专题特训二 反比例函数与一次函数的综合-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(人教版)

拔尖特训·数学（人教版）九年级下 专题特训二反比例函数与一次函数的综合 “答案与解析"”见P5 类型一 反比例函数、一次函数的性质与图形 3m=2,求m>n时r的取值范围， 面积问题 1.(2025·拉萨城关一模)如图，一次函数y ax十b的图象与反比例函数)y=的图象相 交于A(2,8),B(8,2)两点，连接AO,BO,延 长AO交反比例函数图象于点C. (1)分别求一次函数与反比例函数的解 (第2题) 析式 (2）当ax+6<时，直接写出自变量x的 类型二反比例函数、一次函数与交点问题 取值范围是 3.如图，在平面直角坐标系中，反比例 4 (3)P是x轴上一点，当S△PnC=5SAM0m 函数y(快≠0)的图象（记为L） 时，求点P的坐标. 与一次函数y=a.x十b(a≠0)的图象（记为 L2)交于A(一2,6)，B两点，点B的横坐标 为3. (1)求反比例函数与一次函数的解析式 (2)连接OA,OB,求△AOB的面积 (第1题) (3)将函数y=ax十b(a≠0)的图象L2向下 平移6个单位长度，得到新的图象L3,作 平行于x轴的直线分别与图象L1、图象L2、 图象L3交于点C(xc,yc),D(xD,yD), E(xEyE).设xC十xD-xE=m,若cE< 2.(2025·泰州模拟)已知A(a,y1),B(2a,y2) xp<xc<0,请直接写出m的取值范围. 是反比例函数y一之(>0)图象上的两点。 (1)比较y1与y2的大小关系 (2)若A,B两点在一次函数y=- 3x+6 (第3题) 位于第一象限的图象上（如图所示），分别过 A,B两点作x轴的垂线，垂足分别为C,D, 连接OA,OB,且S△oAB=8,求a的值， (3)在(2)的条件下，如果3m=一4x+24, 10 第二十六章反比例函数 类型三反比例函数、一次函数与最值问题 5.如图，一次函数y=2x的图象与反比例函数 4.如图，A(1,6),B(n,2)是一次函数 y在第一象限的图象交于点A4,m）.将 y=kx十b的图象与反比例函数y= 点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到 在第一象限的图象的两个交点， 2 点B,D为x轴正半轴上的点，点B的横坐 (1)求这两个函数的解析式 标大于点D的横坐标，连接BD,BD的中点 (2)设P是y轴上的一个动点，当△PAB的 C在反比例函数y=位于第一象限的图 周长最小时，求点P的坐标. 象上 (1)求n,k的值. (2)当m为何值时，AB·OD的值最大？最 大值是多少？ (第4题) D (第5题) 11交CB的延长线于点E.A,B两点 在反比例函数y=么位于第一象限的 图象上，且纵坐标分别为4,2， A(年4，B(台，2AE=2, BE=-子6=子.菱形 ABCD的面积为2W5,∴.AB=BC, BC·AE=2√5，即BC=√5 .AB=BC=√5.在Rt△AEB中， BE=VAB-AE=1,子k=1 .k=4 11.A解析：.四边形OABC为正 方形，点B在函数y二一。(x≤O)的 图象上，∴.正方形OABC的面积为10. ∴.OC=AB=BC=OA=√10.设正方 形CDEF的边长为a(a>0),即CF EF=ED=CD=a.∴.E(-√I0 a,a).:点E在函数=-10(x<O) .2 的图象上，.a(-√10-a)=-10, 解得a=二+5E或4 2 二而-5亚（不合题意，舍去 2 :S△oE=S佛形E十S△C一S△月F, 而S△c=S△r=5,∴.S△E= S梯托FR= 2 而)x而+5E-5 2 12.,反比例函数的图象关于坐标 原点对称，是中心对称图形， ∴.题图中涂色部分的面积是⊙O面 积的子 ,⊙0的半径为2， Se-X2=元 4 专题特训二反比例 函数与一次函数的综合 1.(1)将A(2,8),B(8,2)代入y= 2a+b=8, a=-1, a.x十b,得 解得 8a+b=2, b=10. ∴.一次函数的解析式为y=一x十10. 将A2,8)代人y=兰得8=合·解 x 得k=16. ·反比例函数的解析式为y=1 (2)x>8或0<x<2. (3)如图，直线AB交x轴于点D. 