专题特训一 反比例函数中的几何意义-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(人教版)

拔尖特训·数学（人教版）九年级下 专题特训一 反比例函数中k的几何意义，“答案与解析”见4 类型一k与三角形面积 作x轴的垂线，垂足为B,连接OA.若 1.根据如图①所示的程序，可以得到如图②所 △OAB的面积为5，则k 示的y与x之间的函数图象.若M是y轴正 半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴，交图 象于点P,Q,连接OP,OQ.有下列结论： D当<0时y号：②△0PQ的面积为 (第3题) (第4题) 定值；③当x>0时，y随x的增大而增大； 4.如图，A,C是反比例函数y=”(m>0)的图 ④MQ=2PM;⑤∠POQ可以等于90°.其 中，正确的是 ( 象上不同的两点，其中点A的横坐标为 输入非零数x 2m,点C的纵坐标为3m,B为直线OA 与该反比例函数图象的另一交点，连接AC, 否 x>0> 是 BC.若△ABC的面积为11，则m的值为 取倒数 取倒数 ×2 ×4 类型二k与平行四边形面积 取相反数 5.如图，□OABC的顶点O,B在y轴上，顶点 A在反比例函数y=:(k,<O)的图象上，顶 输出y ① ③ (第1题) 点C在反比例函数y=(k2>0)的图象上， 2 A.①②⑤ B.②④⑤ 则□OABC的面积是 C.③④⑤ D.②③⑤ A.-2k1 B.2k2 2.易错题(2025·请江模拟)如图，曲线y= C.k1十k2 D.k2一k1 (k<0,x<0)经过Rt△OAB的斜边OA的 y=x 中点D,且与直角边AB相交于点C.若点A 的坐标为（一6,4），则△AOC的面积为 0 (第5题) (第6题) 6.如图，A是函数y=2(x>0)的图象 上任意一点，AB∥x轴，交函数 0 (第2题) y=- 3(x<0)的图象于点B,以 3.如图，在平面直角坐标系中，点A在函数y AB为边作□ABCD,点C,D在x轴上，则 (k为常数，k>0,x>0)的图象上，过点A SOABCD 第二十六章反比例函数 类型三k与矩形面积 则k的值为 () 7.函数y=3(x>0)的图象L1和函数y=1 (x>0)的图象L2如图所示，设点P在L1上， PC⊥x轴于点C,交L2于点A,PD⊥y轴 (第10题) 于点D,交L2于点B,则△AOB的面积为 A.2 B.3 C.4 D.6 () 类型五k与正方形面积 A青 R号 C.2 D.3 11.如图，四边形OABC和四边形 y P 6 CDEF均为正方形，函数Jy=-10 (x<0)的图象经过点B,E,连接OB,OE, BE,则△BOE的面积为 () 0 0 (第7题) (第8题) 8,如图，函数y=(x>0)的图象上有点P, P2,P3,它们的纵坐标依次为6,2,1，分别过 F C O (第11题) 这些点作x轴与y轴的垂线段.图中矩形涂 A.5 B.2√5 C.32D.10 色部分的面积分别记为S1,S.若S2=3,则 S1的值为 ) 类型六k与不规则图形面积 A.3 B.4 12(2025·南通模拟)如图，反比例函数)y= 2 C.5 D.6 的图象与⊙O相交，且⊙O的半径为2，求 9.(2025·杭州模拟)如图，函数y=2（>0) 图中涂色部分的面积 的图象经过矩形OABC的边AB的中点D, 则矩形OABC的面积为 (第12题) (第9题) 类型四k与菱形面积 10.(2025·西安雁塔模拟)如图，在平面直角坐 标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC 与x轴平行，A,B两点的纵坐标分别为4， 之，反比例函数y-在第一家限的图象经 过A,B两点，若菱形ABCD的面积为2√5，专题特训一反比例 函数中k的几何意义 1.B解析：①当x<0时，y= ①错误.②当x<0时， 2 y=-:当>0时y 4 4500=号×2+号X4=8,为定 值®正确③当>0时=手 :4>0,∴.y随x的增大而减小 ∴.③错误.④，易得S△opw=1, S△oow=2,PQ⊥y轴，∴.易得MQ= 2PM..④正确.⑤设PM=一a a<0,则0M=-2,MQ=-2a, PQ=PM+MQ=-3a.∴.PO2= PM+oM=(-ar+(2)° a2+4 Q0=MQ+OM (-2a)+()=+若 ∠POQ=90°，则PQ=PO2+Q02 整理，得9=.u=2八a有 解，∴.∠POQ=90可能成立.∴.⑤ 正确.综上所述，正确的有②④⑤！ 2.9解析：，D为OA的中点，且点 A的坐标为（一6,4），∴.点D的坐标 为(-3,2).把(-3,2)代人y= (k<0),得k=一6，即该曲线对应的 函数解析式为y=-6(x<0). AB⊥OB,且，点A的坐标为（一6， 4),.点C的横坐标为-6.将x=一6 代人y=,得y=1,即点C的坐 标为(-6,1)..AC=3.又：OB= 65am=号×ACXOB=-9, 易错警示 读题粗糙致错 本题求的是△AOC的面积，切 不可误填△AOB的面积. 3.10 4.2√3解析：如图，连接OC,过 点C作ED∥x轴，交y轴于点E,过 点A作AF⊥x轴于点F,延长FA 交ED于点D.点A的横坐标为 2m,点A在反比例函数y=” (m>0)的图象上，.A（2√m, ).