第二十六章 反比例函数 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(人教版)

a=-1. ∴.二次函数的解析式为y=一(x 12)2+100. 把，点(12,100)向左平移4个单位长 度，得到，点(8,100)， 将(8,100)代人y= 得=80 (2)超过20min. 理由：由y=-(x-12)2+100=36, 解得x1=4,x2=20(不合题意，舍去). 由y=800 x 36,解得x=22 9x+ 4=222 4=269 ·262 -4=22 (min),22 2 9 20, ∴.“拥挤状态”持续的时间超过 20 min. 第2课时反比例函数在 物理学科中的应用 1.D2.0.8 3.(1)如图，结合图象可知，它是反比 例函数. (2)设y关于x的函数解析式为y= (x>0. x .点(10,24)在图象上， ..k=10×24=240 .y关于x的函数解析式为y= 240(x>0. (3):在y=240中，当x>0时，y随 x的增大而减小， ∴.当x的值最大时，y最小 ∴.当x=80时，弹簧秤的示数y取得 最小值，最小值为3. ty/N (10,24) (20,12) (30,8) 40,6)(50,4.8) 0 x/cm (第3题) 4.D5.B 6.4 方法归纳 反比例函数在物理学科 中的应用 反比例函数在物理学科中的 应用主要体现在下列方面：阻力X 阻力臂=动力X动力臂，压力=压 强X受力面积，电流=电压÷电 阻，体积=质量÷密度等 {60(00≤≤30， 7.R= 解析：温 151-6>30) 度在由室温10℃上升到30℃的过程 中，电阻与温度之间成反比例函数关 系，∴.当10≤t≤30时，可设函数解 析式为R=冬.将(10,6)代人，得 、名=6，解得k=60.·当10≤1≤30 时，R与t之间的函数解析式为R= 9:当=0时R=8=2当 温度为30℃时，电阻为2k2.·当温 度达到30℃时，电阻下降到最小值， 随后电阻随温度的升高而增加，且温 度每上升1℃，电阻增加吉k0,当 >30时，R=2+言-30)=言 4 6.∴.R与t之间的函数解析式为R= (10<1≤30)， t 4 {15-6(1>30). 8.(1)①1. ②如图所示. (2)增大. (3)不能. 理由：由题意，设R=km十b(k≠0，b 为常数). 24=b, 将(0,24)，(3,0)代人，得 0=3k+b, k=一8， b=24. ..R=-8m+24. 6 又：I=R+3 10 6 ∴.1=-8m+27 由(2)，知I随着m的增大而增大， .当I=0.4时，m=1.5<2. ∴.该电子托盘秤不能称出2kg的物 体的质量 I/mA 2.25 2.00 1.75 1.50 1.00 0.75 0.50 0.25 0123456789R/k2 (第8题) 第二十六章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1<解析：点A(a,m), B6,)在反比例函数y=的图象 上，∴.am=bn=1.n<0,即m,n 异号，a,b异号.a<b,∴a<0, b>0.∴.点A(a,m)在反比例函数 y=上第三象限的图象上，点B(6,) 在反比例函数y=上第一象限的图象 上..∴.m<0,n>0,即m<n. [变式]5<k≤9解析：由题意，设 C(1,n)(1<n<5)..'.AC=n-1. AB=4,..BC=AB-AC=5-n. 由旋转，得CD=BC=5一n .D(6-n,n).点D在反比例函 数y=(k≠0)的图象上，k= x n(6-n)=-n2+6n=-(n-3)2+ 9.,.当n=1时，k=5:当n=3时， k=9..5<k9! 典例2-2解析：连接OB,OA. AB∥x轴，∴.△OAB的面积= △ABC的面积=4.：△OPB的面 6 积二2 =3,△OAP的面积=。 2 多+3=4.：<0，.6=-2 2 [变式]8解析：过点A作AM⊥ x轴于点M,过点D作DN⊥x轴于 点N.:反比例函数)=的图象经过 点A和边BC的中点D,'.S△AM S%N=号.：四边形OABC是平 行四边形，∴.OA∥BC,OA=BC D是BC的中点，.OA=BC= 2BD.