由题易得OA=OC, ∴.S△APe=2S△AOp. 把y=0代入y=-x+10,得0= -x十10，解得x=10. .D(10,0) .S△0m=Sa40D-Samn=2 10×8号X10×2=30, S△PAC= 5 -4×30=24, .2S△A0p=24. 2×2 OP X yA=24,即2× 1 0P×8=24. .OP=3. .点P的坐标为(3,0)或（一3,0）. (第1题) 2.(1):A,B是反比例函数y= (k>0)图象上的两，点， ∴.a≠0. 当a>0时，点A,B在第一象限， a<2a, .y1>y2. 当a<0时，点A,B在第三象限， a>2a, .y1<y2 (2)点A(a,y1),B(2a,y2)在反 比例函数)=(>0)的图象上， 5 -ay-2a .y1=2y2. 又点A(a,y1),B(2a,y2)在一次 函数y=一子：+6的图象上， 六AC=y,=-3a+b,BD= y2= 3a+6. 8 -a+6=2(-号a+ ∴.b=4a. :'S△AC十S梯形ACDB=S△AOB十 S△OD,且易得S△AC=S△mn, .S梯无形ACDB=S△4OB· :[(-音a+6)+(-受a十 b)].(2a-a)=8. a2=4. 由题意，知a>0, .a=2. (3)由(2)，得b=4a=8, .一次函数的解析式为y= B(4,) ∴.易得反比例函数的解析式为 32 y一3x :A,B两点的横坐标分别为2,4，且 m=- 4 -32 3x+8,n=3元 ∴.m>1时x的取值范围就是反比例 函数的图象在一次函数图象下方的点 的横坐标的取值范围 由题图易得，此时2<x<4或x<0. 3.(1):点A(-2,6)在反比例函数 y=的图象上， x .k=-2×6=-12. ·反比例函数的解析式为y=一12 :点B在反比例函数y=一 的图 x 象上，且点B的横坐标为3， .B(3,-4) ,点A(-2,6),B(3,-4)在一次函 数y=a.x十b的图象上， 3a+b=-4, {-2a+b=6. a=-2, b=. ∴.一次函数的解析式为y= -2x+2. (2)如图①，设一次函数y=一2x十2 的图象与y轴交于点Q. .易得Q(0,2). 又.A(-2,6),B(3,-4), 1 ∴.S△AOB=S△AQ0+SAa0=2 ×2× 2+7×2x8=6 (3)将一次函数y=一2x+2的图 象L2向下平移6个单位长度，得到 新的图象L3, .新的图象L3对应的函数解析式为 y=-2x+2-6,即y=-2.x-4. ,平行于x轴的直线分别与图象 L1、图象L2、图象L3交于点C(xC, yc),D (zp,yp),E (zE,yE), TE<ID<xC<0 '.如图②，当平行于x轴的直线在直 线y=6上方时符合题意， 记该平行于x轴的直线上的点的纵 坐标均为n. ·y=-2 如=兴 y=-2x+2, tp=2-1 2 y=-2x-4, 一4-n .xE=2 .m=xc十xD-x=一 12+ 2-+4士=12+3. 2 2 n .易知n>6, 01<1 n 6 -2<-12<0 1<-12+3<3. .1<m<3. ② (第3题) 4.(1):反比例函数y=受的图象 经过点A(1,6) .m=1×6=6. 6 ∴.反比例函数的解析式为y= 将B(,2)代入y=6,得2=6 n .n=3. .B(3,2) 将A(1,6),B(3,2)代入y=kx+b, 得+6=6， k=一2， 解得 {3k+b=2, b=8 ∴.一次函数的解析式为y= -2x+8. (2)如图，作点B关于y轴的对称点 B',连接AB交y轴于点P,连接PB. .PB=PB'. .PB+PA+AB=PB'+PA+ AB=AB'+AB. 此时△PAB的周长最小. B(3,2), .B'(-3,2) 设直线AB'对应的函数解析式为y= k'x+b. 将B(-3,2),A(1,6)代人，得 6 -3k′+b'=2, k'=1, 解得 k'+b=6, 6'=5. ∴.直线AB对应的函数解析式为 y=x+5. 将x=0代人y=x+5,得y=5, ∴点P的坐标为(0,5). 0 (第4题) 5.(1)将A(4,n)代入y=2x,得 7n=8, .