“点C的纵坐标为m, 点C在反比例函数y=”(m>0)的 图象上，·c(,3m)片 3 .D(2√m,√3m)..CD=2m- √3m 3 AD=Vm-g,则 =2x(2/m-v3m. 3 (m-受)=(-)m :反比例函数y=”(m>0)的图象 是关于原点成中心对称的图形， .OB=OA.∴.S△c=S△0c= 1 度号根指反比例函数中大 的几何意义，可知S△E十S△Or三 m.易得四边形OFDE是矩形， S矩形oFE一S△ACD一S△0cE一S△OF= r25m-(-)m m=2,解得m=25. 11 E (第4题) 5.D解析：如图，过点A作AE⊥ y轴于点E,过点C作CD⊥y轴于点 D,则∠AEB=∠CDO=90°.四边 形OABC是平行四边形，∴.AB∥ OC,AB=OC.∴.∠ABE=∠COD. ∴.△ABE≌△COD.∴.△ABE与 4 △COD的面积相等.又'点C在反 比例函数y=2(k>0)的图象上， 六Sa=5m=号1k:1.同理可得 S-SmCOABC 的面积=2（分k,+合，1） k2+k1=k2一k1 0 (第5题) 6.5 7A解析：设P(m,3)）,m>0. PC⊥x轴于点C,交L2于点A, PD⊥y轴于点D,交L2于点B, A(m),cm,0.B(号) D(0,品).Saam=S脑m S△Ac一S△OB一S△APB.:'易得四边 形OCPD是矩形，.S矩形oPp=3. saam=3-Xm2-号× 1 m 2 号×品-专×(m-罗）x(品 )专 8B解析：把y=1代人y=冬，得 x=,.P3(k,1).同理可得 P(,6P(2).:S= (k-冬)×1=3，k=6.S, 合×(6-2)=4， 9.4解析：设D(x,y.反比例函 数y=二的图象经过点Dy=2 D为AB的中点，∴B(x,2y) .OA=x,AB=2y..S矩形0A0 OA·AB=x·2y=2xy=2×2=4. 10.C解析：过点A作x轴的垂线， 交CB的延长线于点E.A,B两点 在反比例函数y=么位于第一象限的 图象上，且纵坐标分别为4,2， A(年4，B(台，2AE=2, BE=-子6=子.菱形 ABCD的面积为2W5,∴.AB=BC, BC·AE=2√5，即BC=√5 .AB=BC=√5.在Rt△AEB中， BE=VAB-AE=1,子k=1 .k=4 11.A解析：.四边形OABC为正 方形，点B在函数y二一。(x≤O)的 图象上，∴.正方形OABC的面积为10. ∴.OC=AB=BC=OA=√10.设正方 形CDEF的边长为a(a>0),即CF EF=ED=CD=a.∴.E(-√I0 a,a).:点E在函数=-10(x<O) .2 的图象上，.a(-√10-a)=-10, 解得a=二+5E或4 2 二而-5亚（不合题意，舍去 2 :S△oE=S佛形E十S△C一S△月F, 而S△c=S△r=5,∴.S△E= S梯托FR= 2 而)x而+5E-5 2 12.,反比例函数的图象关于坐标 原点对称，是中心对称图形， ∴.题图中涂色部分的面积是⊙O面 积的子 ,⊙0的半径为2， Se-X2=元 4 专题特训二反比例 函数与一次函数的综合 1.(1)将A(2,8),B(8,2)代入y= 2a+b=8, a=-1, a.x十b,得 解得 8a+b=2, b=10. ∴.一次函数的解析式为y=一x十10. 将A2,8)代人y=兰得8=合·解 x 得k=16. ·反比例函数的解析式为y=1 (2)x>8或0<x<2. (3)如图，直线AB交x轴于点D. 由题易得OA=OC, ∴.S△APe=2S△AOp. 把y=0代入y=-x+10,得0= -x十10，解得x=10. .D(10,0) .S△0m=Sa40D-Samn=2 10×8号X10×2=30, S△PAC= 5 -4×30=24, .2S△A0p=24. 2×2 OP X yA=24,即2× 1 0P×8=24. .OP=3. .点P的坐标为(3,0)或（一3,0）. (第1题) 2.(1):A,B是反比例函数y= (k>0)图象上的两，点， ∴.a≠0. 当a>0时，点A,B在第一象限， a<2a, .y1>y2. 当a<0时，点A,B在第三象限， a>2a, .y1<y2 (2)点A(a,y1),B(2a,y2)在反 比例函数)=(>0)的图象上， 5 -ay-2a .y1=2y2. 又点A(a,y1),B(2a,y2)在一次 函数y=一子：+6的图象上， 六AC=y,=-3a+b,BD= y2= 3a+6. 8 -a+6=2(-号a+ ∴.b=4a. :'S△AC十S梯形ACDB=S△AOB十 S△OD,且易得S△AC=S△mn, .S梯无形ACDB=S△4OB· :[(-音a+6)+(-受a十 b)].(2a-a)=8. a2=4. 由题意，知a>0, .a=2. (3)由(2)，得b=4a=8, .一次函数的解析式为y= B(4,) ∴.易得反比例函数的解析式为 32 y一3x :A,B两点的横坐标分别为2,4，且 m=- 4 -32 3x+8,n=3元 ∴.m>1时x的取值范围就是反比例 函数的图象在一次函数图象下方的点 的横坐标的取值范围 由题图易得，此时2<x<4或x<0. 3.(1):点A(-2,6)在反比例函数 y=的图象上， x .k=-2×6=-12. ·反比例函数的解析式为y=一12 :点B在反比例函数y=一 的图 x