内蒙古呼伦贝尔市普通高中2026届高三联合模拟考试数学试卷

2026年呼伦贝尔市普通高中高三联合考试 数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡的指定位置考试结束后，将答题卡交回 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是正确的、 1.已知集合A={0,13},U={x∈Z-1≤x≤4}，则CuA= A.2,4 B.{0,2,4 C.{1,2,4D.1,4} 2.已知a,b∈R,a-2i=(b+i)i(i为虚数单位)，则a+b= A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.已知数列{a,}为等差数列，{an}的前n项和为S。，a1+a4+a,=6,S,=5,则a= A.-1 B.3 D.3 4.“x>y"是“lnx>lny”的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D,既不充分也不必要 5在数学史上，为了三角计算的简便和精确，曾经出现过下列两种三角函数：定义1-C0s0为 角0的正矢，记作versin0,定义1-sin0为角0的余矢，记作cosversin0,若 coversin-1=.sin20= versine-1 A-4 B.-12 12 5 5 5 数学试题第1页（共4页） 6.当a>0,b>0且满足a+b-ab=-3时，若ab>k2+k+7恒成立，则k的取值范围为 A.(-o,-2U4+o) B.(-1,2) C.(-o,-1DU2,+o0) D.(-2,1) 7.已知平面向量ā，6满足日=a-=2,a与6的夹角为30°，记m=a+(1-l)k∈R), 则园取最小值时t= A c. 8已短桑煮树司(F1+小圆不等式()0>0的解集是 A.(-3,5) B.(3,1U15) C.(o,-3U5,+o)D.(-5,1)U1,3) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是 A.样本相关系数：越大，则线性相关性越强 B.回归直线)=x+à必过样本中心点(，) C.数据8,6,4,11,3,7,9,10的第75百分位数为9.5 D.若随机变量X~N(10,σ2)，则o越大P(9.8<X<10.2)越小 10.已知函数f(x)=ax-3a2+b,其中实数a>0,beR,则下列说法正确的是 A.函数y=f()有两个极值点 B.若函数y=f(x)有3个零点，则实数b∈(0,5a) C.y=∫(x)有两条与直线y=-3x平行的切线，且切点坐标分别为P(,f(:),(:,f(), 则上+上的最小值为2 D.若直线I与曲线y=(x)有3个不同的交点A(5为)，B(y),C:),且|BAHBC1则 为+x4+x=3 数学试题第2页（共4页） 11.已知直线1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点，且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D, 则以下正确的有 A.若点D的坐标为(2l),则p-月 B.点D的轨迹方程为x2+y2-2px=0 C.△OAB面积的最小值为4p2 D.线段AB长度的最小值为3p 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2在+ 的二项展开式中，则x2的系数为 (用数字作答) 13.某校人工智能社团共有甲、乙等6名成员，指导老师要从中选出3人组队参加全国青少年 AI创新大赛，参赛队中1人负责主程序编写，另外2人负责数据标注，若甲、乙两人有且只 有一人参赛，则参赛队的人员安排方法数为 (用数字作答) 14在直三棱柱ABC-AB,C中，AC⊥BC,AC=2A4,该三棱柱存在体积为工的内切球（与 侧面、底面均相切)则BC=一(2分)，当E为CC的中点，F为棱BC上的点，BF=2CF 时，四面体AB,EF外接球的表面积为(3分)· 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1513分》)已知函数f=cosx-c0(x+,0<p<),f0)=月 (1)求9： (2)在△ABC中，f(A)=1,BC=V5,AC=1,求△ABC的面积. 