∴.S△A0w=2S△Am=2X3=6. 设D(货)小，则易得点B的纵坐标 为2，A(会2n）.5m S△AOM十S梯形AND一S△N= Sw=2m+2)(失会)=6， 解得k=8. 典例34解析：点E,M,D在函 数y=(x>0)的图象上，.SAmR= 合1k1Saw=号k.如图过点M 作MG⊥y轴于点G,作MN⊥x轴于 点N,则易得S矩形Mc=k.又”M 为矩形ABCO的对角线的交点， .S矩无形A0=4S矩形MNOG=4k.:函 数图象在第一象限，.k>0. ",'S矩形AD=S△cE+S△OAD十 S但边0DE,·.2 +冬+2=， .k=4. D k(x>0) y- 0 A (典例3图) [变式](1)将x=一2代人y=元， 6 得y=-3. .B(-2,-3) 将B(-2,-3)代人y=a.x-1,得 -2a-1=-3. .a=1. ∴.一次函数的解析式为y=x一1. 一次函数的图象如图所示， (2)存在. 点P的坐标为(1，-1)或(5,5)或 (-5,-5). 4F 3 2 1 A -5-4-3-2-1012345x 2 -3日 -47 -5 典例4V≥0.6解析：由题意，知气 球内气体的压强p(Pa)与气球体积 V(m3)之间的函数解析式为p= 240,:当气球内气体的压强不超 过40000Pa时，气球不会爆炸， 24000≤40000，解 .p≤40000..V 得V≥0.6.∴.为确保气球不爆炸，气 球体积V(m3)的取值范围是V≥0.6. [变式](1)根据表中数据，可知视 力值V随着宽度a(mm)的减小而增 大，且视力值V和宽度a(mm)的积为 定值， ∴.视力值V与宽度a(mm)成反比例 函数关系 设视力值V与宽度a(mm)之间的函 数解析式为V= a 将V=0.1,a=70代入V=,得 a 0.1-%解得k=7” ∴.视力值V与宽度a(mm)之间的函 7 数解析式为V= (2)·第4行首个字母E的宽度是 35mm, :将a=35代入V-子，得V-品 7 0.2. 第7行首个字母E的宽度是 17.5mm, :将a=1.5代入V=子，得V- 7 17.5 =0.4. ∴.第4行、第7行对应的视力值分别 是0.2,0.4. 11 [综合素能提升] 1.D2.C 32023 253 解析：如图，点P1,P2, P3,…,P224的横坐标依次为1,2， 3,…,2024,'.涂色矩形的一边长都 为1.将除第一个矩形外的所有矩形 向左平移至y轴，.S1十S2十 S3十…十S223=S矩形ABP,D.把x= 2024代人y=8, ，得y=2,即 OA= 253SE形和x=0A·0C 253根据题意，得S0P,D=8, 、S矩形ABP,D=S矩0CP,D一S矩形OAx= 12023 8253 253 P D P P P224 01c2345 2024x (第3题) 4.4解析：过点E作EH⊥BC于点 H.设A(e,）,Cc,0.E是矩 形ABCD的两条对角线的交点，∴.易 得E(告会)”点E在反比例函 数y=位于第一象限的图象上， 2 2a =k.∴.c=3a. :△0CE的面积为3,2·0C· EH=c·盒-3A=4 5.(I):点M(分，4)在反比例函数 y的图象上， k=2×4=2 反比例函数的解析式为y=是 :点N(m,1)在反比例函数y=2的 图象上， .n=2. .N(2,1). 设一次函数的解析式为y=a.x十b. 将M(2,4)N(2,1)代人，得 2a+b=4解得 1 a=-2, b=5. 2a+b=1, ∴.一次函数的解析式为y=一2x十5. (2)如图，设直线1交x轴于点A,交 y轴于点B ,直线1对应的函数解析式为y= -2.x+5, A(号0)B0,5). ÷0A=号，0B=5 .S△OMN=S△AOB-S△AON S△mw=ZA0·B0-2A0·yN- 号0·w=合×号5-× 1 1 1 ×115 (3)如图，作点M关于y轴的对称点 M',连接M'N交y轴于点P,则 PM+PN的最小值等于MN的长. :点M(3,4)与点M关于y轴 对称， M(-24: 又.N(2,1), ∴.易得直线M'N对应的函数解析式 为y=+吕 17 令x=0,则y=5· ·点P的坐标为(0，号）)： (第5题) 6.