2.1.1 不等关系-课件--2025--2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 2.1.1 不等关系 第二章 不等式与不等式组 北师大版八年级数学下册 2.1.1 不等关系 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“2.1.1 不等关系”核心知识点设计，重点考查不等关系的定义、常见不等号的意义及用法，能根据实际情境列出不等关系（不等式），区分相等关系与不等关系，分层考查基础识别、辨析判断、列式应用与灵活运用能力，助力熟练掌握不等关系的本质，能准确用数学式子表示实际中的不等关系，规避列式易错点。 一、基础梳理（必记内容） 1. 不等关系的定义：在现实生活中，数量之间不仅存在相等关系，还存在大量的不相等关系，如“大于”“小于”“不大于”“不小于”“不等于”等，这种表示两个量之间不相等关系的式子，叫做不等式，其中蕴含的关系即为不等关系。 2. 常见不等号及含义： - （1）>：表示“大于”，如a > b，读作“a大于b”； - （2）<：表示“小于”，如a < b，读作“a小于b”； - （3）≥：表示“大于或等于”（也可读作“不小于”），如a ≥ b，读作“a大于或等于b”（或“a不小于b”）； - （4）≤：表示“小于或等于”（也可读作“不大于”），如a ≤ b，读作“a小于或等于b”（或“a不大于b”）； - （5）≠：表示“不等于”，如a ≠ b，读作“a不等于b”。 3. 列不等式的关键：找到题目中的“不等关键词”，明确两个量之间的大小关系，结合已知条件，用合适的不等号连接两个量（或含字母的式子）。 二、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列关于不等关系和不等式的说法，正确的是（ ） A. 只有大于关系和小于关系才是不等关系 B. 表示不等关系的式子叫做不等式 C. 3 = 3是不等式 D. 不等关系只能用>和<表示 2. 下列式子中，属于不等式的是（ ） A. 2x = 5 B. 3 + 4 = 7 C. x - 1 < 3 D. 5x - 2 3. “x的2倍与3的和不小于5”，用不等式表示为（ ） A. 2x + 3 > 5 B. 2x + 3 ≥ 5 C. 2x + 3 < 5 D. 2x + 3 ≤ 5 4. 下列不等关系的描述，错误的是（ ） A. “a不大于b”表示为a ≤ b B. “a不等于b”表示为a ≠ b C. “a小于或等于5”表示为a < 5 D. “a大于3”表示为a > 3 5. 已知a是有理数，下列式子中，能准确表示“a是负数”的不等关系的是（ ） A. a < 0 B. a ≤ 0 C. a > 0 D. a ≠ 0 三、填空题（每题3分，共15分） 1. 表示两个量之间不相等关系的式子叫做________；常见的不等号有________、________、________、________、________。 2. “x的3倍减去2的差小于4”，用不等式表示为________；“y的5倍与1的和不大于6”，用不等式表示为________。 3. 若a表示一个有理数，“a是非负数”用不等式表示为________；“a是正数”用不等式表示为________。 4. 在式子：① 3 > 2；② 2x - 1 ≤ 0；③ x = 5；④ 5x + 2；⑤ x ≠ 3中，属于不等式的有________（填序号）。 5. “小明的身高h（cm）比小红的身高158cm高”，用不等式表示为________；“小明的体重m（kg）不超过50kg”，用不等式表示为________。 四、解答题（共70分） 1. （10分）基础题，考查不等关系的识别和不等式的判断。 （1）请完整叙述不等关系的定义，并写出3个常见的不等号及含义； （2）判断下列式子是否为不等式，若是，说明理由；若不是，说明理由： ① 5 > 3；② 2x + 1 = 4；③ x - 3 ≤ 6；④ 7x - 2；⑤ a ≠ 0。 解： 2. （12分）辨析题，考查不等号的用法和不等关系的表述。 （1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正： ① “x不小于2”表示为x > 2； ② “x的4倍与5的差不等于1”表示为4x - 5 = 1； ③ 不等式一定是含有未知数的式子； ④ “a小于b且大于c”表示为c < a < b。 （2）简述“大于”与“不小于”、“小于”与“不大于”的区别。 