第1章 直角三角形的边角关系 拔尖测评-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

拔尖特训·数学（北师版）九年级下 第一章拔尖测评 ◎满分：120分◎时间：120分钟 姓名： 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，BC=4,则AB的长为 A.4 B.8 C.43 D.4/3 2.如图所示为一段楼梯的示意图，BC⊥AC,∠BAC=a,AC=5m.现要在楼梯上铺一块地毯，则 地毯的长度需要 ( 5+5)m 5 A. B.(5tan a+5)m C. -m D. -m tan a cos sin a D B000712☑ B (第2题) (第4题) 3.已知tanA=0.85,用计算器求∠A的大小，则下列按键顺序正确的是 A.SHIFT tan0·85= B.SHIFT0·85tan= C.tan SHIFT O·85= D.tano·85 SHIFT= 4.如图，矩形ABCD的四个顶点A,B,C,D分别在直线l3,l4,l2,l1上.若l1∥L2L3l4且间距 相等，AB=4,BC=3,则tana的值为 () A司 R是 D①5 15 5.某数学研究性学习小组制作了如图所示的三角函数计算图尺，在半径为1的半圆形量角器中， 画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋 转.从图中所示的图尺可读出cos∠AOB的值是 () A 7 D. 8 C.10 90 60 309 C B 09 0(C) 水平地面 (第5题) (第6题) 6.如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB,当太阳光与水平线成45°角沿斜坡 照射时，在斜坡上的树影BC的长为m,则大树AB的高为 () A.m(cos a-sin a) B.m(sina-cosa) mm C.m(cos a-tan a) D. sina cos a 7.如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30√2km至B港，然后沿北偏西40°方向航行至 C港，C港在A港的北偏东20°方向上，则A,C两港之间的距离为 () A.(30+30√3)kmB.(30+10√3)km C.(10+303)km D.30√3km H →东 65 (第7题) (第8题) (第9题) 8.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，BC=6√6，AD平分∠BAC交BC于点D,则线 段AD的长为 ( A.6√6 B.12 C.6√3 D.6 9.如图①所示为高铁受电弓装置，如图②所示为受电弓抽象后得到的图形，它是由两个四连杆 BEDC和DFGH(这8根连杆在运动过程中长度保持不变)组成，工作原理是利用“四边形的 不稳定性”.已知E,A,B是定点，HG=1cm,HD=8.2cm,DC=1.1cm,BC=4.9cm,HG 始终与AB垂直.当点D,B之间的距离最大，点H运动至最高点处时，测得∠HDC=117°， ∠CBP=70°，则，点G与水平直线AB之间的距离约为（结果精确到0.1cm,参考数据：si70°≈ 0.94,c0s70°≈0.34，sin43°≈0.68，c0s43°≈0.73) ( ) A.11.6cm B.10.6cm C.7.1cm D.10.2cm 10、某地铁站出口横裁面的半面因如图所示，扶梯AB的坡度为号，在距扶标起点A6m的点P处 用1.5m的测倾器测得扶梯终点B的仰角为14°，扶梯终点B距顶部2.4m,则扶梯的起点 A与顶部之间的距离约为（参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）（) 项部 2.4m出▣ B Q L.5m到 P6 m A (第10题) A.7.5m B.8.4m C.9.9m D.11.4m 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.如图，有下列结论：①tana>tanB;②sina>sinB;③cosa>cosB.其中，正确的是 (填序号). (第11题) (第12题) 12.如图，网格内每个小正方形的边长都是1，点A,B,C,D都在格点上，且AB与CD相交于 点P,则sin∠APD的值为 1 13.如图，延长Rt△ABC的斜边AB到点D,使BD=AB,连接CD.若tan∠BCD=了，则tamA 的值是 304 G (第13题) (第15题)》 14.在△ABC中，若∠B=45°，AB=10√2，AC=5√5，则△ABC的面积是 15.如图，小华站在河岸上的点G处，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来.此时，测得 小船C的俯角∠FDC=30°.