16.3.2 一次函数的图象教学设计 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

第十六章 函数及其图象 华东师大版(2024) 16.3.2 一次函数的图象 一、教学目标 1.熟练运用描点法画一次函数的图象，通过观察对比多组一次函数图象，归纳出两点法画一次函数图象的简便方法，并理解其适用原理. 2.结合具体实例，探索并理解一次函数表达式中系数k与b对图象位置、形状的影响，总结出一次函数图象的平移规律. 3.能从实际问题的一次函数解析式出发，准确画出对应的函数图象，并能结合图象分析自变量取值范围与实际意义，体会数形结合的数学思想. 二、教学重点及难点 重点：掌握用两点法画一次函数图象；理解一次函数y=kx+b (k≠0)中k、b分别与图象位置的关系. 难点：理解k相同、k不同时图象的平行关系及平移规律；准确分析实际问题中一次函数图象的实际意义. 三、教学过程 【探究新知】 探究：用描点法画一次函数的图象，发现图象特征. 教师：前面，我们已经学习了用描点法画函数的图象，也知道通常可以结合图象研究函数的性质和应用．我们先研究一次函数的图象． 大家运用描点法，在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象： （1）； （2）； （3）； （4）． 画图时注意选取合适的自变量取值，规范完成列表、描点、连线三步． 【师生活动】学生独立完成画图操作，教师巡视指导，纠正学生列表取值不合理、描点位置偏差、连线不规范等问题． 答案预设：如图． 教师提问：大家观察自己画出的四个一次函数的图象，发现它们都是什么图形？正比例函数的图象有什么特殊之处？ 学生观察后回答：这四个一次函数的图象都是一条直线；正比例函数、 的图象都是经过原点的直线． 教师总结一次函数的图象：一次函数y=kx+b (k≠0) 的图象是一条直线，通常也称为直线 y=kx+b． 正比例函数的图象：特别地，正比例函数 y=kx (k≠0) 的图象是经过原点 O(0，0) 的一条直线． 设计意图：让学生动手用描点法画一次函数图象，在实践中感知一次函数图象的形状特征，培养学生的动手操作能力，同时为后续探究两点法画一次函数图象奠定直观基础． 【探究新知】 探究：归纳两点法画一次函数图象的方法. 教师提问：几个点可以确定一条直线？画一次函数的图象时，只需要取几个点？ 学生回答：两点确定一条直线，所以画一次函数的图象只需要取两个点即可． 教师追问：那画一次函数的图象时，选取哪两个点作图会更简便呢？大家结合刚才画的 的图象思考一下． 【学生活动】学生小组内交流讨论，尝试总结简便取点方法，教师引导学生结合坐标轴上点的坐标特征分析． 小组代表汇报：选取函数图象与x轴、y轴的交点最简便，因为坐标轴上的点一个坐标为 0，计算简便，描点也容易． 教师总结：画一次函数图象的简便方法——两点法：一般取图象与x轴（y=0）、y轴（x=0）的两个交点，描点后作直线即可； 画正比例函数图象的两点法：因为正比例函数图象过原点，所以取原点(0，0)和点(1，k)，描点后作直线即可． 设计意图：结合“两点确定一条直线”的几何知识，引导学生自主归纳出两点法画一次函数图象的方法，让学生理解方法的原理，同时通过实践体会两点法的简便性，提升学生的数形结合能力和归纳总结能力． 教师拓展1：一次函数图象的平移规律 原直线表达式 平移方式 平移后的新直线表达式 简记 向上平移 个单位长度 上加下减 向下平移 个单位长度 向左平移 个单位长度 左加右减 向右平移 个单位长度 教师拓展2：一次函数与正比例函数图象的关系 一次函数 y=kx+b (k≠0)的图象可以由正比例函数 y=kx (k≠0) 的图象向上 (b>0) 或向下 (b<0) 平移 |b| 个单位长度得到． 【探究新知】 探究：探索k、b对一次函数图象的影响. 教师提问：观察前面画出的四个一次函数的图象，比较下列各对一次函数的图象有什么共同点和不同点： ① 与 ； ② 与 ； ③ 与 ． 教师点拨：你能否从中发现一些规律？对于直线y=kx+b (k、b 是常数，k≠0)，常数 k 和 b 的取值对于直线的位置各有什么影响？ 【师生活动】 学生以 4 人小组为单位，结合画出的函数图象，分组讨论三组函数的异同，教师巡视参与小组交流，引导学生从图象的倾斜方向、倾斜程度、与y轴的交点位置等角度分析． 小组代表汇报： 针对第①、②组 与 、 与 ：学生回答两条直线的“倾斜程度”是一样的，也就是从左到右都是向上或向下的趋势相同；但位置不同，、的图象整体在、的上方． 针对第③组 与：学生回答两条直线与 y 轴交于同一个点；但倾斜程度不同，一条更陡，一条更平缓． 教师引导分析： 教师追问：结合函数表达式，第①、②组两个函数的 k 相同、b 不同，第③组 b 相同、k 不同，这分别说明了什么？ 学生总结： 相同、 不相同时：共同点是倾斜程度相同，不同点是与 y 轴交点的位置不同； 相同、 不相同时：共同点是与 y 轴交点的位置相同，不同点是倾斜程度不同． 