专题特训四 相似三角形的基本模型-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(人教版)

拔尖特训·数学（人教版）九年级下 专题特训四， 相似 类型一“A”字型 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，有一内接 正方形DEFC,连接AF交DE于点G, AC=15,BC=10,求GE的长， (第1题) 类型二“X”字型 2.(2025·南京模拟)如图，在☐ABCD中，E是 AD边上的点，EC交对角线BD于点F,且 CF=2EF.下列关系式不一定成立的是 A.AE=DE B.BF=2DF C.DC=DE D.BC=2AE (第2题) (第3题) 3.如图，DE∥BC,OE=2.5,OB=4,则 △ODE∽ ,相似比为 4.(2024·合肥一模)如图，在△DAB 和△EBC中，DA=DB,EB=EC, ∠ADB=∠BEC,且点A,B,C在 同一条直线上，连接AE,ED,AE与BD交 于点F. 30 三角形的基本模型>“答案与解析"见I7 (1)求证：DF·BC=BF·AB (2若DF-(R.求的值 B (第4题) 类型三“一线三等角”型 5.如图，CA⊥AD,ED⊥AD,B是线段AD上 的一点，且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6, DE=4. (1)求证：△ABC△DEB, (2)求线段BD的长， (第5题) 6.(1)如图①，点B,C,D在同一条直线上 ∠B=∠ACE=∠D.求证：△ABC∽△CDE. (2)在(1)的条件下，若C为BD的中点，求 证：AC=AB·AE, (3)如图②，在△ABC中，∠BAC=90°，点O 是△ABC的内心.若OA=2√2，OB= √2OC,则BC的长为 ② (第6题) 类型四“手拉手”型 7.(2024·银川二模)图形的旋转变换 是研究数学相关问题的重要手段之 一.小华和小芳对等腰直角三角形 的旋转变换进行了研究.如图①，△ABC和 △ADE均为等腰直角三角形，点D,E分别 在线段AB,AC上，且∠C=∠AED=90°. (1)小华将△ADE绕点A按逆时针方向旋 转，连接BD,CE,设BD的延长线交CE于 点F,如图②，当点E与点F重合时. ①8P的省为 ②∠BFC的度数为 (2)如图③，小芳在小华的基础上继续旋转 △ADE,连接BD,CE,设BD的延长线交 CE于点F,则(1)中的两个结论是否仍然成 立？请说明理由. 第二十七章相似 (3)若AE=DE=√2，AC=BC=√10，CE 所在的直线垂直于AD,求BD的长， E(F D A D ① ② ③ (第7题)》 类型五“子母”型 8.*(2025·淮南模拟)如图，在△ABC中， AB=AC,∠A=36°，BD平分∠ABC交AC 于点D. (1)求证：△BDC∽△ABC. (2)若AC=1,求AD的长， B (第8题) 3AB=BC, ∠ABD=∠BCE, BD=CE, ∴.△ABD≌△BCE. ∴.∠BAD=∠CBE. 又，·∠ABC=∠BAC, ∴.∠ABC-∠CBE=∠BAC ∠BAD,即∠ABE=∠EAF. 又∠BEA=∠AEF, '.△ABEc∽△FAE (2).·∠BAD=∠CBE,∠BDA= ∠FDB, ..△ABD∽△BFD. )BD ·BDFD .AF=7,DF=1, ∴.BD2=AD·DF=(AF+DF)· DF=8. .BD=22. 11.(1)由 A AB 得 BD= AB·CB CA ·'BD=AD=AC-CD,CD= CB2 CA AC- CB2AB·CB CA CA ,∴.AC2-BC2=AB·BC. .∴.AC2=AB·BC+BC2=BC· (AB-+BC). ∴.在△ABC中，若∠ABC=2∠A, 则AC2=BC·(AB+BC). (2)8. (3)如图，作∠CBD=∠A,点D在 AC上，则∠ABD=2∠A. ∴.△ABD是“2倍角三角形”. .∴.AD=BD·(BD+AB). ,∠BDC是△ABD的外角， .∠BDC=∠A+∠ABD=3∠A. ∴.∠BDC=∠ABC 又.∠C=∠C, '.△CBD△CAB. CB BD CD CA一AB CB .AC=6,BC=4, CB CD CB·CB 8 CA CB ,即CD= CA 3 贯阳即器号 3 .AD=AC-CD=10 3 设BD=2.x,则AB=3x. =2.x(2x十3x), 解得x= J10 (负值舍去). .AB=3X- 0=而. 3 R (第11题) 专题特训四相似 三角形的基本模型 1.,在Rt△ABC中，∠C=90°，四 边形DEFC为其内接正方形， ∴.DECB. .∴.△ADEc△ACB,△AGE △AFB. ·把器器 设正方形DEFC的边长为x,则 15-x-x 1510 .x=6. .