若小华的眼睛与地面之间的距离DG=1.6m,BG=0.7m,BG 平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度为5，坡长AB=8m,点A,B,C,D,F,G在同-平面 内，则此时小船C到岸边的距离CA为m(结果保留根号). 三、解答题（共75分） 16.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,其中a=4,b= 4√3，根据条件解直角三角形. (第16题)》 17.(8分)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为(10,0)，点B在第一象限内， B0=5sm∠BA=3求： (1)点B的坐标. (2)cos∠BAO的值. (第17题) 18.(9分)在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米.同时，一同学测量一棵 树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，如图，树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时 测得地面上的影长EF为6米，坡面上的影长FG为4米.若斜坡的坡角∠GFN为30°，则树 的高度AE为多少米（结果保留根号）？ 30 (第18题) 19.(10分)我国新能源汽车产业为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足 电动汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图示为矩形充电站PQMN的平面示意图， 矩形ABCD是其中一个停车位.经测量，∠ABQ=60°，AB=5.4m,CE=1.6m,GH⊥CD, GH是另一个停车位的宽，所有停车位的长宽相同，按图示并列划定（结果精确到0.1m,参 考数据：√3≈1.73) (1)求PQ的长. (2)若该充电站有20个停车位，求PN的长. (第19题) 20.(10分)某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动.如图所示为他们测量长 城第一墩AB高度的示意图，A为最高点，点B,F,D是地面同一直线上的三个点（点D,F 都在保护栅栏外)，在点D,F处分别用测角仪测得∠ACG=16.7°，∠AEG=22°，其中CD= EF=l.7m(测角仪的高度)，DF=CE=5.5m,求长城第一墩AB的高度（结果精确到0.1m, 参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96， tan16.7°≈0.30). G (第20题) 21.(10分)如图，在东西走向的航线l的两侧分别有观测点A和B,点A到航线L的距离为2km, 点B位于点A北偏东60°方向且与点A相距10km.现有一艘轮船从位于点B南偏西76方向 的点C处，正沿该航线自西向东航行，一段时间后该轮船行至点A的正北方向的点D处.求： (1)观测点B到航线l的距离. (2)该轮船航行的距离CD(结果精确到0.1km,参考数据：√3≈1.732，sin76°≈0.97，cos76°≈ 0.24,tan76°≈4.01). B →东 A (第21题) 2 22.(10分)在综合实践课上，某实践小组使用无人机测量某河段的宽度，如图，他们在河岸一侧 的观景台（矩形ABCD)上升起一架无人机，当无人机飞到河面上方的点P处时，测得观景台 正对岸点Q处的俯角为63.6°，测得观景台顶部点A处的俯角为47.3°，测得观景台顶部 点D处的俯角为36.7°.已知观景台的高AB为10米，台面宽AD为16米（图中所有点均在 同一平面内，Q,B,C三点共线)，求该河段的宽QC(结果精确到0.1米，参考数据：tan47.3°≈ 1.08,tan36.7°≈0.75，tan63.6°≈2.01). Ma.6N 7.3 、A 观景台 D (第22题) 23.(10分)如图，小张早起在一条东西走向的笔直马路上进行晨跑，他在点A处时，点D处的学 校和点E处的图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了600m到达点B处时，点E 处的图书馆在他的北偏东15°方向上，然后他由点B处继续向正东方向跑了600m到达，点C 处，此时点D处的学校在他的北偏西63.4°方向上，求点D处的学校和点E处的图书馆之间 的距离（参考数据：sin63.4°≈0.9，cos63.4°≈0.4，tan63.4°≈2.0，√2≈1.4，√5≈1.7，√6≈ 2.4). 北 15/ 63,9 B C (第23题)》拔尖测评 第一章拔尖测评 -、1.D2.B3.A4.A5.A 6.A7.B 8.B解析：如图，过点C作CE⊥ AB,垂足为E.