27.2 第3课时 利用两角关系判定三角形相似-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(人教版)

拔尖特训·数学（人教版）九年级下 第3课时 利用两角 自基础进阶 1.已知等腰三角形ABC的底角为75°，则下列 三角形中，一定与△ABC相似的是() A.顶角为30°的等腰三角形 B.顶角为40°的等腰三角形 C.等边三角形 D.顶角为75°的等腰三角形 2.如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在 AC上，且∠1=∠2=∠3，则与△ADE相似 的三角形的个数为 A.4 B.3 C.2D.1 A D (第2题)》 (第3题) 3.如图，∠ABC=∠ACD.若AD=3cm,AB= 7cm,则AC= cm. 4.如图，在锐角三角形ABC中，D,E分别为 AB,BC的中点，F为AC上一点，且 ∠AFE=∠A,DMEF交AC于点M. (1)求证：DM=DA. (2)若点G在BE上，且∠BDG=∠C,求 证：△DEG∽△ECF. G (第4题) 28 关系判定三角形相似、“答案与解析”见P16 司素能攀升 5.(2025·河北)如图，在五边形ABCDE中， AE∥BC,延长BA,BC,分别交直线DE于 点M,N.若添加下面的一个条件后，仍无法 判定△MAE∽△DCN,则这个条件是() (第5题) A.∠B+∠4=180°B.CD/∥AB C.∠1=∠4 D.∠2=∠3 6.(2024·武威一模)如图，在正方形ABCD 中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥1 EF.有下列结论：①∠BAE=30°；②CE= AB·CF;③CF-3CD,④△ABEO △AEF.其中，正确的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D E (第6题) (第7题) 7.如图，在△ABC中，AB=4cm,AC=3cm, BC=6cm,D是AC上一点，AD=2cm,点 P从点C出发沿C→B→A的方向，以1cm/s 的速度运动至点A处，线段DP将△ABC 分成两部分，可以使其中一部分与△ABC相 似的点P的个数为 () A.0B.2 C.3 D.4 8.如图，在平面直角坐标系中，AB是⊙C的一 条直径，点A,B的坐标分别为(0,6)，(8,0)， P是⊙C上的一个动点.当线段CP截 △AOB所得的三角形与△AOB相似时，点 P的坐标为 y 0 B衣 E (第8题 (第9题) 9.*如图，在四边形ABCD中，AD∥ BC,AB=CD,DE⊥BC,BD⊥L DC,垂足分别为E,D.若DE=3 BD=5,则AB的长为 10.如图，△ABC是等边三角形，点D,E分别 在BC,AC上，且BD=CE,AD与BE相交 于点F (1)求证：△ABE∽△FAE. (2)若AF=7,DF=1,求BD的长， B D (第10题) 第二十七章相似 思维拓展 金么 1.新考法·新定义题定义：在三角形中，如果有 一个角是另一个角的2倍，那么称这个三角 形是“2倍角三角形”. (1)性质探究：下面我们来探究“2倍角三角 形”的三边关系.如图①，在△ABC中，若 ∠ABC=2∠A,则△ABC的三边存在如下 关系：AC=BC·(AB+BC).我们可以这 样证明：如图①，作∠ABC的平分线BD交 AC于点D,则有∠1=∠2=∠A.由∠2= ∠A,得BD=AD..'∠1=∠A,∠C ∠C.△cBDO△cB.6GB BD,CB CD B·A=B,得CD…请你完 成证明过程， (2)性质应用：如图②，在△ABC中，∠C= 2∠B,AB=12,BC=10,则AC= (3)拓展应用：如图③，在△ABC中， ∠ABC=3∠A,AC=6,BC=4.求AB的长. ② (第11题) 29第3课时利用两角关系判定 三角形相似 1.A2.C3.2 4.(1).DMEF, .∠AMD=∠AFE. ∠AFE=∠A, .'.∠AMD=∠A. .DM=DA. (2)D,E分别为AB,BC的中点， .DE∥AC. ∴.∠DEB=∠C,∠BDE=∠A. ,∠AFE=∠A, ∴.∠BDE=∠AFE. ∴.∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC. ,∠BDG=∠C, .∠EDG=∠FEC. ∴.△DEG∽△ECF. 5.D 6.B解析：设正方形ABCD的边长 为2a.:E是BC的中点，∴.BE= E=。腊=品= .∠BAE≠30.故①不正确， ,AE⊥EF,∴.∠AEB+∠FEC= 90°..∠AEB+∠EAB=90°， ∴.∠EAB=∠FEC.又：∠B= ∠C=90°，.'.Rt△ABEc∽Rt△ECF 器-瓷E·BC=AB· CF,BE=CE,.CE=AB·CF 故②正确.·CF=CE-Q2=4 AB=2a=2: 1 -子枚③不正确在 R△cEr中，EF=√a2+(ga) 2a:在Rt△ABE中，AE √(2a)2+a=5a.:A卡=g 25BEa_25·AB_BE 20 :'∠ABE=∠AEF=90,∴.△ABEC∽ △AEF故④正确.综上所述，正确的 是②④，有2个」 7.D解析：①如图①，当∠DPC= ∠A时，△ABCC∽△PDC.②如图 ②，当∠PDC=∠A时，△ABCc∽ △DPC.③如图③，当∠APD=∠B 时，△ABCc∽△APD.④如图④，当 ∠APD=∠C时，△ABCC∽△ADP. 