北京师范大学附属实验中学2025-2026学年第二学期期中试卷高一年级数学

北师大实验中学2025-2026学年度第二学期期中试卷 高一年级数学 命题人：何文春 于大哲 审题人：李扬眉 黎栋材 考生须知 1.本试卷共4页，共三道大题，21道小题，答题卡共3页，满分150分，考试时间120分钟. 2.在试卷和答题卡上准确填写班级､姓名､学号. 3.试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各角中，与角终边相同的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，周期为的奇函数为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，为钝角，则点（ ） A. 在第一象限 B. 在第二象限 C. 在第三象限 D. 在第四象限 4. 若，则符合条件的角有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如果角的终边在直线上，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 把函数的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向左平移个单位,这时对应于这个图像的解析式是（　　） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 9. 在中，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的最大值为 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上有3个零点 二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 已知圆的半径为2，则的圆心角所对的弧长为______. 12. 已知向量，若与垂直，则__________. 13. 已知函数的部分图象如图所示.则__________，__________. 14. 将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，记函数，若，则的最小值为________；若的最大值为，则的一个取值为____________． 15. 已知函数.给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数，；④当时，存在，，使得对任意，都有.其中所有正确结论的序号是__________. 三､解答题（本大题共6小题，共85分） 16. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，两点的横坐标分别为. （1）求的值； （2）求的值. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）若函数在上无零点，求的取值范围. 18. 如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆上的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒.在时刻，设质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设. （1）求的解析式； （2）若，求的值域. 19. 已知函数. （1）求的值； （2）从条件①､条件②､条件③中选择两个作为已知条件，使函数存在且唯一确定.当时，的值域为，求的取值范围. 条件①：在上是单调函数； 条件②：图象的一个对称中心为； 条件③：对任意的，都有成立. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 20. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，三点满足. （1）若，求； （2）若，若恒成立，求实数的取值范围. 21. 设为正整数，集合.对于集合中的元素和，记为元素与的相异系数. （1）当时，写出与元素的相异系数为3的所有元素； （2）当时，证明：对于集合中任意3个元素，必存在两个不同元素的相异系数小于3； （3）当时，集合中是否存在10个元素，其中任意两个不同元素的相异系数都不小于12？请说明理由. 北师大实验中学2025-2026学年度第二学期期中试卷 高一年级数学 命题人：何文春 于大哲 审题人：李扬眉 黎栋材 考生须知 1.本试卷共4页，共三道大题，21道小题，答题卡共3页，满分150分，考试时间120分钟. 2.在试卷和答题卡上准确填写班级､姓名､学号. 3.试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】D 二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 ①. ②. （答案不唯一）. 【15题答案】 【答案】②④ 三､解答题（本大题共6小题，共85分） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）最小正周期为；单调递减区间，； （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2） 【21题答案】 【答案】（1），，， （2） 任取集合中的个元素，记为.若其中有两个元素的相异系数已经小于，结论成立. 下面只需证明不可能出现三者两两相异系数都不小于的情形. 假设与的相异系数不小于，且与的相异系数也不小于. 设与相异的位置集合为，与相异的位置集合为，则，. 因为一共只有个坐标位置，所以与至少有个公共位置. 在这些公共位置上，与不同，也与不同. 由于每个坐标只能取或，所以和在这些公共位置上的取值相同. 因此与可能相异的位置至多只剩下个，即与的相异系数小于. 这与三者两两相异系数都不小于矛盾.故对于集合中任意个元素，必存在两个不同元素的相异系数小于. （3） 不存在.下面用反证法证明. 假设当时，集合中存在个元素，且任意两个不同元素的相异系数都不小于. 把这个元素记为. 先从元素对的角度统计. 这个元素共有对不同元素，每一对的相异系数都不小于，所以所有元素对的相异系数之和不小于. 再从坐标位置的角度统计. 对于第个坐标位置，设这个元素中该位置取的元素个数为，则该位置取的元素个数为. 在第个坐标位置上取值不同的元素对共有对. 由于为整数，且，所以. 共有个坐标位置，所以所有元素对的相异系数之和不超过. 于是同一个相异系数总和既不小于，又不超过，矛盾. 因此当时，集合中不存在个元素，使得其中任意两个不同元素的相异系数都不小于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $