2.3.1 一元一次不等式与一次函数-课件--2025--2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 2.3.1 一元一次不等式与一次函数 第二章 不等式与不等式组 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“2.3.1 一元一次不等式与一次函数”核心知识点设计，重点考查一元一次不等式与一次函数的内在联系，能利用一次函数的图像与性质解一元一次不等式，能根据不等式的解集分析一次函数的图像特征，分层考查图像识别、逻辑推理、计算应用与灵活运用能力，助力熟练掌握“数形结合”思想，规范利用函数图像解不等式的步骤，规避图像分析与计算中的常见失误。 一、基础梳理（必记内容） 1. 核心联系：一次函数y = kx + b（k ≠ 0）与一元一次不等式的关系，本质是“函数值的大小与自变量的取值范围”的对应关系，体现数形结合思想。 2. 一次函数与一元一次不等式的对应关系（核心重点）： - （1）对于一次函数y = kx + b（k ≠ 0），当y > 0时，对应一元一次不等式kx + b > 0，其解集是函数图像在x轴上方的所有点的横坐标x的取值范围； - （2）当y < 0时，对应一元一次不等式kx + b < 0，其解集是函数图像在x轴下方的所有点的横坐标x的取值范围； - （3）当y = 0时，对应一元一次方程kx + b = 0，其解是函数图像与x轴交点的横坐标（该点是不等式解集的分界点）。 3. 关键补充（结合k的符号判断）： - （1）若k > 一次函数y = kx + b的图像从左到右上升，此时：① y > 0时，x > -b/k；② y < 0时，x < -b/k； - （2）若k < 0，一次函数y = kx + b的图像从左到右下降，此时：① y > 0时，x < -b/k；② y < 0时，x > -b/k。 4. 利用一次函数图像解一元一次不等式的基本步骤： - （1）画出一次函数y = kx + b（k ≠ 0）的图像（标注原点、坐标轴、交点坐标）； - （2）找到函数图像与x轴的交点（求kx + b = 0的解，即交点横坐标）； - （3）判断函数图像在x轴上方、下方的区域，对应确定不等式的解集； - （4）检验解集的正确性（可代入不等式或函数解析式验证）。 5. 易错提醒：① 混淆函数图像在x轴上方、下方对应的不等式方向；② 忽略k的符号对函数增减性的影响，导致解集方向判断错误；③ 画函数图像时，交点坐标计算错误；④ 无法将不等式与函数图像对应，数形结合思想运用不熟练。 二、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列关于一元一次不等式与一次函数的关系，说法正确的是（ ） A. 一次函数y = kx + b（k ≠ 0）与x轴的交点，就是不等式kx + b > 0的解 B. 一元一次不等式kx + b < 0的解集，是一次函数y = kx + b图像在x轴下方的点的横坐标范围 C. 若一次函数y = kx + b（k ≠ 0）的图像过原点，则对应的不等式无解 D. 一次函数的图像与一元一次不等式的解集没有直接联系 2. 已知一次函数y = 2x + 4，下列不等式中，解集为x > -2的是（ ） A. 2x + 4 > 0 B. 2x + 4 < 0 C. 2x + 4 ≥ 0 D. 2x + 4 ≤ 0 3. 已知一次函数y = kx + b（k ≠ 0）的图像经过点（2，0），且y随x的增大而减小，则不等式kx + b > 0的解集是（ ） A. x > 2 B. x < 2 C. x ≥ 2 D. x ≤ 2 4. 若一次函数y = 3x - 6，下列说法错误的是（ ） A. 函数图像与x轴的交点坐标为（2，0） B. 不等式3x - 6 < 0的解集是x < 2 C. 函数图像在x轴上方时，x > 2 D. 函数图像从左到右下降，y随x的增大而减小 5. 