2.1.3 不等式的基本性质 课件2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 2.1.3 不等式的基本性质 第二章 不等式与不等式组 北师大版八年级数学下册 2.1.3 不等式的基本性质 练习题 用字母表示：如果a > b，c > 0，那么ac > bc（或a/c > b/c）。 3. 不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。（核心易错点） 用字母表示：如果a > b，c < 0，那么ac < bc（或a/c < b/c）。 4. 关键区别：等式两边乘（或除以）同一个负数，等式仍然成立；但不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变。 - 易错提醒：① 两边同时乘（除）负数时，忘记改变不等号方向；② 两边同时乘（除）的数必须是同一个数（或式子），不能漏乘（除）；③ 0不能作为除数。 二、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列关于不等式基本性质的说法，正确的是（ ） A. 不等式两边加同一个数，不等号方向改变 B. 不等式两边乘同一个负数，不等号方向不变 C. 不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变 D. 不等式两边减同一个式子，不等号方向改变 2. 根据不等式的基本性质，下列变形正确的是（ ） A. 由a > b，得a - 5 < b - 5 B. 由a > b，得3a > 3b C. 由a > b，得-2a > -2b D. 由a &gt; b，得a/2 &lt; b/2 3. 已知a > b，下列变形错误的是（ ） A. a + 2 > b + 2 B. a - 3 > b - 3 C. -4a > -4b D. 5a > 5b 4. 下列说法中，利用不等式基本性质3的是（ ） A. 由5 > 3，得5 + 2 > 3 + 2 B. 由5 > 3，得5×2 > 3×2 C. 由5 > 3，得5 - 2 > 3 - 2 D. 由5 > 3，得-5 < -3 5. 已知x > y，下列变形中，正确的是（ ） A. x + 3 < y + 3 B. 3x > 3y C. -x > -y D. x/(-2) > y/(-2) 三、填空题（每题3分，共15分） 1. 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向________；两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向________；两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向________。 2. 由a > b，根据性质1，可得到a + 4 ________ b + 4（填“>”“<”或“=”）；根据性质2，可得到5a ________ 5b；根据性质3，可得到-3a ________ -3b。 3. 已知x < y，若两边同时乘-2，得________（注意不等号方向）；若两边同时加3，得________。 4. 若a > b，c < 0，则ac ________ bc；若a < b，c > 0，则a/c ________ b/c（填“>”“<”或“=”）。 5. 利用不等式的基本性质，将不等式2x - 3 > 5变形为x > 4，第一步需两边________，依据是________。 四、解答题（共70分） 1. （10分）基础题，考查不等式基本性质的识别与简单应用。 （1）请完整叙述不等式的3条基本性质（用文字和字母表示）； （2）根据不等式的基本性质，判断下列变形是否正确，若是，说明依据；若不是，说明理由： ① 由a > b，得a + 5 > b + 5；② 由a > b，得-2a > -2b；③ 由a > b，得3a - 1 > 3b - 1。 解： 2. （12分）辨析题，考查不等式基本性质的辨析及易错点。 （1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正： ① 不等式两边乘同一个数，不等号方向不变； ② 由a > b，得a/(-3) > b/(-3)； ③ 由2x > 6，得x > 3（依据不等式基本性质2）； ④ 由-x < 2，得x < -2。 （2）简述不等式基本性质2与性质3的核心区别。 解： 3. （12分）基础应用题，考查利用不等式基本性质变形。 根据不等式的基本性质，将下列不等式变形为x > a或x < a的形式，并说明每一步的依据： ① x + 5 > 8；② 2x < 6；③ -3x > 9；④ x - 7 < 0；⑤ 2x + 3 > 5；⑥ -x - 2 < 1。 解： 4. （12分）综合应用题，考查不等式基本性质的灵活运用。 （1）已知a > b，c = d，判断下列式子是否成立，并说明理由： ① a + c > b + d；② a - c > b - d；③ ac > bd；④ a/c > b/d（c、d不为0）。 （2）已知-2x > 4，利用不等式基本性质，求x的取值范围，并写出2个满足该范围的x的值； （3）已知3x - 1 < 2x + 3，利用不等式基本性质，求x的取值范围。 解： 5. （12分）分析题，考查不等式基本性质与等式性质的区别。 （1）已知等式2x = 4，两边同时乘-1，得-2x = -4；若不等式2x > 4，两边同时乘-1，得到的结果是什么？说明理由； （2）对比等式的性质与不等式的基本性质，写出2个相同点和2个不同点； （3）已知a > b，试判断-a + 3与-b + 3的大小关系，利用不等式基本性质说明理由。 解： 6. （10分）拓展题，考查不等式基本性质的综合运用。 （1）已知不等式ax > b的解集是x < 3，判断a的正负，并说明理由； （2）已知a > b，c < 0，试比较ac + 2与bc + 2的大小关系，说明理由； （3）利用不等式基本性质，证明：若a > b，b > c，则a > c（提示：利用性质1）。 解： 参考答案（简要提示） 一、选择题：1.C 2.B 3.C 4.D 5.B 二、填空题：1. 不变；不变；改变 2. >；>；< 3. -2x > -2y；x + 3 < y + 3 4. <；< 5. 加3；不等式基本性质1 三、解答题：1.（1）性质略（文字+字母表示）；（2）①正确，依据性质1；②错误，依据性质3，应得-2a < -2b；③正确，依据性质2和性质1 2.（1）①错误，乘负数时不等号方向改变；②错误，改正：a/(-3) < b/(-3)；③正确；④错误，改正：x > -2；（2）区别：乘（除）正数，不等号方向不变；乘（除）负数，不等号方向改变 3. ①x > 3（性质1，两边减5）；②x < 3（性质2，两边除以2）；③x < -3（性质3，两边除以-3，变号）；④x < 7（性质1）；⑤x > 1（性质1+性质2）；⑥x > -3（性质1+性质3） 4.（1）①成立（性质1）；②成立（性质1）；③不一定（c、d为负时不成立）；④不一定（c、d为负时不成立）；（2）x < -2，值：-3、-4（答案不唯一）；（3）x < 4 5.（1）-2x < -4（性质3，乘负数变号）；（2）相同点：两边加（减）同一个数，等式/不等式仍成立；两边乘（除）同一个正数，仍成立；不同点：等式乘（除）负数仍成立，不等式乘（除）负数变号；等式两边相等，不等式两边不相等；（3）-a + 3 < -b + 3（性质3+性质1） 6.（1）a为负（理由：解集变号，说明两边除以负数）；（2）ac + 2 < bc + 2（性质3+性质1）；（3）证明：a > b ⇒ a + c > b + c（性质1），b > c ⇒ b + c > c + c（性质1），故a > c 进行新课 知识点1 不等式的基本性质 尝试·交流 （1）如果在不等式的两边都加或都减同一个数，那么不等式还成立吗？ 活动1：同学们自己先确定一个不等式，在不等式的两边都加上或都减去同一个数，结果有何特点？小组讨论得出结果。 5 > 3， ① 5 + 2 ______ 3 + 2； ② 5 - 2 ______ 3 - 2。 -3 < - 2， ① -3 + 4 ______ - 2 + 4； ② -3 - 4 ______ - 2 - 4。 ＞ ＞ ＜ ＜ 例： 根据举出的例子，你能归纳出什么结论？ 100 g 50 g 结论：100＞50 100 + 20 ＞ 50 + 20 120 ＞ 70 120 － 20 ＞ 70 － 20 + 20g + 20g 请举几例试一试，并与同伴交流. 探究新知 不等式的性质 1 (1) 5 ＞ 3，5＋2 ___ 3＋2，5 - 2 ___ 3 - 2； 　 (2) -1 ＜ 3，-1＋2 ___ 3＋2 ，-1 - 3 ___ 3 - 3. 根据发现的规律填空：当不等式两边加或减同一个数(正数或负数) 时，不等号的方向______. 不变 ＞ ＞ ＜ ＜ 思考：用“＞”或“＜”填空，并总结其中的规律： 不等式的性质1：不等式两边都加 (或减) 同一个整式，不等号的方向不变. 如果 a ＞ b，那么 a＋c ＞ b＋c，a－c ＞ b－c. 与等式的基本性质类似. 归纳总结 2＜3 2×5 ____ 3×5； 2× ____ 3×； 2×(-1)____ 3×(-1)； 2×(-5)____ 3×(-5)； 2×(-)____ 3×(-)； ＞ ＜ ＜ ＞ 完成下列填空： ＞ 你发现了什么？请再举几例试一试，还有类似的结论吗？与同伴交流. 做一做 改变 (1) 6＞2， 6×5 ____ 2×5， 6×(-5)____ 2×(-5)； (2) -2＜3， (-2)×6____3×6， (-2)×(-6)____3×(-6). 