专题特训三 反比例函数与几何图形的综合-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(人教版)

拔尖特训·数学（人教版）九年级下 专题特训三 反比例函数 类型一反比例函数与角综合 1如图，一次函数y-x+3的图象与x轴交 于点A,与反比例函数y=在第一象限的图 象交于点B(2,m),过点B作BC⊥x轴，垂 足为C,P是反比例函数)y一在第一象限的 图象上的一点，且∠PBC=∠ABC,则点P 的坐标为 y B A 0 C、x (第1题) (第2题) 2如图，一次函数y=一号十2的图象与反比 例函数y一冬在第二象限的图象交于点 A(a,3),与x轴交于点C,P(1,m)为平面直 角坐标系内一点.如果∠PAC=∠ACO,那 么点P的坐标为 类型二反比例函数与三角形综合 3.如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角 形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y= 6在第一象限的图象经过点B,则△OAC与 △BAD的面积之差为 () DP 0■ (第3题) A.36B.12C.6 D.3 4.如图，一次函数y=kx十b的图象与反比例函 数y=”在第一象限的图象交于点A,与x轴 12 与几何图形的综合，“答案与解析”见7 15 交于点B(5,0),OB=AB,且S△0AB=2: (1)求反比例函数与一次函数的解析式 (2)若P为x轴上一点，连接AP,△ABP 是等腰三角形，求点P的坐标. (第4题) 类型三反比例函数与四边形综合 5如图，函数y=2x和函数y=的图象交于 A,B两点，过点A作AE⊥x轴于点E.若 △AOE的面积为4，P是坐标平面内一点， 且以B,O,E,P为顶点的四边形是平行四边 形，则满足条件的点P的坐标是 y (第5题) (第6题) 6.(2025·温州模拟)如图，矩形OABC的边 OA,OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象 限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边 形OA'B'D与四边形OABD关于直线OD 对称（点A'和点A,点B和点B分别对应）. 若AB=1,反比例函数y=(≠0)的图象 恰好经过点A',B,则k的值为 7.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的 一边OA在x轴负半轴上，点A的坐标为 (一13,0)，菱形的对角线AC与OB相交于 点D,且AC·OB=130.若反比例函数y 在第三象限的图象经过点D,并与BC的 延长线交于点E,连接OE.求： (①)反比例函数y=的解析式 (2)S△AOB·S△OcE的值， (第7题) 8.在平面直角坐标系中，横坐标为a的点A在 反比例函数)乡位于第一象限的图象上， 点A'与点A关于原点O对称，一次函数y= mx十n的图象经过点A'. (1)如图①，设a=2,点B(4,2)在函数y 飞和y=mx十n的图象上. ①分别求反比例函数和一次函数的解析式. ②直接写出使>mx十n>0成立的x的取 值范围. (2)设m-号，如图@，过点A作ADLx轴， 与函数y=x十n的图象相交于点D,以 AD为一边向右侧作正方形ADEF,求证：函 第二十六章反比例函数 数y=m.x十n的图象与线段EF的交点P一 定在函数y=的图象上， ① (第8题) 类型四反比例函数与圆综合 9.如图，在平面直角坐标系中，边长为 4的等边三角形AOB的顶点O为 坐标原点，点A在y轴正半轴上，反 比例函数y=位于第一象限的图象经过点 B.过点A作y轴的垂线，交反比例函数的 图象于点C,将∠CAB与曲线CB所围成 的图形绕点A顺时针旋转，使点B落在y轴 上，点C的对应点为D,则扇形CAD的周长为 (第9题) (第10题) 10.(2024·新乡三模)如图，反比例函数y= 的图象经过点A(2,4),连接AO并延长，交 双曲线于点C.以AC为对角线作正方形 ABCD,点B在第四象限，过点A,O,B作 弧，则图中涂色部分的面积之和为 13∴.点B的坐标为(m十4,8). BE=m+4-8=m-4, .∴.DF=BE=m-4. ..OD=8-(m-4)=12-m. ..AB·OD=m(12-m)=-(m- 6)2+36. ∴.当m=6时，AB·OD取得最大 值，最大值为36 y EB 0 DF (第5题) 专题特训三反比例 函数与几何图形的综合 1.(8,1)解析：由题意，得C(2,0), m=2×2+3=4,B(2,40.k= 8.∴.反比例函数的解析式为y= 8 如图，延长BP交x轴于点D.