综上所述，符合要求的点P的个数 为4 PC ① ② ③ D C ④ (第7题) 8.(-1,3)或(4，-2)或(1，-1) 解析：：点A,B的坐标分别为(0,6)， (8,0),AB是⊙C的一条直径， .C(4,3),OA=6,OB=8..AB= √OA+OB2=10..半径CP=5. 如图，过点C作CP1⊥y轴于点D,交 ⊙C于点P,则∠ADC=∠AOB= 90°，∠DAC=∠OAB.∴.△ADC∽ △AOB.:C(4,3),CP1=5, .DP,=5-4=1..点P,的坐标 为(-1,3).过点C作CP2⊥x轴于点 E,交⊙C于点P2,则∠CEB= ∠AOB=90°，∠CBE=∠ABO. .△CEB∽△AOB.C(4,3), CP2=5,.EP2=5-3=2..点P 的坐标为(4，一2).过点C作CP3⊥ AB,交x轴于点F,交⊙C于点P3, 则∠BCF=∠AOB=90°，∠CBF= ∠OBA.'.△BCF∽△BOA.过点 16 P3作PG⊥CP2于点G,则 ∠P2GC=∠CEB=90° .∠P,CG+∠ECB=90°，∠CBE十 ∠ECB=90°，∴.∠CBE=∠P3CG. PC=CB,∴.△PGC≌△CEB. ..CG=BE,PG=CE.C(4,3), B(8,0),.CG=BE=4,P3G= CE=3..点P3的坐标为(1，-1). 综上所述，点P的坐标为(-1,3)或 (4,一2)或(1，-1). y AP:P2 (第8题) 5 9.4 解析：：DE⊥BC, .∠BED=90°.DE=3,BD=5, ∴.在Rt△BDE中，由勾股定理，得 BE=V√BD-DE=4.:BD⊥ DC,∴.∠BDC=∠BED=90°.又 :∠DBC=∠EBD,∴△BCDD ,即CP5 CD BD △BDE.·DE 3 41 ∴.CD= ：AB=CD,AB-只 41 方法归纳 直角三角形及其斜边上的高 组成的基本图形 如图，直角三角形斜边上的高 把直角三角形分成的两个小三角 形与原三角形相似且这两个小三 角形也相似，该基本图形中含有 AD2=BD·CD,AB=BD·BC, AC2=CD·BC. B 10.(1),△ABC是等边三角形， .AB=BC,∠ABD=∠BCE= ∠BAC=60° 在△ABD和△BCE中， AB=BC, ∠ABD=∠BCE, BD=CE, ∴.△ABD≌△BCE. ∴.∠BAD=∠CBE. 又，·∠ABC=∠BAC, ∴.∠ABC-∠CBE=∠BAC ∠BAD,即∠ABE=∠EAF. 又∠BEA=∠AEF, '.△ABEc∽△FAE (2).·∠BAD=∠CBE,∠BDA= ∠FDB, ..△ABD∽△BFD. )BD ·BDFD .AF=7,DF=1, ∴.BD2=AD·DF=(AF+DF)· DF=8. .BD=22. 11.(1)由 A AB 得 BD= AB·CB CA ·'BD=AD=AC-CD,CD= CB2 CA AC- CB2AB·CB CA CA ,∴.AC2-BC2=AB·BC. .∴.AC2=AB·BC+BC2=BC· (AB-+BC). ∴.在△ABC中，若∠ABC=2∠A, 则AC2=BC·(AB+BC). (2)8. (3)如图，作∠CBD=∠A,点D在 AC上，则∠ABD=2∠A. ∴.△ABD是“2倍角三角形”. .∴.AD=BD·(BD+AB). ,∠BDC是△ABD的外角， .∠BDC=∠A+∠ABD=3∠A. ∴.∠BDC=∠ABC 又.∠C=∠C, '.△CBD△CAB. CB BD CD CA一AB CB .AC=6,BC=4, CB CD CB·CB 8 CA CB ,即CD= CA 3 贯阳即器号 3 .AD=AC-CD=10 3 设BD=2.x,则AB=3x. =2.x(2x十3x), 解得x= J10 (负值舍去). .AB=3X- 0=而. 3 R (第11题) 专题特训四相似 三角形的基本模型 1.,在Rt△ABC中，∠C=90°，四 边形DEFC为其内接正方形， ∴.DECB. .∴.△ADEc△ACB,△AGE △AFB. ·把器器 设正方形DEFC的边长为x,则 15-x-x 1510 .x=6. .△AGE∽△AFB, .AE_GE AB FB 铝0-后 15 5 GE 3 10-651 六GR-9 2.C3△ocB日 4.(1).'DA=DB,EB=EC, DA DB EB EC 又，∠ADB=∠BEC, '.△DABc∽△EBC. .∠DAB=∠EBC,EB-BC, DA AB '.AD∥EB. ∴.∠DAF=∠AEB,∠ADF 17 ∠DBE. ∴.△ADF∽△EBF. .AD_DF EB BE ∴提器 ∴.DF·BC=BF·AB. (2)由(1)，得△DAB△EBC, .∠DBA=∠ECB. ,∠FAB=∠EAC, ,∴.△ABF△ACE +器即器 DF=CE, 指踪 由1.得识 “提 AB AB_AB+BC=1+是： BC BC AB ·易得56+1 BC 21 AC DF 5+1 :AB-BF 21 设DF=(√5+1)x,则BF=2x. DF DF ·BD-BF+DF (W5+1)x 2.x+(W5+1).x 5+15-1 5+3 2 小品的值为52 5.(1)CA⊥AD,ED⊥AD, CB⊥BE, ∴.∠A=∠CBE=∠D=90° ∴.∠C+∠CBA=90°，∠CBA+ ∠DBE=90° ∴.∠C=∠DBE. ∴.△ABC△DEB. (2):△ABCC△DEB, ∴品能 AB=8,AC=6,DE=4, 68 BD-4 '.BD=3.