16.(15分)如图，在平行六面体ABCD-A1B1CD1中，底面ABCD是边长为1的正方形， A41=2,∠A1AB=∠A1AD=120°，E是AA1的中点. (1)求证：AC,∥平面BDE: (2)求平面B,DE与平面ABCD的夹角的大小， 数学试趣第3页（共4页） 17.(15分)近年来人工智能与机器人技术快速发展，智能巡检机器人已成为智慧城市安防 的重要装备。某科技公司研发的智能巡逻机器人，在A、B两个核心区域间按如下规则巡逻： 若当前在A区，则下一时刻留在A区的概率为2，移动到B区的概率为上：若当前在B区， 则下一时刻留在B区的概率为3，移动到A区的概率为L.已知机器人第1次巡逻时，在A 4 4 区和B区的概率均为二，记第n次巡逻时，机器人在A区的概率为P,. (1)求第2次巡逻时，机器人在A区的概率： (2)求P的表达式（用n表示）， 8Q7分)已知椭圆C。+a>b>0的离心率为左焦点为卫，右项点为4，短销 长为8 (1)求C的方程： (2)已知点P在直线xa上且直线PF的斜率为1，过点P的直线与椭圆相切点B(异 于点A) (i)求直线AB的方程： (ⅱ)求证：∠AFP=∠BFP 19.(17分)己知函数f(x)=c0sx-x-1, (1)求∫(x)在x=0处的切线方程： (2)设函数F(x)=f(x)+ln(x+1). (1)证明：F(x)≤0恒成立： （i)若g(x)=F(x)+x+1,证明： 数学试题第4页（共4页） 2026年呼伦贝尔市普通高中高三联合考试 数学试卷参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正 确的。 1 2 3 4 6 7 8 C A 0 D 0 B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BCD AD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.5 13.36 14务贸 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 5,13分)若函数⑧)=c0sr=c0s(x+0,0<Q<刀，/0= (1)求P; (2)在△ABC中，己知f(A)=1,BC=√5，AC=1,求△ABC的面积. 【详解】()：f(0)=1 1 1 .1-c0sp=2c0s0= 2 …2分 又0e0,).9=胥4分 2/a)=6cp-cox+学=sx+ 3 6分 :f(40=1.sin(A+)=1又Ae(0,）) 6 .8分 3 第1页共8页 BC 1 由正弦定理得 4C即 ∴.sinB= sin A sin B π sin B 2 sin 3 B∈(0，π)：B=T或B=57 6 10分 6 :BC>ACA>BB<,B= .12分 3 6 1 13分 2 (方法二)由余弦定理可知V52=AB2+1P-24B1cos …8分 解得AB=2 10分 所以S=AB-ACsin π …12分 2 3 √3 2… 13分 16.(15分)如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2, ∠A1AB=∠A1AD=120°，E是AA1的中点. (1)求证：AC∥平面B,DE;(2)求平面B,DE与平面ABCD夹角的大小， (1)证明：（方法一）连结AC1交B1D于点F,连结EF… .2分 BC1I∥AD,BC1=AD B .四边形ADCB,为平行四边形 4分 F为AC,的中点又E为A,A的中点 EF/∥AC… .6分 EFC平面B,DE,A,C,丈平面B,DE B .AC1∥平面B,DE. 7分 (方法二)设AB=a,AD=b,AE=c, …1分 ED=b-c,EB=a+c,AC=a+b … 4分 所以AC1=a+b=(a+o+(6-c)=EB+ED …5分 又因为ED,EB,C平面BDE,ED∩EB,=E,AC1丈平面BDE… 6分 所以AC∥平面BDE…7分 第2页共8页 (方法三)取C,C的中点F连结B,F,DF 取D,D的中点G连结CG,GE,EF2分 D EGI∥B,C1,EG=B,C .