27.2 第4课时 相似三角形的性质-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(人教版)

拔尖特训·数学（人教版）九年级下 第4课时相似 自基础进阶 1.将一个三角形的各边扩大为原来的2倍，则 这个三角形的面积扩大为原来的() A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍 2.(2025·绥化)两个相似三角形的最长边的长 分别是10cm和6cm,并且它们的周长之和 为48cm,那么较小三角形的周长是() A.14 cm B.18 cm C.30 cm D.34 cm 3.如图，P为□ABCD的边BC上一点，E,F 分别为PA,PD上的点，且PA=3PE, PD=3PF.若△PEF,△PDC,△PAB的面 积分别记为S,S1,S2,且S=2,则S1十 S2= D B D (第3题) (第4题) 4.如图，在△ABC中，AC=4,BC=3,D是边 AB上一点，连接CD.若AD=2DB,且 △BCDO△BAC,则CD的长为 5.如图，△ABCp△ACD. (1)若CD平分∠ACB,∠ACD=35°，求 ∠ADC的度数. (2)若AD=3,BD=5,求AC的长. (第5题) 32 三角形的性质 “答案与解析”见P18 幻素能攀升 6.如图，在等腰三角形ABC中，AB= AC,图中所有三角形均相似，其中 最小的三角形的面积为1，△ABC 的面积为44，则四边形DBCE的面积是 ( A.22 B.24 C.26 D.28 (第6题) (第7题) 7.(2024·义鸟模拟)如图所示为一个由A,B,C 三种相似的直角三角形纸片（相似比相同）拼 成的矩形，相邻两张纸片之间互不重叠也无 缝隙，其中纸片A,B,C的面积分别为S1, S2,S3.若S1>S2>S3,则这个矩形的面积一 定可以表示为 A.4S1 B.6S2 C.4S2+3S D.3S1+4S3 8.(2024·南京模拟)如图，点D在线段BC上 移动（点D不与点B重合），Rt△ABC∽ Rt△ADE,∠ACB=90°，AB=10,BC=8. 若SACDE=3.6,则BD的长为 (第8题) (第9题) 9.★如图，将等边三角形ABC沿边AC 上的高BD平移得到△EFG,EF, FG分别交AC于点M,N,阴影部 分的面制记为S岩部}sac一16，则 S= 10.(2025·北京朝阳模拟)如图，四边形ABCD 是平行四边形，CE⊥AD于点E,DF⊥BA 交BA的延长线于点F. (1)求证：△ADF∽△DCE (2)当AF=2,AD=6,且E恰为AD的中 点时，求AB的长 B (第10题) 11.如图，在矩形ABCD中，AB=2√3，AD 10,直角尺的直角顶点P在AD上滑动时 (点P不与点A,D重合)，一直角边经过点 C,另一直角边与直线AB交于点E,我们知 道，结论“Rt△AEPC∽Rt△DPC”成立， (1)当∠CPD=30时，求AE的长， (2)是否存在这样的点P,使△DPC的周 长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出 DP的长；若不存在，请说明理由。 (第11题) 第二十七章相似 的思维拓展 金 2.如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上异于 点B,C的点.⊙O外的点E在射线CB上， 直线EA与CD垂直，垂足为D,且DA· AC=DC·AB.设△ABE的面积为S1, △ACD的面积为S2. (1)判断直线AE与⊙O的位置关系，并证 明你的结论。 (2)若BC=BE,S2=mS1,求常数m的值 B A D (第12题) 336.(1).∠ACD=∠ACE+ ∠ECD=∠B+∠BAC,∠ACE= ∠B, .∠BAC=∠ECD. ∠B=∠D, .△ABCO△CDE. (2).·△ABCc△CDE “常際器 :C为BD的中点， .'BC=CD. “提器 又：∠B=∠ACE, ∴.△ABC∽△ACE. ..AB_AC AC AE ∴.AC=AB·AE. (3)10.解析：如图，过点O作EF OA,交AB于点E,交AC于点F. 点O是△ABC的内心， .'.∠EAO=∠FAO,∠ABO= ∠CBO,∠ACO=∠BCO.,AO= AO,∠AOE=∠AOF=90, .△AOE≌△AOF..AE=AF. 又：∠BAC=90°，.△AEF是等 腰直角三角形.∴.∠AEF= ∠AFE=45°，OE=OF=OA= 2√2..AE=√OE2+OA' √(22)2+(2√2)2=4=AF, ∠BEO=∠OFC=135.∠BAC 90°，：∠CB0+∠B00=2 (180°-90)=45°.∴.∠B0C 180°-45°=135°.∴.∠BE0= ∠BOC.,'∠BOF=∠BEO+ ∠OBE,∠BOF=∠BOC+∠COF, ∴.∠OBE=∠COF.∴.△BOE∽ △0R÷8器-8膘-2.0B= 0c,∴器-器-隈- ∴.BE=√2OF=√2X2√2=4，CF= OE=2=2.·AB=AE+BE= √2√2 4+4=8,AC=AF+CF=4+2=6. 在Rt△BAC中，BC=√AB+AC= /82+62=10. 