精品解析：北京师范大学附属实验中学2025-2026学年第二学期期中试卷高一年级数学

北师大实验中学2025-2026学年度第二学期期中试卷 高一年级数学 命题人：何文春 于大哲 审题人：李扬眉 黎栋材 考生须知 1.本试卷共4页，共三道大题，21道小题，答题卡共3页，满分150分，考试时间120分钟. 2.在试卷和答题卡上准确填写班级､姓名､学号. 3.试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各角中，与角终边相同的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，周期为的奇函数为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，为钝角，则点（ ） A. 在第一象限 B. 在第二象限 C. 在第三象限 D. 在第四象限 4. 若，则符合条件的角有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如果角的终边在直线上，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 把函数的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向左平移个单位,这时对应于这个图像的解析式是（　　） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 9. 在中，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的最大值为 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上有3个零点 二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 已知圆的半径为2，则的圆心角所对的弧长为______. 12. 已知向量，若与垂直，则__________. 13. 已知函数的部分图象如图所示.则__________，__________. 14. 将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，记函数，若，则的最小值为________；若的最大值为，则的一个取值为____________． 15. 已知函数.给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数，；④当时，存在，，使得对任意，都有.其中所有正确结论的序号是__________. 三､解答题（本大题共6小题，共85分） 16. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，两点的横坐标分别为. （1）求的值； （2）求的值. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）若函数在上无零点，求的取值范围. 18. 如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆上的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒.在时刻，设质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设. （1）求的解析式； （2）若，求的值域. 19. 已知函数. （1）求的值； （2）从条件①､条件②､条件③中选择两个作为已知条件，使函数存在且唯一确定.当时，的值域为，求的取值范围. 条件①：在上是单调函数； 条件②：图象的一个对称中心为； 条件③：对任意的，都有成立. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 20. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，三点满足. （1）若，求； （2）若，若恒成立，求实数的取值范围. 21. 设为正整数，集合.对于集合中的元素和，记为元素与的相异系数. （1）当时，写出与元素的相异系数为3的所有元素； （2）当时，证明：对于集合中任意3个元素，必存在两个不同元素的相异系数小于3； （3）当时，集合中是否存在10个元素，其中任意两个不同元素的相异系数都不小于12？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大实验中学2025-2026学年度第二学期期中试卷 高一年级数学 命题人：何文春 于大哲 审题人：李扬眉 黎栋材 考生须知 1.本试卷共4页，共三道大题，21道小题，答题卡共3页，满分150分，考试时间120分钟. 2.在试卷和答题卡上准确填写班级､姓名､学号. 3.试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各角中，与角终边相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助终边相同的角的定义计算即可得. 【详解】与角终边相同的角为：， 当时，有，故D正确； 其余选项都不符合，故A、B、C错误. 2. 下列函数中，周期为的奇函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合三角函数周期性及奇偶性定义，逐项判断即可得. 【详解】对A：，故A错误； 对B：由为偶函数，故为偶函数，故B错误； 对C：，由为奇函数，故为奇函数，故C正确； 对D：令，则， 又该函数定义域为，故该函数为偶函数，故D错误. 3. 在中，为钝角，则点（ ） A. 在第一象限 B. 在第二象限 C. 在第三象限 D. 在第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】在中，为钝角，则为锐角. 