(1)在矩形ABCD中，A(1,0), B(2,0), .点E的横坐标为2. 把x=2代人y=2,得y=1, .点E的坐标为(2,1). (2)如图，连接CM. 设反比例函数的解析式为y= (k>0). A(1,0),B(2,0), M1,.N(么，)AB=1 k :.AM=k,BN=2. 由题意，可知AM=CM=k,AN= CN,CD=AB=1, 由勾股定理，得DM= √CM-CD=√R2-1下= √R2-1,AN=√BN2+AB= √)+. :在矩形ABCD中，AD=BC, AD=AM+DM=k+√R-I, BC=BN+CN=BN+AN= k V4+1, 小k+-=令十 k2 2√4+1. √+1-可，壁理， 得2件可-好 4(低+1)2-1)= .3k2=4. 由题意，得k>0, =2⑤ 31 ∴.AD=k+√-1=5，M(1, 29)N(e9) 设线段MN所在直线对应的函数解 析式为y=ax十b. 12 将M(1,25)N(2,号)代人，得 25 a+b= 3 解得 3, 2a+b= 3 b=5. ,'.线段MN所在直线对应的函数解 析式为y= 3x+5 y 0 A B x (第6题) 7.(1)y=50-x. (2)设基本价为b万元， 第1场~第20场，即当1≤x≤20且 x为正整数时，设力与x的函数解析 式为b=a.x+b(a≠0). 依题意，得 3a十b=10.6·解得 10a+b=12, a=0.2, b=10. .p=0.2x+10. 第21场~第40场，即当21≤x≤40 且x为正整数时，设p与x的函数解 析式为p=”+b(m≠0)，即b 2+10 依题意，得14.2= +10,解得m= 25 105, ·p=105 10. ∴.当1≤x≤20且x为正整数时，p 与x之间满足的函数解析式为p= 0.2x+10: 当21≤x≤40且x为正整数时，p与 x之间满足的函数解析式为p= 105+10. (3)当1≤x≤20，p=13时，0.2x+ 10=13,解得x=15: 当21≤x≤40，p=13时，10 +10= 13,解得x=35 经检验，x=35是分式方程的解，且符 合题意. ∴在第15场或第35场产品发布会 上，产品销售单价为13万元. (4)设每场获得的利润为万元. 当1x20且x为正整数时，心 (0.2x+10-10)·(50-x)= -0.2x2+10x=-0.2(x-25)2+ 125. ,在对称轴的左侧，心随x的增大而 增大， ∴.当x=20时，心最大，最大利润 为-0.2×(20-25)2+125=120（万元）. 当21≤x≤40且x为正整数时，w= (+10-10）·(0-) 5250 -105. 心随x的增大而减小， .当x=21时，最大，最大利润为 5250-105=145(万元). 21 .145>120, .在这40场产品发布会中，第21场 获得的利润最大，最大利润为145万元. 第二十七章相似 27.1图形的相似 1.C2.D3.A4.4 5.152083 方法归纳 相似多边形的性质的应用 相似多边形的性质通常用来 求两个相似多边形中的未知边或 角.同时，相似比是1的两个多边 形一定全等，即全等多边形是一种 特殊的相似多边形， 6.设每条纵向小路的宽为xm. ,小路内外边缘所围成的两个矩形 相似，两条横向小路的宽均为1.2m, ·.602×1.2902x,解得x三 60 1.8,或60-X1.2=902,解得 90 60 x=25.8(不符合实际意义，舍去) ∴.每条纵向小路的宽为1.8m. 7.D 8.D解析：，四边形ABEF是正方 形，.设EF=AF=x,则CD=x. ,矩形ABCD∽矩形ECDF,AD= CD AD 3+5,DFEF·3+5 3+5.x=1+5或x=-4-25 (舍去).经检验，x=1十√5是分式方 程的解.∴.DF=AD-AF=3+√5 (1+5)=2. 9.4 10.2解析号--a 2h,c=-2。 c 一2. '.题图中横线上应填写的数值是2. 11.(1)√5：1. (2)由题意，可知s=1十a十1+b 1 a+b+2 5+2=1. a+b+ab+1√5+1+1 12.(1)√2：1.