27.2 第2课时 利用三边比例关系、边角关系判定三角形相似-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(人教版)

1 G D (第5题) 6.6n(n+1)解析：OA,=1, .A1A2=2X1=2,A2A3=3X1=3, A3A=4X1=4,.:A,B1A2B2, 易得洗=识“中 1 B.AB,=6=2X2+1.同 理，可得A3B3=12=3×(3+1), A4B4=20=4×(4+1),… .'.AnBn=n(n+1). 7.5:4解析：如图，过点F作 FF,∥BC,交AD于点F1,过点E作 EE∥BC,交AD于点E.:BE 子AB,CF=号AC装=是 铝=子：E,E,∥ .EEFF1.∴.△E,EPC△F,FP. 3-器：F,C,E/ 取是识-能需 带=子又：D是C的中点， .BD=CD.∴. EP 限即m:R=5:4 B D C (第7题) 8.如图，过点D作DM∥CF,交AB 于点M. 设FM=x,FQ=y. DM//CF, BM BD ·.FMCD =p .BM=xp. ∴.FB=BM+FM=xp+x. 帮 ∴.AF=xr(p+1). :DM∥FQ, 1易得品部 zr(p+1) “品z干p+D 1+r(p+1) .'.DM= r(p+1)y. DM//CF, 易得学兴 xp p xp十xp+1 .CF=1+r(p+1) pr V. 1+r(p+1) ry-y1十r y 过点F作FN∥BE交AC于点N,同 理可得器之 gr R D (第8题) 9.(1),EGBC, .∠2=∠ABC. .'AB=AC, ∴.∠ACB=∠ABC 由旋转的性质，得∠1=∠ACB, .∠1=∠2 (2)∠1=∠2， .'EG=EB. 由旋转的性质，得CD=BE, .'EG=CD GE//CD, ∴四边形DCGE是平行四边形. .GH//FD. '.△AGHc∽△AFD. 10.(1).CE∥AD 器提2-∠E∠1-∠E 14 AD平分∠BAC, ∴.∠1=∠2. ∴.∠ACE=∠E. .∴.AE=AC. 授品 (2)AB=3,BC=4,∠ABC=90°， '.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC=√AB2+BC=5. :AD平分∠BAC, “6品即品 3 BD BD=名BC= 8 2 '.在Rt△ABD中，由勾股定理，得 AD=BD+AB=√（受）+8 3√5 2 .△ABD的周长= 3 2 +3+ W5_9+35 2 21 第2课时利用三边比例关系、 边角关系判定三角形相似 1B2.C3或 5 4.设两，点的运动时间为xs,则AD= x cm,CE=2x cm. ∴.AE=(12-2.x)cm. 情况一：若△ADE∽△ABC, ∠A=∠A, 只要使裙怎即可， ÷专12解得1 12 情况二：若△AED∽△ABC, :∠A=∠A, :只要使是铝即可。 六危-12。之解得=48 综上所述，当两，点的运动时间为3s 或4.8s时，以A,D,E为顶点的三角 形与△ABC相似. 5.B6.C 7.A解析：由题意，得在①②④中， ∠ABC=∠ADE=∠AFH=135 :授架是9：带 器常-器：△Acn DE'FH △ADE∽△HFA. 方法归纳 利用边角关系判定两个 三角形相似的方法 先找出两个三角形中相等的 角，再分别找出两个三角形中夹这 个角的两条边，并且按从大到小的 顺序排列，找出对应边，最后看 这两组对应边是否成比例.若 成比例，则这两个三角形相似： 否则不相似， 8.B解析：由题意，易知“帅”“相” “兵”所在位置的格点构成的三角形的 三边长分别为2,2√5,42：“车”与 “炮”之间的距离为1，“炮”与②处 之间的距离为√5，“车”与②处之间 的距离为22.“5=221 25422, ∴.“马”应该落在②处」 9.8.4或2或12解析：设DP=x, 则BP=BD-DP=14-x.,AB⊥ BD,CD⊥BD,.∠B=∠D=90. 当部器时，△MBPn△CDP,即 =14工，解得x=5.6.BP= 4 14-56=84当品-货时， △ABP∽△PDC,即E=4二.整 C 4 理，得x2-14x十24=0，解得x1=2, x2=12.当DP=2时，BP=12.当 DP=12时，BP=2.∴.当BP的长为 8.4或2或12时，以C,D,P为顶点 的三角形与△ABP相似. 10.设点E的坐标为(，21+2) 当y=0时，2x+2=0,解得x= 一4， .A(-4,0) 当x=0时y=2×0+2=2, .B(0,2) ∴.B0=2. ,点C的坐标为(4,4)，CD⊥x轴， ∴.CD=4,BC=√4+(4-2)7= 25. CD//OB, ∴.∠EBO=∠BCD. 当器8器时，△POn△D. 即B距=2，解得E=5. 254 ∴.2+ (21+2-2)=5,解得1=2 (不合题意，舍去)，t2=一2，此时点E 的坐标为(-2,1). 当邵80时，△0BP△cD,即 BE=品，解得E=45 425 5 ∴.t2+ (+2-2)=,解得 =号（不合题意，舍去：= 此时点E的坐标为（亭，号） 综上所述，点E的坐标为(-。