在Rt△BCE中，∠B= 45°，BC=6√6，∴.CE=BC·sin45°= 65×号=65.在R△ACE中， ∠BAC=60,·AC=CE sin 60 65=12.:AD平分∠BAC, 2 ·∠DAB=∠BAC-30 ∴.∠ADC=∠DAB+∠B=75. ,∠ACD=180°-∠BAC-∠B= 75°，∴.∠ADC=∠ACD.∴.AD= AC=12. (第8题) 9.B 10.C解析：过点B作BE⊥PA,交 PA的延长线于点E,过点Q作QD∥ PE,交BE于点D,则∠QDB= ∠AEB=90°.由题意，得AB的坡度 为2，∠BQD=14,PA=6m,QP= 1.5m船是设BE=m,> 0),则AE=2.4xm.,易得四边形 QPED是矩形，.QD=PE=PA+ AE =(6+2.4x)m,DE QP 1.5m.在Rt△QBD中，tan∠BQD QD,BD=QD·tm∠BQD=(6+ BD 2.4x)·tan14°≈0.25(6+2.4x)m BE-BD=DE,.x-0.25(6+ 2.4x)=1.5,解得x=7.5..扶梯的 起点A与顶部之间的距离约为2.4十 7.5=9.9(m). =1.①@12号13是 14.75或25解析：如图，在平面内 作∠B=45°，在∠B的一条边上截取 AB=102,过点A作AD垂直于 ∠B的另一条边于点D.在Rt△ABD 中，AD=AB·sinB=102X号号 10..10<5√5，.满足条件的点C 有两处.以点A为圆心，5√5为半径画 弧，交BD于点C1,C2.在Rt△ABD 中，BD=AB·osB=10反X号 10.在Rt△AC1D中，AD=10,AC1= 5√5，由勾股定理，得C,D= √JAC-AD=5.∴.BC1=BD+ CD=15.·Sag,=2BC· AD=号×15×10=75.同理，可得 C2 D=5,BC2 BD-C2D=5. ·SaAm,=合BC,·AD=2X5X 1 10=25.综上所述，△ABC的面积为 75或25. B C,D C (第14题) 15.(85-5.5)解析：如图，过点B 作BE⊥CA,交CA的延长线于点E, 延长DG交CA的延长线于点H,则 ∠AEB=90°，且易得四边形BEHG 为矩形.∴.GH=BE,BG=EH.由题 意得猥=专小可设E=m (k>0),则AE=3km.在Rt△ABE中， 由勾股定理，得BE2十AE2=AB2, .(4k)2+(3k)2=82.∴.k=1.6. .BE=6.4 m,AE=4.8 m..GH= BE=6.4m..DG=1.6m,BG= EH=0.7m,.DH=DG+GH= 1.6+6.4=8(m),AH=AE+EH= 4.8+0.7=5.5(m).在Rt△CDH 54 中，∠C=∠FDC=30°，DH=8m, ·CH=DH tanC =85m·CA= CH-AH=(85-5.5)m. 307G A EH (第15题) 三、16.在Rt△ABC中，∠C=90°， :amB=么-45-5. a 4 .∠B=60° ∠A+∠B=90°， .∠A=90°-∠B=90°-60°=30， ∴.易得c=2a=2×4=8. .∠B=60°，∠A=30°，c=8. 17.(1)如图，过点B作BH⊥OA,垂 足为H. 在Rt△OHB中， :B0=5m∠0A-号 .BH=3. ∴.OH=√BO2-BH=4. ∴.点B的坐标为(4,3). (2)点A的坐标为(10,0)， ∴.OA=10. 又.OH=4, .AH=6. 在Rt△AHB中， BH=3,AH=6, ∴.AB=35. ·cOs∠BAO=AH-6_25 AB3√5 5 2 R (第17题) 18.如图，延长AG交EF的延长线于 点D,过点G作GM⊥ED于点M. 在Rt△GFM中，∠GFM=30°，GF= 4米， .GM=GF·sin30°=2米，FM= GF·cos30°=2√3米. 易知在Rt△GMD中，GM:MD= 1：2, .DM=4米. ∴.ED=EF+FM+MD=6+2√5+ 4=(10+2W3)米. ∴.易得在Rt△AED中，AE= 2ED=210+2w5)=6+5)米. 30h 777777777 E F M DN (第18题) 19.(1).四边形PQMN是矩形， .∠Q=∠P=90° 在Rt△ABQ中，∠ABQ=60°，AB= 5.4m, ·AQ=AB·sin∠ABQ= 27√5 10 m, ∠QAB=30°. 四边形ABCD是矩形， .AD=BC,∠BAD=∠BCD= ∠ABC=∠BCE=90°. .∠CBE=30. CE ∴.在Rt△BCE中，BC= tan∠CBE 85 5 m. ·AD= 8√5 5 m. ∠PAD=180°-30°-90°=60°， .在Rt△APD中，AP=AD· cos∠PAD=4E 5 m. ·PQ=AP+AQ=353 ≈6.1(m). 10 CE ②)在R△BCE中，BE=O形 3.2m, 在Rt△ABQ中，BQ=AB· cos∠ABQ=2.7m. .·该充电站有20个停车位， ∴.QM=BQ+20BE=66.7m. .