解析：如图，由折叠 过程，可知第一次折叠，点A与点D 重合，四边形ABDC为正方形，折痕 BC为对角线，由勾股定理，可得 BC=√2AB:第二次折叠，第一次的折 痕与A4纸较长边重合，即BC与较长 边重合.∴.较长边=√2AB..A4纸 较长边与较短边的比为√2：1. (2)A4纸与A5纸是相似图形， 理由：，A4纸较长边与较短边的比 为√2：1， ∴.设A4纸较短边为a,则较长边为 2a. ,·由题图②，可知A5纸的较长边与 A4纸的较短边一样长，A5纸的较短 边等于A4纸的较长边的一半， ∴.A5纸的较长边为a,较短边为 2a. 13 '.A5纸的较长边与较短边的比为 a9-1 ∴.A4纸较长边与较短边的比=A5 纸较长边与较短边的比 又，A4纸与A5纸的四个角均为 直角， .A4纸与A5纸为相似图形 A A4 B A B (第12题) 27.2相似三角形 第1课时相似三角形 及平行线分线段成比例 1.C 2.B 方法归纳 利用平行线分线段成比例 求线段长的思路 利用平行线分线段成比例求 线段长，需先确定图形中的平行线， 由此找出线段间的比例关系，结合 待求线段与已知线段写出一个含 有它们的比例式，从而构造出方 程，然后解方程求出线段长 3.3 4.EF//CD,AE=2EC, “装带-2 .DE∥BC, ·品瓷2 设DF=m,则AF=2m,AD=3m, DB-. .'AF DF DB=2m m 3 = 4:2:3. 5.B解析：如图，过点D作DG∥ BE,交AC于点G..DG//BE,D是 BC的中点，.G是CE的中点 ÷cG=G=2BC.:EF∥DG拔尖特训·数学（人教版）九年级下 第二十六章整合拔尖 >“答案与解析”见P10 知识体系构建 反比例函数 般地，形如=(k为常数，k0)的函数，叫做反比例函数 的定义 反比例函数 待定系数法设、代、解、定 解析式的求法 列表 反比例函数的图象的画法描点 反比例函数的 反比例函数的图象 连线 图象和性质 反比例函数的图象是双曲线 反比例函数 当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限， 在每一个象限内，y随x的增大而减小 反比例函数的性质 当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限， 在每一个象限内，y随x的增大而增大 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴 反比例函数y套中 围成的矩形的面积为k 比例系数k的几何意义 注意构造函数模型，然后运用反比例函数的图象和性质进行解答， 实际问题与 借用列方程的思想列函数关系时，自变量的取值要符合实际意义 反比例函数 用反比例函数解决实际问题的步骤。审、设、列、写、解 S高频考点突破 考点一反比例函数的图象与性质 取值范围是 典例1已知点A(a,m),B(b,n)在反比例函 考点二反比例系数几何意义的应用 数y=的图象上，且a<6,mm<0,则n 典例2如图，过y轴正半轴上的一点P作x轴 的平行线，分别与函数y=(k<0,工<0)和 n(填“>”或“<”)】 [变式](2024·宿迁二模)如图，y1 y-(x>0)的图象相交于点A,B,C是x轴 在平面直角坐标系中，点A,B的 上一点.若△ABC的面积为4，则k的值为 坐标分别为(1,1)，（1,5)，动点C 在线段AB上（不与端点重合），点 0 B绕点C按顺时针方向旋转90°得到点D.若点 D在反比例函数y=冬（≠0的图象上，则长的 O C (典例2图) 18 第二十六章反比例函数 [变式]如图，在平面直角坐标 考点四反比例函数的实际应用 系中，□OABC的顶点C在 典例4(2024·苏州期末)某气球内充满了一 x轴的正半轴上，A是第一象限 定质量的气体，在气温不变的条件下，气球内气 内一点，反比例函数y=的图 0 体的压强p(Pa)与气球体积V(m3)之间满足反 象经过点A和边BC的中点D,连接AD,OD. 