，号】 或(2,1) 11.(1)设直线AD对应的函数解析 式为y=kx十b. 把A(停，号)，D(0,1D代入，得 4k十b一 5 1 k= 3解得 2 b=1, b=1. ∴.直线AD对应的函数解析式为y= 2+1. (2)在y=2x+1中，当y=0时， 名1=0解得=一2 ∴.B(-2,0) OB=2. :点D的坐标为(0,1)， .OD=1 在Rt△BOD中，由勾股定理，得 BD=/OB2+OD2=√5. 在y=-x+3中，令y=0,则x=3, 15 .C(3,0) .0C=3. ∴.BC=BO+OC=5. 如图，△BOD与△BCE相似，有两种 情况： ①当∠BE,C=90°，即△BOD∽ △E,C时，有股品品即 52 1 5BE CE' ∴.BE1=25,CE1=√5. 设点E,的纵坐标为h. 根据三角形的面积公式，有2BC· 1 h=2CE,·BE :h_CEBE_5X25-=2 BC 1 当y=2时，2x十1=2，解得x=2. .E1(2,2) ②当∠BCE2=90°，即△BOD∽ △BCE2时，CE2⊥x轴，此时点E2 的横坐标为3，纵坐标为了×3+ E(3) 综上所述，当△BOD与△BCE相似 时，点E的坐标为2,2)或(3，号) D B O (第11题) 易错警示 考虑不全面，造成漏解 对于两个三角形的相似，若已 知一个三角形的三边长，但是另一 个三角形只给出一条边的长，且没 有给出两个三角形之间的对应关 系，则要进行分类讨论.本题中需 要根据坐标确定边长，然后根据对 应边的不确定性进行分类讨论.此 类题目容易因考虑不全面，造成 漏解拔尖特训·数学（人教版）九年级下 第2课时利用三边比例关系、边角 自基础进阶 1.(2025·昆山模拟)下列三角形中，与如图所 示的三角形相似的是 B. B 18 21D12C (第1题) (第2题) 2.如图，根据图中的数据，一定能得到() A.△AED∽△CEDB.△ABEU∽△ACB C.△ABCP△EDCD.△AEDP△CBA 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，B AC=4,BC=3,D是边AB上 D 的-点，AD=1,E是边AC上C EA 的一点（不与端点重合）.如果（第3题） 以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似， 那么AE的长是 4.如图，在△ABC中，AB=6cm,AC=12cm, 动点D从点A出发到点B停止，动点E从 点C出发到点A停止.点D的运动速度为 1cm/s,点E的运动速度为2cm/s.如果两 点同时开始运动，要使以A,D,E为顶点的 三角形与△ABC相似，求两点的运动时间. (第4题) 26 关系判定三角形相似、“答案与解析”见P14 幻素能攀升 5.新考法·开放题如图，△ABC和△PBD都是 正方形网格（每个小正方形的边长均为1）上 的格点三角形（顶点为网格线的交点）.若要 使△ABC△PBD,则点P的位置应落在 ( ) A B (第5题) A.点P1上 B.点P2上 C.点P3上 D.点P4上 6.如图，在△ABC中，D为边AC上一点，P为 边AB上一点，AB=12,AC=8,AD=6.当 △ADP和△ABC相似时，AP的长为() D (第6题) A.9 B.6 C.4或9 D.6或9 7.*如图，在由边长为1的小正方形组成的网 格中有5个三角形（三角形的顶点均在格 点上)：①△ABC;②△ADE;③△AEF; ④△AFH;⑤△AHG.在②~⑤中，与①相 似的三角形是 (第7题) A.②④ B.②⑤ C.③④ D.④⑤ 8.在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长 均为1)中，根据“马走日”的规则，要使“马” “车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与 “帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形 相似，则“马”应落在 马 宾 ② ③ 相 车炮 (第8题)》 A.①处B.②处 C.③处 D.④处 9.(2025·抚州临川一模) 如图，AB⊥BD,CD⊥ P B D BD,AB =6,CD=4, (第9题) BD=14.点P在BD上 移动，当以P,C,D为顶点的三角形与 △ABP相似时，PB的长为 10.如图，在平面直角坐标系中，一次 函数y-x十2的图象分别交 x轴、y轴于A,B两点，过该函数图象上一 点C(4,4)作CD⊥x轴于点D,E是线段 AB上一动点，连接BD,EO.若以B,E,O 为顶点的三角形与△BCD相似，求点E的 坐标 B E 0 (第10题) 第二十七章相似 思维拓展 金 1.易错题如图，在平面直角坐标系中，直线 y=一x十3与x轴交于点C,与直线AD交 于点A传，》点D的坐标为012 (1)求直线AD对应的函数解析式 (2)直线AD与x轴交于点B,若E是直线 AD上一动点（不与点B重合），当△BOD 与△BCE相似时，求点E的坐标， D B O C八 (第11题) 27