0 B (第6题) 7.(1)①√2. ②45°. (2)仍然成立 理由：如图①，设AC交BF于点O. :△ABC和△ADE均为等腰直角 三角形， '.∠CAB=∠EAD=45°，AB= √2AC,AD=EAE ·∠DAB=∠EAC,A5AP-2. AC AE ∴.△DAB∽△EAC. BD AD CE AE =2,∠ABD=∠ACE. :∠AOB=∠FOC, ∴.∠BAO=∠CFO=45°，即 ∠BFC=45 (3)如图②，当CE⊥AD于点O时， :AE=DE=√2，AC=BC=√I0, ∠AED=∠ACB=90, ∴.AD=√2AE=2. EO LAD, .OD=OA=OE=1. '.在Rt△AOC中，OC= √AC2-AO=3. .EC=OE+OC=4. 由(2)，得BD=√2EC, ∴BD=42. 如图③，当FC⊥AD时，延长CE交 AD于点O. 同理，可得OD=OA=OE=1,OC= 3,则EC=3-1=2. ∴.BD=√2EC=2W2 综上所述，BD的长为4√2或2√2， C E ① 18 2 ③ (第7题) 8.(1)AB=AC,∠A=36, .∠ABC=∠C=(180°-∠A)÷ 2=72 :BD平分∠ABC, .∠ABD=∠CBD=36. ∴.∠DBC=∠A=36. ∠C=∠C, ∴.△BDC△ABC. (2):∠ABD=∠A=36, .AD=BD,∠BDC=∠A+ ∠ABD=72°=∠C ∴.BD=BC=AD .△BDCc∽△ABC,AC=1, CD_BC CB AC 1-AD_AD AD 1 解得AD=5,1或AD=二51 2 2 (舍去). AD的长为引 方法归纳 含36顶角的等腰三角形的 特殊性质 若等腰三角形的顶角为36°， 则底角的平分线把原三角形分成 的两个三角形中，有一个三角形与 原三角形相似，并且图中存在呈 “Z”形的三条线段相等. 第4课时相似三角形的性质 45 1.B2.B3.184. 5.(1).·△ABC△ACD, '.∠B=∠ACD .CD平分∠ACB,∠ACD=35°， .∠ACD=∠DCB=∠B=35. .∴.∠ADC=35°+35°=70°. (2)△ABC∽△ACD, “6把 AD=3,BD=5, :S把 .AC=2√6」 6.D7.A 8.3或5解析：如图，过点E作 EF⊥BC,交BC的延长线于点F.在 Rt△ABC中，AC=√AB2-BC= 6.:Rt△ABCC∽Rt△ADE &∠BAc=∠DAB,铝=e ,∠BAD=∠CAE. .△ABD∽△ACE..∠ABD= 6 BD=z,则CE=若：EFLRC. AC⊥BC,∴.EF∥AC.'.∠CEF= ∠ACE.∴.∠ABC=∠CEF. .∠ACB=∠CFE =90°， △ABcn△CBR,·0-= n=合80号=3.6x 8.x十15=0，解得x1=3,x2=5. .BD的长为3或5. B D (第8题) 9.9解析：，等边三角形ABC沿 边AC上的高BD平移得到△EFG, .S△Ax=S△FG,AC∥EG. ∴.△MFN∽△EFG∽△ABC. 'SAMEN S△AIx D=3.:△MFN的面积记为 :BD 4· S S,Sx=16, 4 ,解得 S=9. 方法归纳 三角形面积比的规律总结 (1)相似三角形的面积比等于 相似比的平方， (2)同（等）高三角形的面积之 比等于底之比. (3)同（等）底三角形的面积之 比等于高之比. 10.(1)·四边形ABCD是平行四 边形， .CD∥AB ∴.∠DAF=∠CDE. 又.CE⊥AD,DF⊥BA, .∠AFD=∠DEC=90 .△ADFC∽△DCE. (2),AD=6,且E为AD的中点， .DE=3. ,△ADF△DCE, “能提即号 解得DC=9. ,四边形ABCD是平行四边形， ..AB=CD=9 1L.(1),Rt△AEPOORt△DPC, .∠AEP=∠CPD. .∠CPD=30°，CD=AB=23, ∴.PC=2DC=4V5. .易得PD=DC=6. ∴.AP=AD-PD=4. :∠AEP=∠CPD=30, ∴.易得AE=√5AP=4√5. (2)存在 假设存在这样的点P, .Rt△AEPc∽Rt△DPC, “贯器器2 CD=AB=2√5， .∴.AP=√3 .DP=10-5. 19 ∴.存在这样的点P,使△DPC的周 长等于△AEP周长的2倍，此时DP 的长为10-√3 12.(1)AE与⊙O相切. 连接OA. DA·AC=DC·AB, “瑞器 ,BC是⊙O的直径，直线EA与CD 垂直， ∴.∠BAC=90°=∠ADC. ∴.△ABC∽△DAC. '.∠ACB=∠ACD. OA=OC, ,'.∠OAC=∠ACB=∠ACD .OA//CD. .∠OAE=∠CDE=90」 .OA⊥DE 又OA为⊙O的半径， ∴.AE与⊙O相切. (2).OA//CD, ∴.△AOE△DCE. :没器 设BO=OC=OA=a,则BC=2a. BC=BE=2a, ∴.S△AE=S△Ax=S1,EO=3a, EC=4a. 小高器 CD=u. .·△ABCC∽△DAC, 瓷 8 ·AC2=BC·CD=3a2. .·△ABCc△DAC, S△ACD 即32 (AC)2 2 BC 3 S,=3S 2 .m=3 专题特训五巧作 辅助线构造相似三角形 1.5 解析：连接CE.:∠CAD=