四边形B,C,GE为平行四边形 3分 ∴.B1E∥CG,B,E=CG 又C,GI∥DF,CG=DF∴.BE∥DF,BE=DF .四边形B,EDF为平行四边形 .4分 又：E,F分别为对应棱的中点.AE∥C,F,AE=CF .四边形A,CFE为平行四边形6分 A,C,∥EF又EFc平面B,DE .AC∥平面BDE.7分 (2(方法一)以A为原点，AB,AD所在直线为x,y轴建立如图所示的空间直角坐标系.8分 (考生作图中，z轴未通过C,不扣分) 设A(x,y,) AA1=(x,y,z),AB=(1,0,0),AD=(0,10) 0 ~双亚=1x2x(之解得x=-1 A ~4D=1x2×(2解得=-1 y AA=2.解得z=V2卿4(-1，-1，V2)10分 AB=AB.解得B,(0,-1,√2).11分 又E--15.D010 A(O) B 222 而=兮马丽-02西 设平面B,DE的法向量n=(x',y,z),则n·ED=0,n·DB,=0 解得=(,-1,-2) .13分 平面ABCD的法向量m=(0,0,1) →→ m·m :.平面B,DE与平面ABCD的夹角设为O,它的余弦值cos0 √ 2 15分 (方法二)连结CB,CD, ∠BcC-BC=LCG=2BC1CB又BC L AB,.BC,nMB=B .BC⊥平面ABC1.BC⊥AC 第3页共8页 同理可得CD⊥平面ADC,CD⊥AC 又BC OCD=C .AC1⊥平面ABCD 10分 连结AC,解得AC=√2 A 以A为原点AB,AD为x,轴建立如图所示的坐标系11分 则C(0,0,√2) BC=(01,0),由BC=B,C得到B,(0,-1,V2)12分 A(0) 又=010，曲孤=4瓜刹到4-l)是 222 设平面B,DE的法向量n=(x',y,z),则n·ED=0,n·DB,=0 解得n=(1,-l,-V2). 13分 平面ABCD的法向量m=(0,0,1) m.n :.平面B,DE与平面ABCD的夹角设为O,它的余弦值cos0 √2 2 又0∈0, ..0= 15分 2」 方法三：连结C1B,C1D ∠c-号c=lcc-2 D .BC⊥C,B,又BC⊥AB,BCAB=B .BC⊥平面ABC .BC⊥AC 同理可得CD⊥平面ADC,CD⊥AC…9分 又BC O CD=C ∴.AC,⊥平面ABCD 10分 连结AC,解得AC=V2 过点B,做B,NI∥C,A交DA的延长线于点N 则AN=AD=1,B,N⊥平面ABCD .11分 延长B,E与BA的延长线交于点M,则DM为平面B,DE与平面ABCD的交线 连结MN,在△MMN中：MW=V2 MD=V2,DN=2,满足勾股定理 .AM⊥MD ∴.∠B,MN为二面角B,-MD-B的平面角 12分 ∴.tan∠B,MN= V2 √2 .14分 ·平面B,N与平面ABCD的夹角为 .15分 第4页共8页 17.(15分)近年来人工智能与机器人技术快速发展，智能巡检机器人己成为智慧城市安防的重要装 备。某科技公司研发的智能巡逻机器人，在A、B两个核心区域间按如下规则巡逻：若当前在A区， 则下一时刻留在A区的概率为2，移动到B区的概率为{：若当前在B区，则下一时刻留在B区的 3 概率为二，移动到A区的概率为二.己知机器人第1次巡逻时，在A区和B区的概率均为二.记第n 4 4 次巡逻时，机器人在A区的概率为P。 (1)求第2次巡逻时，机器人在A区的概率； (2)求Pn的表达式（用n表示）. 【详解】设事件A1:为第1次巡逻在A区，事件A2:第2次巡逻在A区，则由题意可知，P(A2A1)=子 P(42)=P(41)=P(④)=21分 (1)第2次在A区的情况分为两类： 第1次在A区，第2次移动到A区：PA4)=P(A)×PA2A)=×号-有3分 第1次在B区，第2次停留在A区：P团A,)=P团XPA,面=x台 …5分 由全概率公式，第2次在B区的概率为： P(A2)=PA14)+PA2)=+日=贵 …7分 (2)从第二次起，第n次在A区的情况分为两类： 若第n-1次在A区，则第n次移动到A区的概率为：Pn-1: …8分 若第n-1次在B区，则第n次移动到A区的概率为：(1-Pm-1): …9分 第n次在A区的递推关系为：Pa=号P-1(1-Pn-)=音P-1+是 …10分 构造等比数列：设Pn-c=是P-1-c,代入得品c=京解得c=号 ………11分 又因为P1=克所以P1-= …12分 故数列Pn一}是首项为公比为臣的等比数列.