￥-：△AB△NEM, ∴.∠MEN=∠ABM=45°= ∠EAN.∴.△AEN为等腰直角三角 形，易得AE=2AN AM √2，即AF=√2AM.故④错误.综上 所述，正确的是①②③，共3个. D N M B ① N H: B E ② (第4题) 5.(1)四边形ABCD是菱形， .CB=CD=AB. ∠C=60°， .△CDB是等边三角形 .DB=DC=AB=4. E是边BC的中点， .DE⊥BC. ∴.易得DE=25. (2)①四边形ABCD是菱形， .AD//BC. ∴.∠ADG=∠DEC=90°. ∴.∠ADG=∠GFE=90°. 又.·∠AGD=∠EGF, ,.△AGDC∽△EGF. “器器 “格照 ,∠AGE=∠DGF, ∴.△AGE∽△DGF. ②过点E作EH⊥CD于点H. .△AGEC∽△DGF, '.易得∠EAG=∠FDG=30°.拔尖特训·数学（人教版）九年级下 第5课时相似， 自基础进阶 1.(2025·内江)传说阿基米德曾说过：“给我一 个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体 现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长 度，用较小的力就能撬动重物.这一原理的应 用在生活中随处可见.如图①所示为用杠杆 撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆的另 一端就会撬动石头.其简化图形如图②所示， 动力臂OA=150cm,阻力臂OB=50cm, BD=20cm,则AC的长是 09B D ① ② (第1题) A.80 cm B.60 cm C.50 cm D.40 cm 2.(2025·深圳罗湖模拟)如图，有一块形状是 锐角三角形ABC的材料，BC=12cm,BC边 上的高AD为10cm,把它加工成正方形零 件，使正方形的一边GH在BC上，其余两个 顶点E,F分别在AB,AC上，AD与EF交 于点K,则这个正方形零件的边长是() G DH C (第2题) A.fiom B.5 cm C.6 cm D.7cm 3.母亲节即将到来，小明准备给妈妈送一个礼 物.他用正方形纸板，制作一个正方体礼品盒 (按如图所示的方式裁剪).已知正方形纸板 36 三角形应用举例 “答案与解析”见P22 的边长为10分米，则这个正方体礼品盒的棱 长为多少分米？ (第3题) 幻素能攀升 4.如图，相邻的两根电线杆都用钢索在地面上 固定，一根电线杆的钢索系在离地面4米高 处，另一根电线杆的钢索系在离地面6米高 处，两根电线杆的钢索都有一端固定在另一 根电线杆底部，则中间两段钢索相交处点P 到地面的距离为 () (第4题) A.2.4米 B.8米 C.3米 5.如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登 台的台阶，台阶总高度AB=60cm,部分台阶 上铺有红地毯，红地毯的长度为140cm,支撑 钢梁DE⊥AC,且D为BC的中点，则钢梁 DE的长为 ( A.20 cm B.24 cm C.32 cm D.40 cm 舞台 A 台阶 E B D AC (第5题) (第6题) 6.如图，小明用相似图形的知识测量旗杆的高 度.已知小明的眼睛到地面的距离AB=1.5米， 他将3米长的标杆CD竖直放置在身前3米 处，此时小明的眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶 端在同一条直线上，通过计算得到旗杆的高 度EF=15米，则旗杆和标杆之间的距离CE 为 米 7.(2025·泉州洛江模拟)如图①，长、宽均为 3cm、高为8cm的长方体容器放置在水平桌 面上，里面盛有水，水面高度为6cm.如图②， 将该容器绕底面一棱倾斜后，水面恰好触 到容器口边缘，则图②中水面高度CF= cm. 容器口边缘 ① (第7题) 8.(2025·延安富县模拟)永宁门吊桥是西安城 墙永宁门的重要组成部分，也是西安城墙十 八座城门中仅存的一座吊桥，距今已有1100 多年的历史.数学兴趣小组的同学们想要测 量永宁门吊桥门楼的高度，设计了如下测量 方案：如图，先在吊桥前面的空地上选一点 A,垂直于地面竖立标杆AB,然后后退2米 到点E处，此时点M,B,E在同一条直线 上.另选一点C,垂直于地面竖立标杆CD,然 后后退3米到点F处，此时M,D,F三点也 在同一条直线上.测得两次竖立的标杆之间 第二十七章相似 的距离AC是19米，两根标杆的高度均为 1.6米，且点N,A,E,C,F在同一条直线 上.请根据同学们测量的数据，求永宁门吊桥 门楼MN的高度 D B F EA (第8题) 思维拓展 9.*小华想用平面镜和阳光下的影子来测量樱 花树的高度.方法如下：如图，首先，小华在某 一时刻测得站立在E处的小丽的影长EG= 1.6m,在同一时刻测量樱花树的影长时，因 树靠近墙面，影子有一部分落在墙上，他测得 落在墙上的影长CD=2m.然后，小华在小 丽和墙面之间的地面CE上平放一平面镜， 在镜面上做了一个标记M,保持平面镜不 动，小华看着镜面上的标记，来回走动，走到 N处时，恰好在镜面中看到樱花树的顶端A, 这时测得小华的眼睛与地面的距离HN 1.5m,CN=0.6m,MN=0.8m,点G,B, N均在直线EC上，EF⊥EC,HN⊥EC, AB⊥EC,CD⊥EC,小丽的身高EF=1.6m 求樱花树AB的高度（结果精确到0.1m). EG B MN (第9题) 37