已知一次函数y = kx + b（k ≠ 0），若kx + b > 0的解集是x < 3，则下列说法正确的是（ ） A. k > 0，b < 0 B. k < 0，b > 0 C. k > 0，b > 0 D. k < 0，b < 0 三、填空题（每题3分，共15分） 1. 一次函数y = kx + b（k ≠ 0）中，当y > 0时，对应不等式________，其解集是函数图像在x轴________的点的横坐标范围。 2. 已知一次函数y = -x + 5，它与x轴的交点坐标是________，不等式-x + 5 < 0的解集是________。 3. 若一次函数y = 5x + m（m为常数）的图像在x轴上方时，x > -2，则m = ________。 4. 利用一次函数图像解一元一次不等式的核心思想是________，关键是找到函数图像与________的交点。 5. 已知一次函数y = kx + 3（k ≠ 0），若不等式kx + 3 ≤ 0的解集是x ≥ 1，则k = ________。 四、解答题（共70分） 1. （10分）基础题，考查一元一次不等式与一次函数的基本联系。 （1）请完整叙述一次函数y = kx + b（k ≠ 0）与一元一次不等式kx + b > 0、kx + b < 0的对应关系； （2）已知一次函数y = 4x - 8，求：① 函数图像与x轴的交点坐标；② 不等式4x - 8 > 0的解集；③ 不等式4x - 8 ≤ 0的解集。 解： 2. （12分）辨析题，考查二者关系的易错点及图像分析。 （1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正： ① 一次函数y = kx + b（k ≠ 0）的图像在x轴上方的点，对应的x值都是不等式kx + b < 0的解； ② 若一次函数y = kx + b（k ≠ 0）的y随x的增大而增大，且与x轴交于（-1，0），则不等式kx + b > 0的解集是x < -1； ③ 不等式kx + b = 0的解，就是一次函数y = kx + b与y轴的交点坐标； ④ 利用一次函数图像解不等式时，无需计算交点坐标，直接观察图像即可。 （2）简述k的符号对一次函数图像增减性及对应不等式解集的影响。 解： 3. （12分）基础应用题，考查利用一次函数图像解不等式。 （1）已知一次函数y = 2x + 2，画出该函数的大致图像（简要说明作图步骤），并根据图像求不等式2x + 2 > 0、2x + 2 < 0的解集； （2）已知一次函数y = -3x + 6，求：① 函数图像与x轴的交点坐标；② 当x取何值时，y > 0？③ 当x取何值时，y ≤ 0？ 解：（图像可在答题纸上绘制，此处写出作图步骤、交点坐标和解集） 4. （12分）综合应用题，考查结合函数性质求不等式解集。 （1）已知一次函数y = kx + b（k ≠ 0）经过点（3，0）和（0，6），求该函数解析式，并求不等式kx + b > 0的解集； （2）已知一次函数y = (m - 2)x + 5（m ≠ 2），若y随x的增大而减小，且不等式(m - 2)x + 5 < 0的解集是x > 5，求m的值； （3）已知一次函数y = 3x + n与y = -2x + 4的图像交于x轴上同一点，求n的值，并求不等式3x + n > 0的解集。 解： 5. （12分）综合应用题，考查数形结合的实际应用。 （1）某商店销售一种商品，每件成本为10元，售价为x元（x > 10），销售量y（件）与售价x（元）的函数关系为y = -2x + 60，若销售量不低于20件，求售价x的取值范围（用一次函数与不等式的关系求解）； （2）已知一次函数y = kx + b（k 复习回顾 回答下列问题，回忆一元一次方程与一次函数的关系。 1.解方程 2x-5=0。 2x=5 x=2.5 求方程 kx+b=0的____ 2.一次函数 y=2x-5，当x取何值时，函数值为0。 