…13分 故：P,号(，整理得：P,-+(侣)经检验n1时式子也成立15分 第5页共8页 :京+左=1Ka>b>0)的离心率为子左焦点为F,右顶点为4，短轴长为8， 18.(17分)已知椭圆c+少 3 (1)求C的方程. (2)己知点P在直线x=a上且直线PF的斜率为 三过点P的直线n 1) (i)求直线AB的方程； (i)求证：∠AFP=∠BFP 3 【详解】(1)由己知椭圆短轴长为8，椭圆离心率 2b=8 则 e=3 …2分 a 5 b2+c2=a2 a=5 解的 …………4分 b=4 所以椭圆方程为号+花=1。 …5分 (2)(i)由(1)知F(-3,0),设P(5,yo), km=离=岩=0=2一P5,2) …6分 设过点P的椭圆切线方程为y-2=k(x一5)， 代入芸+兰=1，并整理得(16+25k)2+50k2-5)x+252-52-400=0 …8分 由直线与椭圆相切，4=[50k(2-5)]2(16+25k2)x2+x+25(2-5k)2-400=0, 化简得k=-3 ……………10分 故切线方程为y=-x+5. 联立椭圆方程，解得切点为B(3,号).…11分 又因为A(5,0),所以直线AB的方程为8x+5y-40=0…12分 (ii)方法一：二倍角正切公式法 由题意可知tan∠AFP=kpp= .…13分 2×4 tan2∠AFP=1-m2AFp=1话 2tan∠AFp 8 …14分 15 又tan∠AFB=krB=iG 8 …15分 故tan∠AFB=tan2∠AFP. 第6页共8页 故∠AFB=2∠AFP,… …16分 所以∠AFP=∠BFP. …17分 方法二：向量夹角公式法 FA=(8,0),FB=(6,9),FP=(8,2) 13分 COS∠AFP= FA-FP 64 4 AP-8V6质=司 …14分 Cos∠BFP=BF2 =两2而=扇 15分 故coS∠AFP=coS∠BFP, …16分 所以∠AFP=∠BFP,… …17分 19.(17分)19.己知函数f(x)=c0sx-x-1 (1)求∫(x)在x=0处的切线方程； (2)设函数F(x)=f(x)+ln(x+l) (i)证明：F(x)≤0恒成立： (i)若g(x)=F(x)+x+1,证明： 三m小h2eN 【详解】(1)f'(x)=-sinx-1, 1分 则f'(0)=-sin0-1=-1,f(0)=c0s0-0-1=0,.3分 故f(x)在x=0处的切线方程为为y=一x. .4分 (2)(i)F(x)=f(x)+ln(x+l)=cosx-x-1+ln(1+x),x>-1 令p(x=lh(1+x)-X,5分 o)支 由p'(x)>0→-1<x<0,p(x)<0→x>0, 故函数p(x)在(-1,0)单调递增，在(0，+∞)单调递减， 所以p(x)≤p(0)=0,即ln(x+1)-x≤0，. 7分 而cosx-1≤0，所以当x∈(-1，+o)时，F(x)=(cosx-1)+[n(1+x)-x]≤0， 综上，F(x)≤0恒成立；… 9分 (i)由(i)可知cosx+ln(l+x)≤x+l,∴.gx)=cosx+ln(1+x)≤x+1, 10分 所以立mmn-小+m2小+8m 第7页共8页 1 1+…+sin 1 ≤sin +S1n ………11分 n+1 n+2 2n 先证x>sinx,x∈ 令t(x)=x-sinx,x∈ 则1(x)=1-cosx≥0，故(x)在(0，)单调递增， 故>0)=0，散x>simx,xe0引】 所以sin1+sin1 1<1+1 十…十 1 +…+sin n+1n+2 2nn+1n+22n 13分 再证lnx≤x-1, 设mx)=1nx-x+l,则当x>1时，m)=-1<0,mx)单调递减。 当0<x<1时，m'(x)>0,m(x)单调递增， 故当m(x)≤m(1=0,故nx≤x-1,当且仅当x=1时取等号，15分 故令x=”,则ln”<”-L,故1<Inn+l=n(n+l)-lnn, n+1 n+1n+1 n+1 n 因此。<ln(n+-lnn,n n+1 16分 故 1,1 +2n<I(n+1)-Inn+in(n+2)-In(n+1)++In2n-In(2n-1)=In2n-Inn=in 综上可知： 之m小水n2meN 17分 第8页共8页