所以，所以点在第二象限. 4. 若，则符合条件的角有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】作出，及的图象即可得. 【详解】作出，及的图象如下： 由图可知，两函数图象共个交点，故符合条件的角有个. 5. 如果角的终边在直线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助三角函数定义可得，再利用同角三角函数基本关系将弦化为切后计算即可得. 【详解】由角的终边在直线上，则， 则. 6. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的定义计算，再根据计算即可. 【详解】由题意可得，， 则， 故. 故选：D 7. 把函数的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向左平移个单位,这时对应于这个图像的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数图像的变换求解即可. 【详解】解：函数的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，可以得到函数的图像， 再把图像向左平移个单位，可以得到函数的图像. 所以，此时对应于这个图像的解析式是. 故选:A 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 而，则， 所以. 9. 在中，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立适当坐标系后，可表示出各点坐标，再设，借助数量积公式可表示出，利用同角三角函数基本关系及辅助角公式计算即可得解. 【详解】以为原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则，，，由，可设， 则，， 则 ，其中， 由，故. 10. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的最大值为 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上有3个零点 【答案】D 【解析】 【分析】A.代入周期的定义，即可判断； B.分别比较两个函数分别取得最大值的值，即可判断； C.代入对称性的公式，即可求解； D.根据零点的定义，解方程，即可判断. 【详解】A.，故A错误； B.，当，时，取得最大值1，，当，时，即，时，取得最大值，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故B错误； C.，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误； D.，即，， 即或，解得：， 所以函数在区间上有3个零点，故D正确. 故选：D 二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 已知圆的半径为2，则的圆心角所对的弧长为______. 【答案】 【解析】 【分析】 由已知结合弧长公式即可直接求解. 【详解】由弧长公式可得. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查弧长公式，属于基础题. 12. 已知向量，若与垂直，则__________. 【答案】## 【解析】 【详解】由向量，得. 若与垂直，则， 解得. 13. 已知函数的部分图象如图所示.则__________，__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用周期计算可得，利用图象最高点结合值计算可得. 【详解】由图可得，即，即； 由图可得，即， 又，故. 14. 将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，记函数，若，则的最小值为________；若的最大值为，则的一个取值为____________． 【答案】 ①. ②. （答案不唯一）. 【解析】 【分析】由三角函数的图像变换，求得，得到，根据，得到，求得，进而得到的最小值；再由的最大值为，得到，求得，得到答案. 【详解】将函数的图像向左平移个单位长度， 得到， 则， 因为，可得，所以， 解得，因为，所以的最小值为， 若的最大值为，即，即，所以， 所以的一个取值可以为. 故答案为：；（答案不唯一）. 15. 已知函数.给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数，；④当时，存在，，使得对任意，都有.其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】②④ 【解析】 【分析】取可判断①，取化简后可判断②，先化简，取可判断③，取可判断④. 【详解】对于①，当时，其最大值为1，最小值为0，的最大值与最小值的差为1，故①错误； 对于②，当时，，，因此对任意，，故②正确； 对于③，，，当时，故③错误； 对于④，当时，取，，使得对任意，都有，故正确. 故答案为：②④ 三､解答题（本大题共6小题，共85分） 16. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，两点的横坐标分别为. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角函数定义计算即可得； （2）结合三角函数定义与诱导公式计算即可得. 【小问1详解】 由，故点位于第二象限，即点的纵坐标为正，设为，即， 有，解得（负值舍去），故； 【小问2详解】 由，故点位于第一象限，即点的纵坐标为正，设为，即， 有，解得（负值舍去），则，； 由，故，； 则. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）若函数在上无零点，求的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为；单调递减区间，； （2） 【解析】 【分析】（1）首先化简函数，再结合三角函数的性质，即可求解； （2）首先根据（1）的结果求在区间的范围，根据函数无零点，求的取值范围. 【小问1详解】 ， 则函数的最小正周期, 令，， 得，， 所以函数的单调递减区间是，； 【小问2详解】 ， 当时，因为函数在上无零点， 所以，解得：. 18. 如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆上的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒.在时刻，设质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设. （1）求的解析式； （2）若，求的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，结合题意计算可得两函数解析式，再作差即可得； （2）利用二倍角公式及二次函数性质计算即可得. 【小问1详解】 设，， 由题意可得，，，，即； 由题意可得，，，，即； 则， 【小问2详解】 由， 当时，， 则当时，取最大值，当时，取最小值， 则，即的值域为. 19. 已知函数. （1）求的值； （2）从条件①､条件②､条件③中选择两个作为已知条件，使函数存在且唯一确定.当时，的值域为，求的取值范围. 条件①：在上是单调函数； 条件②：图象的一个对称中心为； 条件③：对任意的，都有成立. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过三角恒等变换得，进而可得所求函数值； （2）先逐个分析三个条件：由条件①得或；由条件②得；由条件③得，要使函数唯一存在，只需的值唯一存在即可，通过两两取交集可得所选条件，进而可得的值及函数表达式，再由函数的值确定右端点的范围可得. 【小问1详解】 因为函数 ， 所以. 【小问2详解】 先逐个分析三个条件： 由条件①：在上单调，令，则, 所以区间长度为，得. 当时，区间的左端点，要使函数单调，只能是单调递增， 所以区间的右端点，解得. 当时，区间的左端点，区间的右端点，函数在区间上单调递减，符合要求. 综上所述，或. 由条件②：图象的一个对称中心为，所以，且， 解得，即. 由条件③：对任意的，都有成立，所以是函数的最大值点， 所以，得，即. 要使函数存在且唯一确定，只需唯一确定，可选①②或①③，不能选②③. 选①②或①③，则，选②③，，不唯一不符合. 所以函数. 因为当时，，要使函数的值域为， 所以，解得. 所以的取值范围为. 20. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，三点满足. （1）若，求； （2）若，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出，，的坐标，再坐标法求出数量积与模，即可得解； （2）首先求出、，则，再令，，令，最后运用分离参数法求解参数范围即可. 【小问1详解】 因为，，所以，，， 又，所以， 所以， 由模长公式得，， 故. 【小问2详解】 因为，，, 所以，， 故，， 从而 ， 即，， 令，，令，， 若恒成立，可得恒成立， 当时，恒成立，符合题意， 当时，化简得，令， 由一次函数性质得在上单调递增， 由反比例函数性质得在上单调递增， 得到在上单调递增，且，故. 21. 设为正整数，集合.对于集合中的元素和，记为元素与的相异系数. （1）当时，写出与元素的相异系数为3的所有元素； （2）当时，证明：对于集合中任意3个元素，必存在两个不同元素的相异系数小于3； （3）当时，集合中是否存在10个元素，其中任意两个不同元素的相异系数都不小于12？请说明理由. 【答案】（1），，， （2）证明见解析 （3）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据相异系数的定义判断与恰有个坐标不同的元素. （2）用反证法，固定其中一个元素，若另外两个元素都与它的相异系数不小于，则这两个元素与它相异的位置集合都有至少个元素，进而推出这两个元素之间相异的位置至多有个. （3）假设存在个满足条件的元素，从“按元素对计数”和“按坐标位置计数”两个角度统计所有元素对的相异系数和，得到矛盾. 【小问1详解】 当时，与的相异系数为，表示该元素与恰有个位置不同，也就是恰有个位置为，另一个位置仍为.所以所有元素为，，，. 【小问2详解】 任取集合中的个元素，记为.若其中有两个元素的相异系数已经小于，结论成立. 下面只需证明不可能出现三者两两相异系数都不小于的情形. 假设与的相异系数不小于，且与的相异系数也不小于. 设与相异的位置集合为，与相异的位置集合为，则，. 因为一共只有个坐标位置，所以与至少有个公共位置. 在这些公共位置上，与不同，也与不同. 由于每个坐标只能取或，所以和在这些公共位置上的取值相同. 因此与可能相异的位置至多只剩下个，即与的相异系数小于. 这与三者两两相异系数都不小于矛盾.故对于集合中任意个元素，必存在两个不同元素的相异系数小于. 【小问3详解】 不存在.下面用反证法证明. 假设当时，集合中存在个元素，且任意两个不同元素的相异系数都不小于. 把这个元素记为. 先从元素对的角度统计. 这个元素共有对不同元素，每一对的相异系数都不小于，所以所有元素对的相异系数之和不小于. 再从坐标位置的角度统计. 对于第个坐标位置，设这个元素中该位置取的元素个数为，则该位置取的元素个数为. 在第个坐标位置上取值不同的元素对共有对. 由于为整数，且，所以. 共有个坐标位置，所以所有元素对的相异系数之和不超过. 于是同一个相异系数总和既不小于，又不超过，矛盾. 因此当时，集合中不存在个元素，使得其中任意两个不同元素的相异系数都不小于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $