27.2 第4课时 相似三角形的性质&专题特训(五) 巧作辅助线构造相似三角形-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

32 第4课时 相似三角形的性质 ▶ “答案与解析”见P20 1. 将一个三角形的各边扩大为原来的2倍,则 这个三角形的面积扩大为原来的 ( ) A. 2倍 B. 4倍 C. 6倍 D. 8倍 2. 在△ABC中,AB=6,AC=5,点D,E分别在 AB,AC上,△ADE与△ABC相似,且S△ADE∶ S四边形BCED=1∶8,则AD的长为 ( ) A. 3 5 B. 5 3 或2 C. 2 D. 3 4 或5 3 3. 如图,P 为▱ABCD 的边BC 上一点,E,F 分别为PA,PD 上的点,且 PA=3PE, PD=3PF.若△PEF,△PDC,△PAB 的面 积分别记为S,S1,S2,且S=2,则S1+ S2= . (第3题) (第4题) 4. 如图,在△ABC中,AC=4,BC=3,D 是边 AB 上一点,连接CD.若 AD=2DB,且 △BCD∽△BAC,则CD的长为 . 5. 如图,△ABC∽△ACD. (1) 若CD 平分∠ACB,∠ACD=35°,求 ∠ADC的度数. (2) 若AD=3,BD=5,求AC的长. (第5题) 6. 如图,在等腰三角形ABC中,AB= AC,图中所有三角形均相似,其中 最小的三角形面积为1,△ABC 的 面积为44,则四边形DBCE的面积是( ) A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 (第6题) (第7题) 7. (2024·义乌模拟)如图所示为一个由A,B,C 三种相似的直角三角形纸片(相似比相同)拼 成的矩形,相邻两张纸片之间互不重叠也无 缝隙,其中纸片A,B,C的面积分别为S1, S2,S3.若S1>S2>S3,则这个矩形的面积一 定可以表示为 ( ) A. 4S1 B. 6S2 C. 4S2+3S3 D. 3S1+4S3 8. (2024·南京模拟)如图,点D 在线段BC上 移动(点D 不与点B 重合),Rt△ABC∽ Rt△ADE,∠ACB=90°,AB=10,BC=8. 若S△CDE=3.6,则BD的长为 . (第8题) (第9题) 9. ★(2023·赣州模拟)如图,将等边三 角形ABC沿边AC上的高BD平移 得到△EFG,EF,FG分别交AC于 点M,N,阴影部分的面积记为S.若BFFD= 1 3 ,S△ABC=16,则S= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级下 33 10. (2024·盐城二模)如图,在正方形ABCD 中,M 是边BC上的任一点,连接AM 并将 线段MA 绕点M 按顺时针方向旋转90°得 到线段MN,在边CD 上取点P 使CP= BM,连接NP,BP,线段MN 与CD 交于 点Q,连接AQ.若△MCQ∽△AMQ,求证: BM=MC. (第10题) 11. 如图,在矩形ABCD 中,AB=23,AD= 10,直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时 (点P不与点A,D 重合),一直角边经过点 C,另一直角边与直线AB交于点E,我们知 道,结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立. (1) 当∠CPD=30°时,求AE的长. (2) 是否存在这样的点P,使△DPC 的周 长等于△AEP 周长的2倍? 若存在,求出 DP的长;若不存在,请说明理由. (第11题) 12. (2023·云南)如图,BC 是☉O 的直径,A 是☉O上异于点B,C 的点.☉O 外的点E 在射线CB上,直线EA与CD垂直,垂足为 D,且DA·AC=DC·AB.