当y=0时 2x-5=0 x=2.5 一次函数 y=kx+b的函数值为___时，求相应_________的值 3.一次函数 y=2x-5的函数图象与x轴交点横坐标是_____。 直线 y=kx+b与_____交点的___坐标 解 0 自变量x 2.5 x轴 横 数 形 探究新知 函数 y＝2x－5 的图象如图所示，观察图象 回答下列问题： （1）x 取什么值时，2x－5＝0？ （2）x 取哪些值时，2x－5＞0？ （3）x 取哪些值时，2x－5＜0？ （4）x 取哪些值时，2x－5＞1? 你是怎样思考的？与同伴进行交流。 O 1 2 3 4 5 -1 x 2 3 1 4 -3 -5 -2 -4 y -1 y＝2x－5 一元一次不等式与一次函数 1 解：由图象可知 O 1 2 3 4 5 -1 x 2 3 1 4 -3 -5 -2 -4 y -1 (1) 当 x＝2.5 时， 2x－5＝0， (2) 当 x＞2.5 时，直线 y＝2x－5在 x 轴的上方，则 2x－5＞0， (3) 当 x＜2.5 时，直线 y＝2x－5在 x 轴的下方，则 2x－5＜0. y＝2x－5 (2.5，0) (4) 当直线 y＝2x－5 上的点的纵坐标的值为 1 时，这时该点的横坐标的值为 3. 当 x＞3 时，直线 y＝2x－5 在直线 y＝1 的上方， 则 2x－5＞1. O 1 2 3 4 5 -1 x 2 3 1 4 -3 -5 -2 -4 y -1 y＝2x－5 (3，1) 归纳总结 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为 kx + b > 0 或 kx + b < 0（k，b 是常数，k ≠ 0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作求当一次函数 y = kx + b 的值大于（或小于）0 时，相应的自变量的取值范围. O -3 -2 -1 1 2 -5 -4 x 2 -1 3 1 4 -3 -5 -2 -4 y y＝-2x -5 由图象可得 当 x＞2.5 时，y＜0. 当 x＞-3 时，y＜1. 想一想 如果 y＝-2x - 5， 那么当 x 取何值时，y＜0？当 x 取何值时，y＜1 ？ 例1 画出函数 y = -3x + 6 的图象，结合图象求： 解：作出函数 y = -3x + 6 的图象，如图所示，图象与 x 轴交于点 B(2，0). x O B(2,0) A(0,6) y (1) 不等式 -3x + 6 > 0 和 -3x + 6 < 0 的解集； (2) 当 x 取何值时，y < 3? 解：(1)由图象可知，不等式 -3x + 6 > 0 的解集是图象位于 x 轴上方的 x 的取值范围，即 x < 2； 不等式 -3x + 6 < 0 的解集是图象位于 x 轴下方的 x 的取值范围，即 x > 2； x O B(2,0) A(0,6) 3 1 (1,3) y (2) 由图象可知，当 x > 1 时，y < 3. (1) 不等式 -3x + 6 > 0 和 -3x + 6 < 0 的解集； (2) 当 x 取何值时，y < 3? 例2 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑 9 m，然后自已才开始跑，已知弟弟每秒跑 3 m，哥哥每秒跑 4 m. 列出函数关系式，作出函数图象，观察图象回答问题： (1) 何时弟弟跑在哥哥前面？ (2) 何时哥哥跑在弟弟前面？ (3) 谁先跑过 20 m？谁先跑过 100 m？ 你是怎样求解的？ 与同伴交流. 典例精析 哥哥： y1 ＝ 4x 弟弟： y2 ＝ 3x + 9 (1)___________ s 时， 弟弟跑在哥哥前面. (2)________ s 时， 哥哥跑在弟弟前面. (3)______先跑过 20 m. ______先跑过 100 m. 