当不等式两边乘同一个正数时，不等号的方向_____； 而乘同一个负数时，不等号的方向_____. ＞ ＜ ＜ ＞ 不变 思考：完成下列填空： 根据发现的规律填空： 如果 a ＞ b，c ＞ 0，那么 ac ____ bc ( 或 ). 不等式的性质2：不等式两边都乘 (或除以) 同一个正数，不等号的方向不变. ＞ 如果 a ＞ b，c ＜ 0，那么 ac ____ bc ( 或 ). ＜ 不等式的性质3：不等式两边都乘 (或除以) 同一个负数，不等号的方向改变. 归纳总结 不等式的两边都乘 16，由不等式基本性质 2，得 解： 不等式的两边都除以 l2 ，由不等式基本性质 2，得 因为上式恒成立，所以 也恒成立. 思考：上节课，我们猜想，无论绳长 l 取何值，所围成的圆的面积总大于正方形的面积，即 . 你相信这个结论吗？你能用不等式的性质证明吗？ 解：(1) 根据不等式基本性质 1，两边都加 5，得 x＞-1 + 5， 即 x＞4。 例 根据不等式的基本性质解下列不等式，并将解集表示在数轴上： (1) x - 5＞-1； (2) -2x≥3. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。 0 1 2 3 4 5 6 -1 典例精析 (2) 根据不等式基本性质 3，两边都除以 -2，得 (2) -2x≥3. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。 -1 0 1 2 3 -2 -3 解： (1) 根据不等式的基本性质 1，两边都加上 7，得 x - 7 + 7＜8 + 7， 即 x＜15. (1) x - 7＜8； (2) 3x＜2x - 3. (2) 根据不等式的基本性质 1，两边都减去 2x ，得 3x - 2x＜2x - 3 - 2x， 即 x＜ -3. 1. 根据不等式的基本性质解下列不等式. 针对训练 C 返回 1． [教材P56随堂练习T1] 如果x＞y，那么下列不等式正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　 A．x＋5<y＋5 B．x－5＜y－5 C．5x＞5y D．－5x＞－5y 中考考法 14 返回 C 2． [2025周口期中]如图，天平两边的托盘上各放三个小球，质量分别如图所示，结果天平向右侧倾斜，则下列说法正确的是(　　) A．a>b B．a>c C．c<5 g D．c>5 g 中考考法 15 D 返回 3． 实数a，b，c满足a>b，且ac>bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是(　　) 中考考法 16 4． 返回 D 嘉淇解一道不等式的过程如下： 解：◇x－2x>8，(◇－2)x>8，□x>8，x☆－2. 其中，“◇”“□”表示数字，“☆”表示不等号，则“◇”“□”“☆”分别代表(　　) A．6，4，>　 B．6，4，< C．－2，－4，>　 D．－2，－4，< 中考考法 17 5． 返回 a>2 (1)若x<y，且(a－2)x<(a－2)y ，则a的取值范围为________； a>1 中考考法 18 6． 返回 x<1 若点P(m－1，m)在第二象限，且 (m－1)x＞m－1，则x的取值范围为________. 中考考法 19 7． [教材P55例 ]根据不等式的基本性质解下列不等式，并将解集表示在数轴上： 中考考法 20 返回 (2)－2x＋3<3x＋2. 中考考法 21 8． 返回 C 中考考法 22 9． 已知三个实数a，b，c满足a＋2b＋2c>0，a－2b＋2c＝0，则(　　) A．b<0，b2－2ac≥0 B．b>0，b2－2ac≥0 C．b<0，b2－2ac≤0 D．b>0，b2－2ac≤0 中考考法 23 【点拨】 【答案】B 返回 中考考法 (2)已知关于x的不等式(1－a)x≥2可化为x≤，则a的取值范围为________. 【解】不等式两边同时乘－，得x<－40.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示． (1)－x>60; 【解】不等式两边同时减3x，得－5x＋3<2. 不等式两边同时减3，得－5x<－1. 不等式两边同时除以－5，得x>.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示． 某商贩分两次买苹果，第一次买了30 kg，价格为每千克x元，第二次买了20 kg，价格为每千克y元．后来他以每千克元的价格卖完，结果发现自己赔了钱，下面判断x与y的大小关系正确的是(　　) A．x≥y B．x≤y C．x＞y D．x＜y ∵a－2b＋2c＝0，∴2b＝a＋2c.∵a＋2b＋2c>0，∴4b>0.∴b>0.∵2b＝a＋2c，∴b＝＋c.∴b2－2ac＝－2ac＝c2＋ac＋－2ac＝.∵≥0，∴b2－2ac≥0. 综上，b>0，b2－2ac≥0. $