解： 3. （12分）基础应用题，考查根据关键词列不等式。 根据下列不等关系，列出相应的不等式： （1）x的2倍与7的和大于3； （2）y的一半与4的差不小于2； （3）m的3倍减去1的差小于m的2倍； （4）a的平方与2的和不等于5； （5）x是非正数； （6）y是大于-3且小于5的数。 解： 4. （12分）综合应用题，考查结合简单情境列不等式。 （1）一个长方形的长为x cm，宽为y cm，已知长方形的周长不超过30 cm，且长大于宽，列出表示这两个不等关系的不等式； （2）小明有x元零花钱，小红有y元零花钱，小明的零花钱比小红的2倍少，且小明的零花钱不少于50元，列出相应的不等式； （3）某商品的进价为a元，售价为b元，商家规定售价不低于进价的1.2倍，且不高于进价的1.5倍，列出表示售价与进价关系的不等式。 解： 5. （12分）分析题，考查不等关系的实际意义。 （1）已知不等式3x - 1 ≤ 5，请说明这个不等式表示的不等关系，并写出一个满足这个不等关系的x的值； （2）已知不等式2y + 3 > 7，分析y的取值范围（简要说明思路），并判断y = 2是否满足这个不等关系； （3）结合生活实际，举一个不等关系的例子，并用不等式表示出来，说明这个不等式的实际意义。 解： 6. （10分）拓展题，考查不等关系的灵活运用。 （1）已知a、b是两个有理数，若a > b，b > c，试判断a与c的不等关系，并说明理由； （2）若x表示一个有理数，用不等式表示“x的绝对值不小于2”，并写出3个满足这个不等关系的x的值； （3）已知不等式x + 5 ≥ 0，说明这个不等式表示的不等关系，并判断x = -5、x = -6是否满足该不等式。 解： 参考答案（简要提示） 一、选择题：1.B 2.C 3.B 4.C 5.A 二、填空题：1. 不等式；>；<；≥；≤；≠ 2. 3x - 2 < 4；5y + 1 ≤ 6 3. a ≥ 0；a > 0 4. ①②⑤ 5. h > 158；m ≤ 50 三、解答题：1.（1）定义略；不等号及含义略（如>表示大于，<表示小于，≥表示不小于）；（2）①是，表示5与3的不等关系；②不是，是等式；③是，表示x - 3与6的不等关系；④不是，是代数式；⑤是，表示a与0的不等关系 2.（1）①错误，改正：x ≥ 2；②错误，改正：4x - 5 ≠ 1；③错误，改正：不等式不一定含有未知数（如5 > 3）；④正确；（2）略（大于不包含等于，不小于包含等于；小于不包含等于，不大于包含等于） 3.（1）2x + 7 > 3；（2）(1/2)y - 4 ≥ 2；（3）3m - 1 < 2m；（4）a² + 2 ≠ 5；（5）x ≤ 0；（6）-3 < y < 5 4.（1）2(x + y) ≤ 30，x > y；（2）x < 2y，x ≥ 50；（3）1.2a ≤ b ≤ 1.5a 5.（1）不等关系：x的3倍减去1的差小于或等于5；x=2（答案不唯一）；（2）思路：解不等式得y > 2，y=2不满足；（3）略（如：小明每天写作业时间t≥1小时，意义：小明每天写作业的时间不少于1小时） 6.（1）a > c，理由：不等式的传递性；（2）|x| ≥ 2；x=2、3、-2（答案不唯一）；（3）不等关系：x与5的和大于或等于0；x=-5满足，x=-6不满足 情境导入 你是否想过这些生活场景与某种“不等关系”有关？ 跷跷板 拔河比赛 汽车限速/限重 思考：生活中的这些不等关系怎样在数学上表示出来呢？ 探究新知 1.如图，用两根长度均为 l cm 的绳子分别围成一个正方形和一个圆. (1) 如果要使正方形的面积不大于 25 cm2，那么绳长 l 应满足怎样的关系式？ 不等式的概念及列不等式 1 (2) 如果要使圆的面积不小于 100 cm2，那么绳长 l 应 满足怎样的关系式？ (3) 当 l＝8 时，正方形和圆的面积哪个大？l＝12 呢？ 当 l＝8 时，正方形的面积为 圆的面积为 所以圆的面积大； 当 l＝12 时，正方形的面积为 圆的面积为 所以圆的面积大． 改变 l 的值再试一试，由此你能得到什么猜想？ 当 l＝40 时，正方形的面积为 圆的面积为 所以圆的面积大． 我们发现无论 l 取何值，圆的面积始终大于 正方形的面积，即 . (1) 铁路部门对随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高之和不得超过 160 cm. 设行李的长、宽、高分别为 a cm，b cm，c cm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式. 做一做 a + b + c≤160 (2) 通过测量一棵树的树围 (树干的周长) 可以估算出它的树龄. 通常规定以树干离地面 1.5 m 的地方为测量部位. 某树栽种时的树围为 6 cm，在一定生长期内每年增加约 3 cm，设经过 x 年后这棵树的树围超过 30 cm，请你列出 x 满足的关系式. 解：6＋3x＞30. 观察由上述问题得到的关系式： ，a + b + c ≤ 160，6 + 3x＞30 ， 它们有什么共同的特点？ 一般地，用不等号“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”) 连接的式子叫作不等式. 左右不相等 归纳总结 用不等号“≠”连接的式子也是不等式. 例1 判断下列式子是不是不等式： (1) -3＞0； (2) 4x＋3y ≠ 0； (3) x = 3； (4) x2＋xy＋y2； (5) x＋2＞y＋5. 解：(1) (2) (5) 是不等式； (3) (4) 不是不等式. 典例精析 例2 用不等式表示下列关系，并分别写出两个满足不等式的数： (1) x 的一半不小于 -1 (2) y 与 4 的和大于 0.5 (3) a 是负数； (4) b 是非负数. (1) 0.5x ≥ -1. 如 x＝-1，1. (2) y + 4＞0.5. 如 y＝0，1. (3) a＜0. 如 a＝-3，-4. (4) b 是非负数，就是说 b 可以是正数或零，即 b≥0. 如 b＝0，2. C 返回 1． 下列式子中，是不等式的有(　　)　　　　　　　　　　　　　　 ①x＝1；②3x＋4y＞0；③－2＜0；④2x－3≥0；⑤y＞1；⑥m＋n. A．2个 B．3个 C．4个　 D．5个 中考考法 12 返回 B 2． 老师和同学们玩猜数游戏．老师在心里想一个100以内的数字，同学们可以提问，老师只能点头或者摇头回应对错．甲问：“小于50吗？”老师摇头．乙问：“不大于75吗？”老师点头．丙问：“不小于60吗？”老师点头．老师心里想的数字x所在的范围为(　　) A．50＜x≤75 B．60≤x≤75 C．50＜x＜60 D．50≤x＜60 中考考法 13 返回 3． [教材P52随堂练习T1] 根据下列关系列出不等式： (1)x2是非负数； (2)x的相反数与1的差小于2； (3)x的2倍与5的和是正数； (4)a，b两数的平方差不小于1； (5)长为a，宽为a－2的长方形的面积小于边长为a＋1的正方形的面积. 【解】(1)x2≥0. (2)－x－1<2. (3)2x＋5>0. (4)a2－b2≥1. (5)a(a－2)<(a＋1)2. 中考考法 14 4． 返回 C 小明要从甲地到乙地，两地相距1.8 km.已知他步行的平均速度为90 m/min，跑步的平均速度为210 m/min，若他要在不超过15 min的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x min，则列出的不等式为(　　) A．210x＋90(15－x)≥1.8 B．90x＋210(15－x)≤1 800 C．210x＋90(15－x)≥1 800 D．90x＋210(15－x)≤1.8 中考考法 15 5． 返回 0≤V≤2 600 某长方体形状的容器长20 cm，宽10 cm，高15 cm.容器内原有水的高度为2 cm，现准备向它继续注水，用V(单位： cm3)表示新注入水的体积，则V的取值范围为______________. 中考考法 16 6． 返回 【解】一个长方形的长为x，宽为y，这个长方形的长的2倍与宽的和不小于8(答案不唯一)． 小芳妈妈晚上辅导小芳写作业时看到一个不等式2x＋y≥8，请帮小芳妈妈设计一个实际情境让小芳理解这个不等式. 中考考法 17 7． [教材P57习题T9 ]某苹果种植商组织10辆汽车装运A，B两种苹果到外地销售．按规定每辆汽车只能装一种苹果且必须装满．已知每辆汽车的运载量及每吨苹果获利的数据如下表： 苹果品种 A B 每辆汽车的运载量/t 3 2 每吨苹果获利/元 500 900 中考考法 18 (1)若要求一次性运出的苹果超过26 t，试写出装运A种苹果的汽车辆数x应满足的不等式； (2)若要求共获利不少于15 000元，试写出装运A种苹果的汽车辆数x应满足的另一个不等式. 【解】由题意，得3x＋2(10－x)＞26. 由题意，得500×3x＋900×2(10－x)≥15 000. 返回 中考考法 $