27.2 第1课时 相似三角形及平行线分线段成比例-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(人教版)

拔尖特训·数学（人教版）九年级下 27.2 相似三角形 第1课时 相似三角形及平行线分线段成比例、“答案与解析见13 ☑基础进阶 淘素能攀升 4 1.(2025·福州模拟)如图，在□ABCD中， 5.(2024·赤峰二模)如图，AD是△ABC的中 EF∥AB,DE:EA=2:3,EF=4,则CD 线，点E在AC上，BE交AD于点F.若 的长为 部瓷值为 () A.6 B.8 C.10 D.16 (第1题) (第2题) (第5题) 2.*如图，AB∥EF∥CD,AB=6,CD=4,则 EF的长为 ( A吉 B1 9 A.2 B.2.4C.2.5 D.3 1 3.如图，在□ABCD中，E为BC延长线上的一 C. n 点，AE交DC于点F,则图中共有 对 6.如图，点A1,A2A3,…和点B1,B2,B3,…分 相似三角形. 别在射线OM,ON上.若OA1=1,A1B1= 20AAA2=20A,A2A3=30A,A3A= 4OA1,…,A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4…,则 AB2的长为 ,A,Bn的长为 (第3题) 4.如图，在△ABC中，若DE∥BC,EF∥CD, (n为正整数). AE=2EC,求AF:DF:DB. A…山 A O B B2 B B…N (第6题) 7.如图，在△ABC中，D为BC的中点，E (第4题) 为AB上一点，且BE=AB,F为AC上一 点，且CP=号AC,EF交AD于点P,则 EP:PF= E B D (第7题) 24 第二十七章相似 8.如图，在△ABC中，D,E,F分别是BC,AC, 的思维拓展 AB上一点，连接AD,BE,CF,CF与BE, 10.新考法·阅读理解请阅读以下材料 AD分别交时点P,Q石册=p器 q, 并解答相应的问题 角平分线分线段成比例定理：如图 58品那的值 ①，在△ABC中，AD平分∠BAC,则A C B CD:这个定理的部分证明过程如下： 证明：如图②，过点C作CEDA,交BA的 D 延长线于点E (第8题) (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的 剩余部分 (2)如图③，在Rt△ABC中，AB=3,BC= 4,∠ABC=90°，AD平分∠BAC,求 △ABD的周长. 9.(2025·东莞一模)如图，在等腰三角形ABC A 12 中，AB=AC.D是BC边上的动点，连接 AD,将△ADC绕点A旋转得到△AEB,使 0 点C与点B重合，连接DE交AB于点F,作 ③ EG∥BC交AB于点G,连接CG,交AD于 点H.求证： (1)∠1=∠2. (2)△AGH∽△AFD. D B ③ (第10题) (第9题) 2513,解得x=35 经检验，x=35是分式方程的解，且符 合题意. ∴在第15场或第35场产品发布会 上，产品销售单价为13万元. (4)设每场获得的利润为万元. 当1x20且x为正整数时，心 (0.2x+10-10)·(50-x)= -0.2x2+10x=-0.2(x-25)2+ 125. ,在对称轴的左侧，心随x的增大而 增大， ∴.当x=20时，心最大，最大利润 为-0.2×(20-25)2+125=120（万元）. 当21≤x≤40且x为正整数时，w= (+10-10）·(0-) 5250 -105. 心随x的增大而减小， .当x=21时，最大，最大利润为 5250-105=145(万元). 21 .145>120, .在这40场产品发布会中，第21场 获得的利润最大，最大利润为145万元. 第二十七章相似 27.1图形的相似 1.C2.D3.A4.4 5.152083 方法归纳 相似多边形的性质的应用 相似多边形的性质通常用来 求两个相似多边形中的未知边或 角.同时，相似比是1的两个多边 形一定全等，即全等多边形是一种 特殊的相似多边形， 6.设每条纵向小路的宽为xm. ,小路内外边缘所围成的两个矩形 相似，两条横向小路的宽均为1.2m, ·.602×1.2902x,解得x三 60 1.8,或60-X1.2=902,解得 90 60 x=25.8(不符合实际意义，舍去) ∴.每条纵向小路的宽为1.8m. 7.D 8.D解析：，四边形ABEF是正方 形，.设EF=AF=x,则CD=x. ,矩形ABCD∽矩形ECDF,AD= CD AD 3+5,DFEF·3+5 3+5.x=1+5或x=-4-25 (舍去).经检验，x=1十√5是分式方 程的解.∴.DF=AD-AF=3+√5 (1+5)=2. 9.4 10.2解析号--a 2h,c=-2。 