探究平移规律： 教师继续提问：从 的图象到 的图象，图象发生了怎样的移动？从到 呢？ 学生观察回答：的图象是由 的图象向上移动了 2 个单位长度得到的；是由向上平移 2 个单位得到的． 教师根据学生的回答，进一步点拨总结规律： 对于直线 y=kx+b（k、b 是常数，k≠0）： 常数 k 决定直线的倾斜程度（陡峭程度）与倾斜方向； 常数 b 决定直线与 y 轴的交点位置，即直线在坐标系中的上下位置； 即对于两个一次函数 y1 = k1x + b1 和 y2 = k2x + b2 (k1、k2 均不为 0) 如果 k1=k2，那么这两条直线会平行． 如果 b1=b2，那么这两条直线会与 y 轴相交于同一个点． 设计意图：通过分组对比、递进式提问，引导学生从图象直观到表达式本质，自主探究k、b对一次函数图象的影响，总结平移规律，培养学生的观察、分析、归纳能力，渗透数形结合的数学思想，突破本节课的教学重点． 【典型例题】 例1. 分别在同一个平面直角坐标系中（下图）画出下列函数的图象： （1） 与 ； （2） 与 ． 解：（1）（2） 教师提问：画正比例函数y=2x时，你取了哪两个点？为什么这样取？ 学生回答：取(0，0)和(1，2)，因为正比例函数图象过原点，取原点和(1，k)计算、描点都很简便． 教师继续提问：画、、这些一次函数时，你取了哪两个点？ 学生回答：取图象与x轴、y轴的交点，也就是令x=0求y，令y=0求x，这样的点计算简单，描点方便． 教师展示学生的规范作图，点评取点技巧，强调：画一次函数图象，优先取与坐标轴的交点（或正比例函数取原点和(1，k)），是最简便的方法． 例2. 求直线 与 轴和 轴的交点，并画出这条直线． 解：x 轴上的点的纵坐标等于 0，y 轴上的点的横坐标等于 0．交点同时在直线 上，它的坐标 (x，y) 应满足 ．于是，由 y=0 可求得 x=−1.5，点 (−1.5，0) 就是直线 与 x 轴的交点；由 x=0 可求得 y=−3，点 (0，−3) 就是直线 与 y 轴的交点． 如图，过点 (−1.5，0) 和点 (0，−3) 作直线，就是所求的直线 ． 教师提问：这里是取哪两个特殊点来作直线的？这样取点有什么好处？ 学生回答：取图象与坐标轴的交点(0，3)和(1.5，0)，这样作图简单，容易描点． 设计意图：通过例题让学生熟练掌握两点法画一次函数图象的简便取点方法，规范作图步骤，结合图象深化对k、b系数意义的理解，落实数形结合思想，强化教学重点． 例3. 本节问题 1 中，汽车距北京的路程 s (km) 与汽车在高速公路上行驶的时间 t (h) 之间的函数关系式是 s=285−95t，试画出这个函数的图象． 教师点拨：在实际问题中，我们可以在表示时间的 t 轴和表示路程的 s 轴上分别选取适当的单位长度，画出平面直角坐标系，如图所示． 教师提问：画出这个函数的图象，并讨论： 这里自变量 t 的取值范围是什么？函数的图象是怎样的图形？ 【师生活动】学生独立分析自变量取值范围，再用两点法画图，教师巡视指导． 教师提问：谁能说说这个问题中自变量t的取值范围？你是怎么确定的？ 学生回答：因为时间t≥0，路程s≥0，即285−95t≥0，解得t≤3，所以t的取值范围是0≤t≤3． 教师追问：结合自变量的取值范围，这个一次函数的图象还是一条完整的直线吗？图象的两个端点(0，285)和(3，0)分别表示什么实际意义？ 学生观察自己画出的图象后回答：这个函数的图象不是完整的直线，而是一条线段；端点(0，285)表示汽车出发时距北京 285km，端点(3，0)表示汽车行驶 3h 后到达北京． 教师总结：画实际问题中的一次函数图象时，一定要结合实际背景确定自变量的取值范围，此时的函数图象通常是直线的一部分，如线段，图象上的点都对应着实际问题中的有效情境． 设计意图：让学生结合实际问题画一次函数图象，理解实际问题中自变量取值范围的特殊性，体会一次函数图象从“直线”到“线段”的变化，理解图象端点的实际意义，进一步渗透数形结合的数学思想，突破本节课的难点． 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.一次函数的图象：一次函数y=kx+b (k≠0) 的图象是一条直线，通常也称为直线 y=kx+b． 2.正比例函数的图象：正比例函数 y=kx (k≠0) 的图象是经过原点 O(0，0) 的一条直线． 3.画一次函数图象的简便方法——两点法：一般取图象与x轴（y=0）、y轴（x=0）的两个交点，描点后作直线即可； 画正比例函数图象的两点法：因为正比例函数图象过原点，所以取原点(0，0)和点(1，k)，描点后作直线即可． 4.k、b对一次函数图象的影响： 对于两个一次函数 y1 = k1x + b1 和 y2 = k2x + b2 (k1、k2 均不为 0)： 如果 k1=k2，那么这两条直线会平行． 如果 b1=b2，那么这两条直线会与 y 轴相交于同一个点． 学科网（北京）股份有限公司 $