思路：图象法 0＜x＜9 x＞9 (9,36) y1＝4x y2＝3x+9 O 6 8 10 2 x(s) 4 12 24 12 30 18 36 6 y(m) 42 48 弟弟 哥哥 B 返回 1． 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示，点A(－1，4)在该函数的图象上，则不等式kx＋b>4的解集为(　　) A．x≥－1 B．x<－1 C．x≤－1 D．x>－1 中考考法 12 返回 C 2． 如图，在平面直角坐标系中，若直线y1＝－x＋a与直线 y2＝bx－4相交于点 P(1，－3)，则下列结论错误的是(　　) A．方程－x＋a＝bx－4的解是x＝1 B．不等式－x＋a<－3和不等式bx－4>－3的解集相同 中考考法 13 x>3 返回 3． 中考考法 14 4． 返回 1 已知一次函数y＝kx＋b(k，b为常数且k≠0). (1)函数图象过点(－1，1)，则b－k的值为________； (2)若y＝kx＋b(k<0)的图象经过点A(1，2)，则不等式(k－2)x＋b>0的解集为________. x<1　 中考考法 15 5． 返回 0≤t<2 如图，已知A地在B地正南方3 km处，甲、乙两人同时分别从A，B两地向正北方向匀速直行，他们与A地的距离s(单位：km)与所行的时间t(单位：h)之间的函数图象如图所示，当甲一直在乙的后面时，t的取值范围为_____________________. 中考考法 16 6． 【解】在y＝3x＋12中，当x＝0时，y＝12；当y＝0时，x＝－4， ∴函数y＝3x＋12的图象过点(0，12)和点(－4，0)． ∴函数y＝3x＋12的图象如图． (1)函数图象经过点(－4，0)，并且函数值y随x的 增大而增大，因而当x>－4时，y>0. 画出函数y＝3x＋12的图象，并回答下列问题： (1)当x为何值时，y>0？ 中考考法 17 (2)如果这个函数y的值满足－6≤y≤6，求相应的x的取值范围. 如图，函数图象经过点(－6，－6)和点(－2，6)，易知当函数y的值满足－6≤y≤6时，相应的x的取值范围是－6≤x≤－2. 返回 中考考法 7． 中考考法 19 【点拨】 【答案】C 返回 中考考法 8． x<4 如图，已知直线l1：y＝k1x＋b1和直线l2：y＝k2x＋b2相交于点A(a，3)，且OA＝5，当k1x＋b1>k2x＋b2时，x的取值范围是________. 中考考法 21 【点拨】 如图，过点A作AC⊥x轴于点C，∵A(a，3)，∴AC＝3，OC＝a.又∵OA＝5，∴在Rt△OAC中，有OC2＋AC2＝OA2，即a2＋32＝52，解得a＝4或a＝－4(舍去)，∴A(4，3)．由图象可知，当x<4时，直线l2在直线l1下方，∴当k1x＋b1>k2x＋b2时，x的取值范围是x<4. 返回 中考考法 9． ①②③ 一次函数y1＝kx＋b(k≠0，k，b是常数)与y2＝mx＋3(m≠0，m是常数)的图象交于点D(1，2)，则下列正确结论的序号是________. ①关于x的方程kx＋b＝mx＋3的解为x＝1； ②一次函数y2＝mx＋3(m≠0，m是常数)的图象上任意 两点A(x1，y1)和B(x2，y2)满足(x1－x2)·(y1－y2)<0； ③若b<3，且b≠2，则当x>1时，y1>y2. 中考考法 23 C．方程组 的解是 D．不等式bx－4<－x＋a的解集是x<1 如图，直线y＝kx＋b(k<0)经过点A(3，1)，当kx＋b<x时，x的取值范围为________. 当x>－3时，对于x的每一个值，函数y＝kx(k≠0)的值都小于函数y＝－x＋3的值，则k的取值范围是(　　) A．k≥－且k≠0 B．k≤－ C．－≤k≤－ D．0<k≤－ 当x＝－3时，y＝－x＋3＝.将点代入y＝kx(k≠0)，得＝－3k，解得k＝－.当k＝－时，直线y＝kx(k≠0)与直线y＝－x＋3平行，且在直线y＝－x＋3下方．如图，易知当－≤k≤－时，满足当x>－3时，函数y＝kx(k≠0)的值都小于函数y＝－x＋3的值．故选C. $