设△ABE的面 积为S1,△ACD的面积为S2. (1) 判断直线AE与☉O的位置关系,并证 明你的结论. (2) 若BC=BE,S2=mS1,求常数m的值. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十七章　相　似 34 　　专题特训（五）　巧作辅助线构造相似三角形 ▶ “答案与解析”见P21 类型一 巧连线段中点构造相似三角形 1. 将两把含30°角的三角尺按如图所示的方式 放在一起,E 为AD 的中点,连接BE 交AC 于点F,则AFAC 的值为 . (第1题) (第2题) 2. 如图,AD 是△ABC 的中线,点E 在AC 上,BE 交AD 于点F.若 AD=3AF,则AEAC 的值为 . 3. 如图①,在△ABC 中,D,E 分别是BC,AB 的中点,AD,CE 相交于点G.求证:GECE= GD AD= 1 3. (1) 请根据图①中的提示,写出证明过程. (2) 在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于 点O,E是BC的中点,AE,BD相交于点F. ① 如图②,若四边形ABCD 为正方形,且 AB=6,则OF的长为 . ② 如图③,连接 DE 交AC 于点G.若 S四边形OFEG= 1 2 ,则S▱ABCD= . (第3题) 类型二 过顶点作辅助线构造相似三角形 4. (2024·杭州三模)数学课上,小慧将两张如 图①所示的直角三角形纸片(∠A=90°, AD=2cm,AB=4cm)的斜边重合拼成四边 形(如图②).接着分别在CB,CD 上取点E, F,连接AE,BF,使AE⊥BF,则BFAE 的值为 . (第4题) 5. (2024·如皋期末)如图,正方形ABCD 的边 长为3,点E在CD 上,点G在CB的延长线 上,DE=BG=2,GE 交BD 于点H,则HE 的长为 . (第5题) 6. (2024·温州三模)如图,在菱形ABCD 中, BE⊥AD于点E,G为CD 的中点,延长GE 交BA 的延长线于点F.已知∠ABE=30°, AB=3,点P,Q 分别在线段GE,AB 上(不 与端点重合),且满足PG= 3AQ.设AQ= x,PF=y. (第6题) (1) 求证:GE=EF. (2) 求y关于x的函数解析式. (3) 如图,连接PQ,当点D 落在QP 的延长 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级下 35 线上时,记PQ与BE的交点为M.请直接写 出MQ MD 的值. 7. (核心素养·模型建构)在矩形ABCD 中, AB<BC,AB=6,E 是射线CD 上一点,点 C关于BE 的对称点F 恰好落在射线DA 上,连接BF,EF. (1) 如图,当点E在边CD上时,若BC=10, 则DF的长为 ;若AF·DF=9,求 DF的长. (2) 作∠ABF的平分线交射线DA 于点M, 当MF BC= 1 2 时,求DF的长. (第7题) 类型三 延长已有的线段构造相似三角形 8. (2024·晋中模拟)如图,在矩形ACBD 中, AC=3,BC=4,点H 在AC上,且AH=1, 连接BH,过点C作CE⊥BH 于点F,交AB 于点E,则CE的长为 . (第8题) 9. (2024·南京模拟)如图,在矩形ABCD 中, E,F分别为对边AD,BC 的中点,线段EF 交AC于点O,延长CD 至点G,连接GE 并 延长,交AC于点Q,连接GF交AC于点P, 连接QF.求证:FE平分∠QFP. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十七章　相　似 综上所述,BD的长为42或22. (第6题) 7. (1) ∵ △ABC为等边三角形, ∴ ∠A=60°. ∵ 四边形ABPC 为☉O 的内接四 边形, ∴ ∠BPC+∠A=180°. ∴ ∠BPC=180°-∠A=180°- 60°=120°. (2) ∵ △ABC为等边三角形, ∴ AC=BC,∠ABC=60°. ∴ ∠DBC=180°-∠ABC=180°- 60°=120°. 由(1)可知,∠DBC=∠BPC=120°, 又∵ ∠BCP=∠DCB, ∴ △BPC∽△DBC. ∴ BC CD= PC BC. ∴ BC2=CP·CD,即AC2=CP·CD. 利用相似三角形证明 等积式的方法 证明等积式时,一般把等积式 中的四条线段分别看成两个三角 形中的两组边,然后通过证明这两 个三角形相似得出比例式,再转化 为等积式. 第4课时 相似三角形的性质 1. B 2. B 3. 18 4. 43 3 5. (1) ∵ △ABC∽△ACD, ∴ ∠B=∠ACD. ∵ CD平分∠ACB,∠ACD=35°, ∴ ∠ACD=∠DCB=∠B=35°. ∴ ∠ADC=35°+35°=70°. (2) ∵ △ABC∽△ACD, ∴ AC AD= AB AC. ∵ AD=3,BD=5, ∴ AC 3= 3+5 AC . ∴ AC=26. 6. D 7. A 8. 3或5 [解析] 如图,过点E 作 EF⊥BC,交BC的延长线于点F.在 Rt△ABC 中,AC= AB2-BC2= 6. ∵ Rt△ABC ∽ Rt△ADE, ∴ ∠BAC = ∠DAE,ABAD = AC AE. ∴ AB AC = AD AE ,∠BAD = ∠CAE. ∴ △ABD∽△ACE.∴ ∠ABD= ∠ACE,BDCE = AB AC = 10 6 = 5 3. 设 BD=x,则CE=3x5.∵ EF⊥BC, AC⊥BC,∴ EF∥AC.∴ ∠CEF= ∠ACE. ∴ ∠ABC = ∠CEF. ∵ ∠ACB = ∠CFE = 90°, ∴ △ABC∽△CEF.∴ AB CE = BC EF. ∴ EF=12x25.∴ S△CDE = 1 2CD · EF=12 (8-x)·12x25=3.6.∴ x2- 8x+15=0,解得x1=3,x2=5. ∴ BD的长为3或5. (第8题) 9. 9 [解析] ∵ 等边三角形ABC沿 边AC上的高BD 平移得到△EFG, ∴ S△ABC = S△EFG,AC ∥ EG. ∴ △MFN ∽ △EFG ∽ △ABC. ∴ S△MFN S△ABC = FDBD 2 .∵ BF FD = 1 3 , ∴ FD BD= 3 4.∵ △MFN 的面积记为 S,S△ABC=16,∴ S 16= 3 4 2 ,解得 S=9. 三角形面积比的规律总结 (1) 相似三角形的面积比等于 相似比的平方. (2) 同(等)高三角形的面积之 比等于底之比. (3) 同(等)底三角形的面积之 比等于高之比. 10. ∵ ∠BAM + ∠AMB =90°, ∠AMB + ∠CMQ = 180° - ∠AMQ=90°, ∴ ∠BAM=∠CMQ. 又∵ ∠ABM=∠C=90°, ∴ △ABM∽△MCQ. ∴ AB MC= AM MQ. ∵ △MCQ∽△AMQ, ∴ △ABM∽△AMQ. ∴ AB BM= AM MQ. ∴ AB MC= AB BM. ∴ BM=MC. 11. (1) ∵ Rt△AEP∽Rt△DPC, ∴ ∠AEP=∠CPD. ∵ ∠CPD=30°,CD=AB=23, ∴ PC=2DC=43. ∴ 易得PD=3DC=6. ∴ AP=AD-PD=4. ∵ ∠AEP=∠CPD=30°, ∴ 易得AE=3AP=43. (2) 存在. 假设存在这样的点P, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02 ∵ Rt△AEP∽Rt△DPC, ∴ CD AP= PD AE= PC PE=2. ∵ CD=AB=23, ∴ AP=3. ∴ DP=10-3. ∴ 存在这样的点P,使△DPC 的周 长等于△AEP周长的2倍,此时DP 的长为10-3. 