在y= 2x+3中，当y=0时，x=-6. ∴.A(-6,0..AC=8.BC x轴，∠PBC=∠ABC,∴.∠BAC ∠BDC..AB=BD..AC=CD 8...OD=O℃+CD=2+8=10. ∴.D(10,0).设直线BD对应的函数 解析式为y=ax+b.将B(2,4), D(10,0)代入，得 2a十b=4,解得 10a+b=0, 1 d=- 2’.直线BD对应的函数 b=5. 解析式为y=一 1 x十5.联立 8 y- x=2, x=8, 解得 或 1 y=- 2x+5, y=4y=1 .P(8,1). B P A OC (第1题) 2.(1,3)或(1，-1)解析：由题意， 得-7a十2=3解得a=-2 .A(-2,3)..k=-2×3=-6.当 点P在AC的上方时，如图①. ∠PAC=∠ACO,∴.AP∥x轴. .P(1,3).当点P在AC的下方时， 设AP与x轴的交，点为E(t,0),如图 @.:在y=x+2中，令y=0, 则x=4,∴.C(4,0).CE=4-t. :∠PAC=∠ACO,∴.CE=AE,即 CE2=AE2.:易得AE2=(t+2)2+ 32,∴.(4-t)2=(1十2)2+9，解得1 子：E(行0小设直线AE对应的 函数解析式为y=nx+b.将A(-2, -2+b=3, 3),E(任，0)代入，得 4n+b=0, 解得 .y= 1 3x+3 b3 4 在y=-3x+3中，令x=1,则 y=-1.∴.P(1,-1).综上所述，点 P的坐标为(1,3)或(1，-1). ① ② (第2题) 3.D解析：设△OAC和△BAD的 直角边长分别为a,b,则点B的坐标 为(a十b,a-b).点B在反比例函 数y=位于第一象限的图象上， '.(a+b)X(a-b)=a2-b2=6. 5ac-5=2a2-28 7 2a-6)=2x6=8 4.(1)如图，过点A作AD⊥x轴于 点D .B(5,0) ..OB=5. :Su=号 ·2X5XAD-5 1 .AD=3. .'OB=AB, .AB=5. 在Rt△ADB中， BD=√AB-AD=4, ∴.OD=OB+BD=9. .A(9,3). 将A(9,3)代人y=婴，得m=9X 3=27, ∴.反比例函数的解析式为y= 27 将A(9,3),B(5,0)代人y=kx+b, (9k+b=3, 得 5k+b=0, 3 k4’ 15 6=- 4 15 .一次函数的解析式为y三4x一 (2)由(1)知，AB=5. :△ABP是等腰三角形， ∴.①当AB=PB时，PB=5. .P(0,0)或(10,0). ②当AB=AP时，如图. 由(1)知，BD=4,且易知点P与点B 关于AD对称， ∴.DP=BD=4. .OP=9+4=13. .P(13,0). ③当AP=BP时，设P(a,0). A(9,3),B(5,0) ∴.易得AP2=(9-a)2+9,BP2= (a-5)2. .(9-a)2+9=(a-5)2,解得 a= p(go 综上所述，满足条件的点P的坐标为 (0,0或10.0或13,0)或(g.0） 0B D P C (第4题) 5.(0,-4)或(-4，-4)或(4,4) 解析：△AOE的面积为4，函数 y=冬的图象经过第一、三象限， Sae=2OE·AE=4,即OE· AE=8..易得k=8.:函数y=2x 和函数y兰的图象交于A,B两点， 2x=8.x=士2.当x=2时， x y=4;当x=-2时，y=-4,∴.A,B 两点的坐标分别是(2,4)，(-2，一4). ,以B,O,E,P为顶点的四边形是 平行四边形，.易得满足条件的点P 有3个（如图），分别为P1(0,一4)， P2(-4,-4),P3(4,4). y (第5题) 643 3 解析：四边形ABCO是 矩形，AB=1,.设B(m,1). ∴OA=BC=m.四边形OA'B'D 与四边形OABD关于直线OD对称， .OA'=OA=m,∠A'OD= ∠AOD=30°..∠A'OA=60°.如 图，过点A'作A'E⊥OA于点E, ·易得OB=号m,AE=号m 2m. A(宁n号m)小：反比例丽数 y=(k≠0)的图象恰好经过点A', B2m·2m=mX1.:m≠0， 4W3 =49.k=mX1= .'.m= 3 (第6题) 7.(1)如图，过点C作CG⊥OA于点 G,过点B作BH⊥x轴于点H. .AC·OB=130, .S菱O4c三7AC·OB=65 .S0=2 S菱形OABC= 65 ,即 号010G-9 A(-13,0),即OA=13, .CG=5. ,四边形OABC是菱形， .O0C=OA=13. '.在Rt△OGC中，OG= √0C-CG=12. .C(-12,-5). ,四边形OABC是菱形， ∴.ABOC,AB=OC. '.∠BAH=∠COG. 在△BAH和△CG中， ∠BAH=∠COG, ∠AHB=∠OGC=90°， AB=OC, .