△AGE∽△AFB, .AE_GE AB FB 铝0-后 15 5 GE 3 10-651 六GR-9 2.C3△ocB日 4.(1).'DA=DB,EB=EC, DA DB EB EC 又，∠ADB=∠BEC, '.△DABc∽△EBC. .∠DAB=∠EBC,EB-BC, DA AB '.AD∥EB. ∴.∠DAF=∠AEB,∠ADF 17 ∠DBE. ∴.△ADF∽△EBF. .AD_DF EB BE ∴提器 ∴.DF·BC=BF·AB. (2)由(1)，得△DAB△EBC, .∠DBA=∠ECB. ,∠FAB=∠EAC, ,∴.△ABF△ACE +器即器 DF=CE, 指踪 由1.得识 “提 AB AB_AB+BC=1+是： BC BC AB ·易得56+1 BC 21 AC DF 5+1 :AB-BF 21 设DF=(√5+1)x,则BF=2x. DF DF ·BD-BF+DF (W5+1)x 2.x+(W5+1).x 5+15-1 5+3 2 小品的值为52 5.(1)CA⊥AD,ED⊥AD, CB⊥BE, ∴.∠A=∠CBE=∠D=90° ∴.∠C+∠CBA=90°，∠CBA+ ∠DBE=90° ∴.∠C=∠DBE. ∴.△ABC△DEB. (2):△ABCC△DEB, ∴品能 AB=8,AC=6,DE=4, 68 BD-4 '.BD=3. 6.(1).∠ACD=∠ACE+ ∠ECD=∠B+∠BAC,∠ACE= ∠B, .∠BAC=∠ECD. ∠B=∠D, .△ABCO△CDE. (2).·△ABCc△CDE “常際器 :C为BD的中点， .'BC=CD. “提器 又：∠B=∠ACE, ∴.△ABC∽△ACE. ..AB_AC AC AE ∴.AC=AB·AE. (3)10.解析：如图，过点O作EF OA,交AB于点E,交AC于点F. 点O是△ABC的内心， .'.∠EAO=∠FAO,∠ABO= ∠CBO,∠ACO=∠BCO.,AO= AO,∠AOE=∠AOF=90, .△AOE≌△AOF..AE=AF. 又：∠BAC=90°，.△AEF是等 腰直角三角形.∴.∠AEF= ∠AFE=45°，OE=OF=OA= 2√2..AE=√OE2+OA' √(22)2+(2√2)2=4=AF, ∠BEO=∠OFC=135.∠BAC 90°，：∠CB0+∠B00=2 (180°-90)=45°.∴.∠B0C 180°-45°=135°.∴.∠BE0= ∠BOC.,'∠BOF=∠BEO+ ∠OBE,∠BOF=∠BOC+∠COF, ∴.∠OBE=∠COF.∴.△BOE∽ △0R÷8器-8膘-2.0B= 0c,∴器-器-隈- ∴.BE=√2OF=√2X2√2=4，CF= OE=2=2.·AB=AE+BE= √2√2 4+4=8,AC=AF+CF=4+2=6. 在Rt△BAC中，BC=√AB+AC= /82+62=10. 0 B (第6题) 7.(1)①√2. ②45°. (2)仍然成立 理由：如图①，设AC交BF于点O. :△ABC和△ADE均为等腰直角 三角形， '.∠CAB=∠EAD=45°，AB= √2AC,AD=EAE ·∠DAB=∠EAC,A5AP-2. AC AE ∴.△DAB∽△EAC. BD AD CE AE =2,∠ABD=∠ACE. :∠AOB=∠FOC, ∴.∠BAO=∠CFO=45°，即 ∠BFC=45 (3)如图②，当CE⊥AD于点O时， :AE=DE=√2，AC=BC=√I0, ∠AED=∠ACB=90, ∴.AD=√2AE=2. EO LAD, .OD=OA=OE=1. '.在Rt△AOC中，OC= √AC2-AO=3. .EC=OE+OC=4. 由(2)，得BD=√2EC, ∴BD=42. 如图③，当FC⊥AD时，延长CE交 AD于点O. 同理，可得OD=OA=OE=1,OC= 3,则EC=3-1=2. ∴.BD=√2EC=2W2 综上所述，BD的长为4√2或2√2， C E ① 18 2 ③ (第7题) 8.(1)AB=AC,∠A=36, .∠ABC=∠C=(180°-∠A)÷ 2=72 :BD平分∠ABC, .∠ABD=∠CBD=36. ∴.∠DBC=∠A=36. ∠C=∠C, ∴.△BDC△ABC. (2):∠ABD=∠A=36, .AD=BD,∠BDC=∠A+ ∠ABD=72°=∠C ∴.BD=BC=AD .△BDCc∽△ABC,AC=1, CD_BC CB AC 1-AD_AD AD 1 解得AD=5,1或AD=二51 2 2 (舍去). AD的长为引 方法归纳 含36顶角的等腰三角形的 特殊性质 若等腰三角形的顶角为36°， 则底角的平分线把原三角形分成 的两个三角形中，有一个三角形与 原三角形相似，并且图中存在呈 “Z”形的三条线段相等. 第4课时相似三角形的性质 45 1.B2.B3.184. 5.(1).·△ABC△ACD, '.∠B=∠ACD