12. (1) AE与☉O相切. 连接OA. ∵ DA·AC=DC·AB, ∴ DA AB= DC CA. ∵ BC是☉O的直径,直线EA与CD 垂直, ∴ ∠BAC=90°=∠ADC. ∴ △ABC∽△DAC. ∴ ∠ACB=∠ACD. ∵ OA=OC, ∴ ∠OAC=∠ACB=∠ACD. ∴ OA∥CD. ∴ ∠OAE=∠CDE=90°. ∴ OA⊥DE. 又∵ OA为☉O的半径, ∴ AE与☉O相切. (2) ∵ OA∥CD, ∴ △AOE∽△DCE. ∴ AO CD= OE EC. 设BO=OC=OA=a,则BC=2a. ∵ BC=BE=2a, ∴ S△ABE =S△ABC =S1,EO=3a, EC=4a. ∴ a CD= 3a 4a. ∴ CD=43a. ∵ △ABC∽△DAC, ∴ BC AC= AC CD. ∴ AC2=BC·CD=83a 2. ∵ △ABC∽△DAC, ∴ S△ACD S△ABC = ACBC 2 =23 ,即S2 S1 =23. ∴ S2= 2 3S1. ∴ m=23. 专题特训（五）　巧作 辅助线构造相似三角形 1. 3 5 [解析] 连接CE.∵ ∠CAD= 30°,∠ACD=90°,E 为AD 的中点, ∴ CE=12AD=AE.∴ ∠ACE= ∠CAE = 30°.∵ ∠BAC = 30°, ∴ ∠BAC=∠ACE.∴ AB∥CE. ∴ △ABF∽△CEF.∴ AF CF= AB CE. ∵ ∠CAD=30°,∴ 设CD=a,则 AD=2a,CE=12AD=a.∴ 易得 AC=3a.∵ ∠BAC=30°,∴ BC= 1 2AC= 3 2a.∴ 易得AB= 3BC= 3 2a.∴ AF CF= AB CE= 3 2.∴ AF AC= 3 5. 2. 1 5 [解析] 如图,过点D作DG∥ BE,交AC 于点G.∵ AD=3AF, ∴ AF FD = AF AD-AF = AF 3AF-AF = 1 2.∵ DG ∥BE,∴ △AFE ∽ △ADG,△CDG∽△CBE.∴ AF FD= AE EG= 1 2 ,CD BD= CG EG.∴ EG=2AE. ∵ AD 是△ABC 的中线,∴ CD= BD.∴ EG =CG.∴ CG =EG = 2AE.∴ AC=AE+EG+CG=5AE. ∴ AE AC= 1 5. (第2题) 3. (1) 连接DE. ∵ D,E分别是BC,AB的中点, ∴ DE∥AC,DE=12AC. ∴ △DEG∽△ACG. ∴ GE GC= GD GA= DE AC= 1 2. ∴ 易得 GE GC+GE= GD GA+GD= 1 3 ,即 GE CE= GD AD= 1 3. (2) ① 2. [解析] ∵ 在正方形 ABCD中,AD=BC,AD∥BC,E 为 BC的中点,∴ △BEF∽△DAF,相 似比为1∶2.∴ BF= 13BD. 又 ∵ BO=12BD ,∴ OF=BO-BF= 1 2BD- 1 3BD= 1 6BD.∵ AB= AD=6,∴ 易得BD=62.∴ OF= 1 6BD=2. ② 6. [解析] 连接OE.由题意,得 O,E分别是AC,BC的中点,∴ OE∥ AB,OE=12AB.∴ 易得OF BF= OE AB= 1 2.∴ S△BEF S△OEF =2.同理,可得OGCG= OE DC= 1 2 ,∴ S△CEG S△OEG =2.∵ S四边形OFEG= 1 2 ,∴ 易得S△BOC = 1 2 +1= 3 2. ∴ S▱ABCD= 3 2×4=6. 4. 5 4 [解析] 如图,连接AC,与 BD 交于点G,设BD 与AE 交于点 O.由题意,得AB=BC=4cm,AD= CD=2cm,∴ BD 垂直平分AC.