上海市青浦高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

上海市青浦高级中学2025学年第二学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考 生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1.已知集合A=(-1,2),B=[1,+∞)，则集合A∩B= 2.已知cosa=子则cos2a= 3.已知复数z满足1+z=(1-z)i,其中i是虚数单位，则z的虚部为 4。在(2x+)°的二项展开式中，常数项是 (用数值作答) 5.已知d=(3,1),6=(1,2),则d在6方向上的数量投影是】 6.不等式x+2引+x-2≤4的解集是 ?.已知随机变量X的分布为(04品)则期望E☒= 8.已知圆柱M的底面圆的半径与球0的半径相同，若圆柱M与球0的表面积相等，则它们的体 积之比V姓：V球= 9.一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下， 然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点 P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器，则该容器的 容积最大时正四棱锥的高为 cm. 10.已知Sn是数列[an3的前n项和，且Sn=2n-1-1(n≥1，nEN).若f(x)=(cosx+a1)(cosx+ a2)(cosx+ag)(cosx+a4),则f(囹= 11.已知平面向量成元元，满足a=4,-:元十1=0，则当沉与的夹角最大时，则元一 (2-d.元+1=0 的值为 12.机场为旅客提供的圆锥形一次性纸杯如图所示.设纸杯的母线长为14cm, 开口直径为10©m,旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经 过母线中点时，该椭圆的离心率为 二.选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分） 每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格 涂黑。 13.设a,b均为非零实数，则“名<1”是“号>1”的( )条件 a A.充分非必要 B.必要非充分C充要D.既非充分又非必要 14.已知m,n是两条直线，a是一个平面，下列命题正确的是()， A.若m/1a,n/1a,则m/1n B.若m⊥，m⊥n,则n/1a C.若m⊥，nca,则m⊥n D.若m/1c,m⊥n,则n⊥a 15探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光 学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出根据光 路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线C:y2=4x,一条光线经 过点M(10,y),与x轴平行射到抛物线C上，经过两次反射后经过点 N(8y2)射出，则光线从点M到点N经过的总路程是() A.19 B.20C.21D.22 16.对于函数y=f(x),若关于x的方程f(Kx)=Kfx),(K∈Z,K>1)恰有K个实数根，则称函数 为“K”函数。①函数的定义域D={x1≤x≤9，x∈Z且D=yy=fx),x∈D:②函数是 “2”函数，也是“3”函数：那么同时满足条件①②的函数共有()个 A.18 B.24 C.27D.36 三.解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出 必要的步骤， 17.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 设等差数列{an}的前n项和为Sna,且a4=10, (1)若S2o=590,求{a}的公差： (2)若a1∈Z,且S,是数列SnJ中最大的项，求a1所有可能的值。 18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 在四面体ABCD中，DB=DC=2,DB⊥DC (1)若△ABC为正三角形，平面ABC⊥平面DBC,求四面体ABCD的体积： (2)若AB=AC=4,AD=3,求二面角A-BC-D的大小 : R 19.(本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分) 为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了 解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录 (十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”)，其中乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中 以a(1≤a≤3)表示 (1)若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求a的所有可能取值： (2)将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”，设a=3,从这20名学生中随机抽 取一人，已知该生为阅读达人，求该生为甲组学生的概率： (3)记甲组阅读量的方差为s:在甲组中增加一名学生A得到“新甲组”，若A的阅读量为10，则 记“新甲组“阅读量的方差为s2:若A的阅读量为20，则记“新甲组”阅读量的方差为s:通过计算 比较、s、s的大小（结果精确到0.1），并从数学角度解释这一现象. 甲乙 862101244 7221011a366 120 20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) .y2 已知椭圆七二+)=1a>b>o的左右焦点分别为，，离心率e=V2 ,点P,Q分别是椭圆的右顶 点和上顶点，口POQ的边PQ上的中线长为 2 (1)求椭圆的标准方程： (2)过点H(-2,O)的直线交椭圆C于A,B两点，若AE⊥BE,求直线AB的方程： 1 (3)直线4，h过右焦点乃，且它们的斜率乘积为2设4，山分别与椭圆交于点C,D和E,F,若 M,N分别是线段CD和EF的中点，求DOMN面积的最大值 21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 记·4=444“4，已知函数f国和8()的定义域都为D,若存在、名、… x∈D,使得f)-g(xx-)≤0，当且仅当x=x(i=1、2、、m)时等号 成立，则称f(x)和g(x)在D上“m次缠绕” (1)判断f(x)=sinx和g(x)=cosx在(0,2π)上“几次缠绕”，并说明理由： (2)设f(x)=1nx,g(x)=ar,若f(x)和g(x)在(0，+o)上“2次缠绕”，求a的取值范围： (3)设f闭=血x+是，若f因和f宁在(0，+)上“3次缠绕”，求a的取值范围