△BAH≌△COG. ∴.BH=CG=5,AH=OG=12. .B(-25,-5). D为BO的中点， n(-要-) 点D在反比例函数的图象上， 8 k=- ×(）1四 :反比例函数的解析式为y=42 125 (2)当y=-5时，x=-25 4 E(空，- '.CE=xE一xc= -(-12)=23 25 4 13×5= 65 2 65.11552 .SA0w:S△0E=2i823 34 H 4 (第7题) 8.(1)①点B(4,2)在反比例函数 y=位于第一象限的图象上， '.k=4×2=8. ·反比例函数的解析式为y=8 a=2, ∴.点A的坐标为(2,4)，则点A'的坐 标为（一2，一4）. 把B(4,2),A'(-2,-4)代入y2= 2=4m+n, m.x十n,得 解得 -4=-2m十n, m=1, m=-2. .一次函数的解析式为y=x一2. ②2<x<4. (2)由题意，得A(Q,),则点A'的 坐标为(-a,一会)： 把A(-a,会)代入y=合x+m, ∴.直线A'D对应的函数解析式为 1k y=2x+zaa 当x=a时，点D的纵坐标为a a &AD冬-(a-）-a ,四边形ADEF是正方形， .AD=AF. 点F和点P的横坐标为a十 a26 点P的纵坐标为×+a a 2a. ·p(1 '2a月 2k1 2a=k, “点P一定在函数y=8的图象上 925+ Sπ解析：过点B作 BE⊥y轴，垂足为E.,等边三角形 AOB的边长为4，.∠BAO=60°， AE=OE=2..∴.BE=√JOB2-OE2 √/42-2=25.∴.B(2√3,2). ∴.k=2√5×2=4√3..反比例函数 的解析式为y=4 x .OA=4, .A(0,4).:AC⊥y轴，∴.点C的 纵坐标为4.又，点C在反比例函数 y=45的图象上，C(5,4,即 AC=√3.：将∠CAB与曲线CB所 围成的图形绕点A顺时针旋转，使点 B落在y轴上，∠BAO=60°， .AD=AC=3,∠CAD=60°..扇 形CAD的周长=AD+AC+DC 5+i+0xw5=25+9 10.+5解析：k=2×4=8, “反比例函数的解析式为y=8.如 图，连接OB...易得∠OAB= ∠ABO=45°，AB为所在半圆的直 径.∴.∠AOB=90°，OA=OB,OB所 对圆心角的度数为90.OA= √2+4=2√5，∴.OB=25. ∴.AB=√OA2+OB2=2√/10.设 OB所在圆的圆心为点E,CD与x轴 交于点F,AB与x轴交于点G,连接 OE,则E为AB的中点..OE BAB=V10,∠AE0=∠BEOP 90°.∠OAG=∠OCF=45, ∠AOG=∠COF,OA=OC, ∴.△AOG≌△COF.:弓形AO的 面积=扇形EAO的面积一△AOE的 面积=0X10子×10=受-5… ∴.图中涂色部分的面积之和=半圆 AOB的面积一弓形AO的面积= 合×10x+5-受+ (第10题) 26.2实际问题 与反比例函数 第1课时反比例函数在实际 问题中的应用 1.B 2.(1)12:4. (2)根据题意，得y与x之间的函数 解析式为y=兰，自变量x的取值范 围是x>0. (3)y与x之间成反比例函数关 系，且k=24>0, ∴.反比例函数图象在第一象限内，y 随x的增大而减小 3.C4.=Q 60 5.④⑤解析：由题意，得点T1的纵 坐标为6.：反比例函数y=-2的 9 图象经过点T1,.将y=6代人y= 2,得x=一2.“点T,的横坐标 x 为一2.∴点T2的横坐标为0，点T 的横坐标为2，点T4的横坐标为4， 点T5的横坐标为6，点T。的横坐标 为8.将x=2代人y=10,得y=5: 将2=4代入y=只，得y=号：将 =6代人y只，得y=号：将x=8 代人y”得y=是又：点工，的 5 纵坐标为5，点T3的纵坐标为4，点 T4的纵坐标为3，点T的纵坐标为 2,点T。的纵坐标为1，∴.易得反比 例函数y=1”的图象经过的两级台阶 为④⑤， 6.(1)设v关于t的函数解析式为 当v=75时，1=4.00， '.k=4×75=300. 小=9 经检验，当0=80时，t=3.75,当v= 85时，1≈3.53，当v=90时，t≈3.33， 当v=95时，t≈3.16. ∴.平均速度v(km/h)关于行驶时间 t(h)的函数解析式为o 300(u23. (2)不能 理由：.10-7.5=2.5(h), _300=120>100. .当1=2.5时，0=2.5 '.汽车上午7：30从A地出发，不能 在上午10：00之前到达B地. (3)由反比例函数的性质，得当3.5≤ 1≤4时，75≤≤7 -600 ∴.平均速度v(km/h)的取值范围是 75<<89 7.(1)由题意，设该二次函数的解析 式为y=a(x一12)2+100， 把(2,0)代入，得100a+100=0,解得