在 Rt△ABD 中,BD= AB2+AD2= 25cm.∴ 1 2AB ·AD=12BD · AG.∴AG= 45 5cm.∴ AC= 2AG=85 5cm.∵ AE⊥BF,BD⊥ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 AC,∴ ∠DBF + ∠EOB =90°, ∠CAE+ ∠DOA =90°,∠CDB + ∠DCA = 90°.又 ∵ ∠EOB = ∠DOA,∴ ∠DBF = ∠CAE. ∵ ∠DCB = 90°,∴ ∠ACE + ∠DCA=90°.∴ ∠ACE=∠CDB. ∴ △BDF∽△ACE.∴ BF AE= BD AC= 25 8 55 =54. (第4题) 5. 26 2 [解析] 过点E 作EF∥ BC,交BD 于点F.∵ 正方形ABCD 的边长为3,∴ ∠C=90°,BC=CD= 3.∵ DE=2,∴ CE=1.在Rt△CEG 中,∵ CE=1,CG=BC+BG=3+ 2=5,∴ EG= 12+52 = 26. ∵ EF∥BC,∴ △DEF∽△DCB. ∴ EF BC= DE DC ,即EF 3 = 2 3 ,解得EF= 2.∵ EF∥BG,∴ △HEF∽△HGB. ∴ HE HG= EF GB= 2 2=1 ,即HE=HG. ∴ HE=12EG= 26 2 . 6. (1) 如图,连接BD. ∵ BE⊥AD, ∴ ∠AEB=90°. ∴ ∠BAD=90°-∠ABE=90°- 30°=60°. ∵ 四边形 ABCD是菱形, ∴ AB=AD=CD=BC=3,AB∥ CD. ∴ △ABD 是等边三角形,∠F= ∠DGE. ∴ E为AD的中点. ∴ AE=DE. 又∵ ∠AEF=∠DEG, ∴ △AEF≌△DEG. ∴ GE=EF. (2) ∵ E,G分别为AD,CD的中点, ∴ DE=DG=32. ∵ ∠EDG=180°-60°=120°, ∴ ∠DGE=∠DEG=30°. ∴ 易得EG=3DE=332 . 由(1),知GE=EF. ∴ EF=332 . ∴ GF=33. ∵ AQ=x,PF=y, ∴ PG=GF-PF=33-y. ∵ PG=3AQ, ∴ 33-y=3x. ∴ y=33-3x. (3) 如图,过点Q作QH∥FG,交DA 的延长线于点H,过点Q作QJ⊥BE 于点J. ∴ ∠H=∠AEF=∠DEG=30°,则 ∠AQH=∠F=∠BAD-∠AEF= 30°. ∴ ∠H=∠AQH. ∴ AQ=AH=x,则易得QH=3x, DH=x+3. 由(2),知DE=32 ,EG=332 ,PG= 3x. ∴ PE=EG-PG=332 -3x. ∵ QH∥FG, ∴ △DEP∽△DHQ. ∴ PE QH= DE DH ,即 33 2 -3x 3x = 3 2 x+3 , 解得x=33-32 (负值舍去). ∴ AQ=33-32 ,PE=332 - 3× 33-3 2 = 63-9 2 . ∵ QJ⊥BE, ∴ ∠BJQ=90°. ∵ ∠ABE=30°, ∴ QJ= 12BQ = 1 2 (3-x)= 9-33 4 . ∵ ∠BJQ=∠BEA=90°, ∴ JQ∥AD. ∴ △MQJ∽△MDE. ∴ MQ MD= QJ DE= 9-33 4 3 2 =3-32 . (第6题) 7. (1) 2. ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ CD=AB=6,∠A=∠D=90°. ∴ ∠DEF+∠DFE=90°. ∵ 易得∠BFE=90°, ∴ ∠AFB+∠DFE=90°. ∴ ∠AFB=∠DEF. ∴ △FAB∽△EDF. ∴ AF DE= AB DF. ∴ AF·DF=AB·DE. ∵ AF·DF=9,AB=6, ∴ DE=32. ∴ CE=CD-DE=92. ∵ 点C关于BE的对称点F 恰好落 在射线DA上, ∴ EF=CE=92. ∴ 在Rt△FDE 中,由勾股定理,得 DF= EF2-DE2=32. (2) ① 如图①,当点F 在边AD 上 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 时,过点M 作MN⊥BF于点N. ∵ BM 平 分 ∠ABF,MA ⊥AB, MN⊥BF, ∴ MA=MN. ∵ ∠A=∠MNF=90°,∠AFB= ∠NFM, ∴ △FAB∽△FNM. ∴ MN AB= MF BF. ∵ 点C关于BE的对称点F 恰好落 在射线DA上, ∴ BF=BC. ∵ MF BC= 1 2 , ∴ MN AB= MF BF= 1 2. ∵ AB=6, ∴ MN=3. ∴ AM=3. 在Rt△ABM 和Rt△NBM 中, BM=BM, AM=NM, ∴ Rt△ABM≌Rt△NBM. ∴ AB=NB=6. 设MF=x,则BF=BC=2x, ∴ FN=2x-6. 在Rt△MNF中, ∵ MN2+FN2=MF2, ∴ 32+(2x-6)2=x2,解得x=5或 x=3(不合题意,舍去). ∴ BC=2x=10. ∴ AD=BC=10. ∴ DF=AD-AM-MF=2. ② 如图②,当点F在边DA的延长线 时,过点M 作MN⊥BF于点N. 同情况①可得AM=MN=3,MF= 5,BN=AB=6,BC=AD=10. ∵ BF=BC=10, ∴ FN=BF-BN=10-6=4. ∴ DF=AD+AM+MF=18. 综上所述,当MF BC= 1 2 时,DF 的长为 2或18. (第7题) 8. 125 11 [解析] 延长CE,与AD交 于点M.∵ 四边形ACBD 是矩形, ∴ AD∥BC,∠CAD=∠ACB=90°. ∴ ∠BCF+∠ACM=90°.∵ CE⊥ BH,∴ ∠BFC=90°.∴ ∠BCF+ ∠CBF=90°.∴ ∠ACM=∠CBF. 又∵ ∠CAM=∠BCH,∴ △CAM∽ △BCH.∴ AM CH = AC CB.∵ AC=3, AH=1,∴ CH=AC-AH=3-1= 2.∴ AM 2 = 3 4.∴ AM = 32. 在 Rt△ACM 中,由勾股定理,得CM= AM2+AC2 = 32 2 +32 = 35 2 .∵ AD ∥BC,∴ ∠EAM = ∠EBC,∠EMA=∠ECB.∴ △AEM∽ △BEC.∴ ME CE = AM BC = 3 2 4 = 3 8. ∴ 易得CE= 88+3CM= 125 11 . 9. 如图,延长QF,与GC的延长线交 于点I. ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ AD=BC,AD∥BC. ∵ E,F分别为对边AD,BC的中点, ∴ DE=12AD ,CF=12BC. ∴ DE=CF. ∵ AD∥BC, ∴ 四边形EFCD是平行四边形. ∴ EF∥CD. ∴ ∠QFE=∠I,∠EFG=∠FGI. ∴ △QOF∽△QCI,△QOE∽△QCG. ∴ OF CI= QO QC= OE CG. ∵ 易知OE=OF, ∴ CI=CG. 又∵ 易知FC⊥GI, ∴ FI=FG. ∴ ∠I=∠FGI,则∠QFE=∠EFG. ∴ FE平分∠QFP. (第9题) 第5课时 相似三角形应用举例 1. B 2. 24 3. 在正方形ABCD中,AD=10分米, 设EF=x分米,则EG=4x分米. 由题意,可得△AEF 和△DEG 为等 腰直角三角形, ∴ △AEF∽△DEG. ∴ AE DE= EF EG. 设AE=a分米,则 a10-a= x 4x ,解得 a=2. ∴ AE=2分米. ∴ 易得EF=2AE=22分米. ∴ 这个正方体礼品盒的棱长为 22分米. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32