比例函数关系：力-2400，当气球内气体的图园 若△ABD的面积为3，则k的值为 不超过40000Pa时，气球不会爆炸，为确保气球不 考点三反比例函数与几何图形的综合 爆炸，气球体积V(m3)的取值范围是 典例3(2025·通州 [变式]视力表上视力值V和字母E的宽度 模拟)如图，函数y= a(mm)之间的关系是我们已经学过的一类函 x (x>0) 数模型，字母E的宽度a(mm)如图所示，经整 (x>0)的图象经过矩形 0 理，视力表上部分视力值V和字母E的宽度 OABC对角线的交点M, (典例3图) a(mm)的对应数据如下表： 分别交AB,BC于点D,E.若四边形ODBE的 位置 视力值V 宽度a/mm 面积为12，则k的值为 第1行 0.1 70 [变式]已知一次函数y=a.x一1(a为常数)的 第5行 0.25 28 图象与x轴交于点A,与反比例函数y=6的 第8行 0.5 14 第14行 2.0 3.5 图象交于B,C两点，点B的横坐标为一2， (1)求出一次函数的解析式，并在如图所示的平 (1)请你根据表中的数据，求出视力值V与宽度 面直角坐标系中画出它的图象 a(mm)之间的函数解析式， (2)在平面内是否存在一点P,使以O,B,C,P (2)经过测量，第4行和第7行两行的首个字母 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直 E的宽度分别是35mm和17.5mm,求第4行、 接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由， 第7行对应的视力值 3 2 -5-43-21 012345x -2 -4 19 拔尖特训·数学（人教版）九年级下 综合素能提升 1.(2024·广州)函数y1=a.x2+bx十c与y2=5.(2024·雅安)如图，在平面直角坐标系中，一 的图象如图所示，当1y:均随着x的增 次函数的图象1与反比例函数y=飞的图象 2 大而减小时，x的取值范围是 交于M号4N(n,1)两点. A.x<-1 B.-1<x<0 (1)求反比例函数及一次函数的解析式. C.0<x<2 (2)求△OMN的面积 D.x>1 (3)若P是y轴上一动点，连接PM,PN,当 (第1题) 2.(2024·滨州)已知点M(x1,y1),N(x2,y2) PM十PN的值最小时，求点P的坐标 在反比例函数y=一2张+3(k为常数)的 x 图象上.若x1<0<x2,则y1,y2,0的大小关 系为 () A.y1<y2<0 B.y1>y2>0 (第5题) C.y1<0<y2 D.y1>0>y2 3.如图，函数y=8(x>0)的图象上有点P, P2,P3,…,P224,它们的横坐标依次为1,2， 3,…,2024,分别过这些点作x轴与y轴的 垂线，图中所构成的涂色部分的面积从左到 右依次为S1,S2,S3,…,S2o23,则S1+S2十 S3十…+S2023= y P P24 012345 2024元 (第3题) 4如图，反比例函数)在第一象限的图象子 过矩形ABCD两条对角线的交点E和顶点 A,点B,C在x轴上，△OCE的面积为3，则 k= (第4题) 20 第二十六章反比例函数 6.已知矩形ABCD在平面直角坐标系 7.某商店为了推销一种新产品，在某地先后举 中，点A,B的坐标分别为(1,0)， 行了40场产品发布会，已知该产品每台的成 (2,0). 本为10万元，设第x场发布会的产品销售量 (1)如图①，若函数y=2（x>0)的图象经过 为y台，第1场发布会销售产品49台，且此 后每增加一场，产品就少卖出1台.每场发布 点D,且与BC交于点E,求点E的坐标 会上产品的销售单价p(万元)由基本价和浮 (2)如图②，将矩形沿线段MV翻折，使得 动价两部分相加组成，其中基本价保持不变， 点C与点A重合，此时点M,N在同一个反 第1场~第20场浮动价与发布场次x成正 比例函数的图象上，试求出此时矩形的边 比，第21场第40场浮动价与发布场次x AD的长和线段MN所在直线对应的函数解 成反比.经过统计，得到如下数据： 析式 场次x 3 10 25 D p/万元 10.6 12 14.2 (1)请直接写出y关于x的函数解析式， 0 B x 2 (2)求p与x之间满足的函数解析式. ① (3)在第几场产品发布会上，产品销售单价 (第6题) 为13万元？ (4)在这40场产品发布会中，哪一场获得的 利润最大？最大利润是多少？ 2