点A的坐标为(4,8). 将A4,8代人y=得=32 (2)·点B的横坐标大于点D的横 坐标， ∴点B在点D的右侧. 如图，过点C作直线EF⊥x轴于点 F,交AB于点E. 由平移的性质，得AB∥x轴，AB=1, ∴.∠B=∠CDF. ,C为BD的中点， .BC=DC. 在△ECB和△FCD中， ∠B=∠CDF BC=DC, ∠BCE=∠DCF, '.△ECB≌△FCD. ·.BE=DF,CE=CF」 AB∥x轴，点A的坐标为(4,8)， .EF=8. ∴.CE=CF=4. .点C的纵坐标为4. 由(1)，知反比例函数的解析式为 y32 x ∴.当y=4时，x=8. ∴.点C的坐标为(8,4). ∴.点E的坐标为(8,8)，点F的坐标 为(8,0). 点A的坐标为(4,8)，AB=m, AB∥x轴， ∴.点B的坐标为(m十4,8). BE=m+4-8=m-4, .∴.DF=BE=m-4. ..OD=8-(m-4)=12-m. ..AB·OD=m(12-m)=-(m- 6)2+36. ∴.当m=6时，AB·OD取得最大 值，最大值为36 y EB 0 DF (第5题) 专题特训三反比例 函数与几何图形的综合 1.(8,1)解析：由题意，得C(2,0), m=2×2+3=4,B(2,40.k= 8.∴.反比例函数的解析式为y= 8 如图，延长BP交x轴于点D.在y= 2x+3中，当y=0时，x=-6. ∴.A(-6,0..AC=8.BC x轴，∠PBC=∠ABC,∴.∠BAC ∠BDC..AB=BD..AC=CD 8...OD=O℃+CD=2+8=10. ∴.D(10,0).设直线BD对应的函数 解析式为y=ax+b.将B(2,4), D(10,0)代入，得 2a十b=4,解得 10a+b=0, 1 d=- 2’.直线BD对应的函数 b=5. 解析式为y=一 1 x十5.联立 8 y- x=2, x=8, 解得 或 1 y=- 2x+5, y=4y=1 .P(8,1). B P A OC (第1题) 2.(1,3)或(1，-1)解析：由题意， 得-7a十2=3解得a=-2 .A(-2,3)..k=-2×3=-6.当 点P在AC的上方时，如图①. ∠PAC=∠ACO,∴.AP∥x轴. .P(1,3).当点P在AC的下方时， 设AP与x轴的交，点为E(t,0),如图 @.:在y=x+2中，令y=0, 则x=4,∴.C(4,0).CE=4-t. :∠PAC=∠ACO,∴.CE=AE,即 CE2=AE2.:易得AE2=(t+2)2+ 32,∴.(4-t)2=(1十2)2+9，解得1 子：E(行0小设直线AE对应的 函数解析式为y=nx+b.将A(-2, -2+b=3, 3),E(任，0)代入，得 4n+b=0, 解得 .y= 1 3x+3 b3 4 在y=-3x+3中，令x=1,则 y=-1.∴.P(1,-1).综上所述，点 P的坐标为(1,3)或(1，-1). ① ② (第2题) 3.D解析：设△OAC和△BAD的 直角边长分别为a,b,则点B的坐标 为(a十b,a-b).点B在反比例函 数y=位于第一象限的图象上， '.(a+b)X(a-b)=a2-b2=6. 5ac-5=2a2-28 7 2a-6)=2x6=8 4.(1)如图，过点A作AD⊥x轴于 点D .B(5,0) ..OB=5. :Su=号 ·2X5XAD-5 1 .AD=3. .'OB=AB, .AB=5. 在Rt△ADB中， BD=√AB-AD=4, ∴.OD=OB+BD=9. .A(9,3). 将A(9,3)代人y=婴，得m=9X 3=27, ∴.反比例函数的解析式为y= 27 将A(9,3),B(5,0)代人y=kx+b, (9k+b=3, 得 5k+b=0, 3 k4’ 15 6=- 4 15 .一次函数的解析式为y三4x一 (2)由(1)知，AB=5. :△ABP是等腰三角形， ∴.①当AB=PB时，PB=5. .P(0,0)或(10,0). ②当AB=AP时，如图. 由(1)知，BD=4,且易知点P与点B 关于AD对称， ∴.DP=BD=4. .OP=9+4=13. .P(13,0). ③当AP=BP时，设P(a,0). A(9,3),B(5,0) ∴.易得AP2=(9-a)2+9,BP2= (a-5)2.