c 一2. '.题图中横线上应填写的数值是2. 11.(1)√5：1. (2)由题意，可知s=1十a十1+b 1 a+b+2 5+2=1. a+b+ab+1√5+1+1 12.(1)√2：1.解析：如图，由折叠 过程，可知第一次折叠，点A与点D 重合，四边形ABDC为正方形，折痕 BC为对角线，由勾股定理，可得 BC=√2AB:第二次折叠，第一次的折 痕与A4纸较长边重合，即BC与较长 边重合.∴.较长边=√2AB..A4纸 较长边与较短边的比为√2：1. (2)A4纸与A5纸是相似图形， 理由：，A4纸较长边与较短边的比 为√2：1， ∴.设A4纸较短边为a,则较长边为 2a. ,·由题图②，可知A5纸的较长边与 A4纸的较短边一样长，A5纸的较短 边等于A4纸的较长边的一半， ∴.A5纸的较长边为a,较短边为 2a. 13 '.A5纸的较长边与较短边的比为 a9-1 ∴.A4纸较长边与较短边的比=A5 纸较长边与较短边的比 又，A4纸与A5纸的四个角均为 直角， .A4纸与A5纸为相似图形 A A4 B A B (第12题) 27.2相似三角形 第1课时相似三角形 及平行线分线段成比例 1.C 2.B 方法归纳 利用平行线分线段成比例 求线段长的思路 利用平行线分线段成比例求 线段长，需先确定图形中的平行线， 由此找出线段间的比例关系，结合 待求线段与已知线段写出一个含 有它们的比例式，从而构造出方 程，然后解方程求出线段长 3.3 4.EF//CD,AE=2EC, “装带-2 .DE∥BC, ·品瓷2 设DF=m,则AF=2m,AD=3m, DB-. .'AF DF DB=2m m 3 = 4:2:3. 5.B解析：如图，过点D作DG∥ BE,交AC于点G..DG//BE,D是 BC的中点，.G是CE的中点 ÷cG=G=2BC.:EF∥DG 1 G D (第5题) 6.6n(n+1)解析：OA,=1, .A1A2=2X1=2,A2A3=3X1=3, A3A=4X1=4,.:A,B1A2B2, 易得洗=识“中 1 B.AB,=6=2X2+1.同 理，可得A3B3=12=3×(3+1), A4B4=20=4×(4+1),… .'.AnBn=n(n+1). 7.5:4解析：如图，过点F作 FF,∥BC,交AD于点F1,过点E作 EE∥BC,交AD于点E.:BE 子AB,CF=号AC装=是 铝=子：E,E,∥ .EEFF1.∴.△E,EPC△F,FP. 3-器：F,C,E/ 取是识-能需 带=子又：D是C的中点， .BD=CD.∴. EP 限即m:R=5:4 B D C (第7题) 8.如图，过点D作DM∥CF,交AB 于点M. 设FM=x,FQ=y. DM//CF, BM BD ·.FMCD =p .BM=xp. ∴.FB=BM+FM=xp+x. 帮 ∴.AF=xr(p+1). :DM∥FQ, 1易得品部 zr(p+1) “品z干p+D 1+r(p+1) .'.DM= r(p+1)y. DM//CF, 易得学兴 xp p xp十xp+1 .CF=1+r(p+1) pr V. 1+r(p+1) ry-y1十r y 过点F作FN∥BE交AC于点N,同 理可得器之 gr R D (第8题) 9.(1),EGBC, .∠2=∠ABC. .'AB=AC, ∴.∠ACB=∠ABC 由旋转的性质，得∠1=∠ACB, .∠1=∠2 (2)∠1=∠2， .'EG=EB. 由旋转的性质，得CD=BE, .'EG=CD GE//CD, ∴四边形DCGE是平行四边形. .GH//FD. '.△AGHc∽△AFD. 10.(1).CE∥AD 器提2-∠E∠1-∠E 14 AD平分∠BAC, ∴.∠1=∠2. ∴.∠ACE=∠E. .∴.AE=AC. 授品 (2)AB=3,BC=4,∠ABC=90°， '.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC=√AB2+BC=5. :AD平分∠BAC, “6品即品 3 BD BD=名BC= 8 2 '.在Rt△ABD中，由勾股定理，得 AD=BD+AB=√（受）+8 3√5 2 .△ABD的周长= 3 2 +3+ W5_9+35 2 21 第2课时利用三边比例关系、 边角关系判定三角形相似 1B2.C3或 5 4.设两，点的运动时间为xs,则AD= x cm,CE=2x cm. ∴.AE=(12-2.x)cm. 情况一：若△ADE∽△ABC, ∠A=∠A, 只要使裙怎即可， ÷专12解得1 12 情况二：若△AED∽△ABC, :∠A=∠A, :只要使是铝即可。 六危-12。之解得=48 综上所述，当两，点的运动时间为3s 或4.8s时，以A,D,E为顶点的三角 形与△ABC相似. 5.B6.C 7.A解析：由题意，得在①②④中，