四边形PQMN是矩形， ,∴.PN=QM=66.7m. 20.由题意，得CG⊥AB,CD=EF= BG=1.7m. 设EG=xm. .CE=DF=5.5 m, .CG=CE+EG=(x+5.5)m. 在Rt△ACG中，∠ACG=16.7, ∴.AG=CG·tan16.7°≈0.3(x+ 5.5)m. 在Rt△AEG中，∠AEG=22°， .AG=EG·tan22°≈0.4xm. .0.4x=0.3(x+5.5),解得x= 16.5. .AG=6.6m. .AB=AG+BG=6.6+1.7= 8.3(m). .'.长城第一墩AB的高度约为8.3m 21.(1)如图，设AB与1交于点O, 过点B作BEI于点E. 在Rt△AOD中， :∠OAD=60°，AD=2km, ..OA= AD 2 c0s60° =4(km). 1 2 .AB=10 km, ∴.OB=AB-OA=6km. 在Rt△BOE中，易知∠OBE=60°， &BE=0B·s60=6X号-3am. ∴.观测点B到航线l的距离为3km. (2)在Rt△AOD中，OD=AD· tan60°=2×√5=2√3(km). 在Rt△BOE中，OE=BE·tan60°= 3XV5=3√3(km). .DE=OD+OE=53 km. 在Rt△CBE中，∠CBE=76°，BE= 3 km, .CE=BE·tan∠CBE≈3X 4.01=12.03(km). ∴.CD=CE-DE=12.03-5√3≈ 3.4(km). .该轮船航行的距离CD约为 3.4km. 北 B 东 D 0 A (第21题) 55 22.如图，过点P作PE⊥BQ于点 E,延长DA交PE于点F. .易得四边形ABEF为矩形 易知∠PQE=∠MPQ=63.6°， ∠PAF=∠NPA=47.3°，∠PDF= ∠NPD=36.7°，AD=BC=16米， EF=AB=10米. 设PF=h米，AF=BE=a米. 在Rt△APF中，PF=AF·tan∠PAF, 即h=a·tan47.3. 在Rt△PDF中，PF=DF·tan∠PDF, 即h=(a+16)·tan36.7°. .a·tan47.3=(a+16)·tan36.7°， 解得a≈36.36. .h=a·tan47.3°≈36.36X1.08= 39.27. ∴.PE=P℉+EF=39.27+10= 49.27(米). PE 在Rt△PEQ中，QE= tan∠PQE tamn63.6≈24.51（米. 49.27 .QC=QE+BE+BC=24.51+ 36.36+16≈76.9（米）. '.该河段的宽Q℃约为76.9米 M)N 义47.3 A 0 (第22题) 23.如图，过点D作DM⊥AC于点 M,过点B作BN⊥AE于点N. 设MD=xm. 由题意，易得∠MAD=90°-45°= 45°，∠MDC=63.4°，∠EBC=90° 15°=75°，AB=BC=600m ∴.易得△ADM是等腰直角三角形. .AM MD z m,AD DM sin∠MAD =√2.xm. 在Rt△MCD中，∠MDC=63.4°， ,'.MC=MD·tan∠MDC≈2MD= 2x m. .·AM+MC=AC, .x+2x=600十600，解得x=400. .MD=400m,AD=400W2m. ,∠EAB=45°，∠EBC=75, ∴.∠E=∠EBC-∠EAB=30° 在Rt△ABN中，∠NAB=45°，AB= 600m, ∴.易得BN=AN=300√2m. ∴.DN=AD-AN=400√2- 3002=100√2(m) 在Rt△NBE中，∠E=30°， NE=BN_3002 tan E =3006(m). 3 ∴.DE=NE-DN=3006- 100√2≈580(m). .点D处的学校和点E处的图书馆 之间的距离约是580m. 北 东 D 45 、15 63.4 (第23题) 第二章拔尖测评 -、1.C2.C3.C4.D 5.D解析：根据题图，可知抛物线 y2的顶点坐标为(0，一1)，且过点(1， 0).设y2=a.x2-1.将(1,0)代人，得 0=a-1,解得a=1.∴.y2=x2-1. ∴.抛物线y2对应的函数表达式的二 次项系数为1.同理，可得抛物线y 对应的函数表达式的二次项系数也为 1.易知二次项系数的绝对值越大，抛 物线开口越小，二次项系数的绝对值 越小，抛物线开口越大..结合题图， 可得抛物线y,对应的函数表达式的 二次项系数小于1，抛物线y4对应的 函数表达式的二次项系数大于1. 6.D7.B8.D 9.C解析：对于①，根据题图，可知 a>0,c<0.抛物线的对称轴是直 线x=1一会=1，即6=-2a a>0,.b<0.∴.abc>0.故①错 误.对于②，，抛物线与x轴的一个 交点位于点（一1,0）和点(0,0)之间， 对称轴为直线x=1,∴.另一个交点 位于点(2,0)和点(3,0)之间，即关于 x的方程a.x2+b.x十c=0(a≠0)必有 一个根大于2且小于3.故②正确.对 于③，，a>0,抛物线的对称轴是直 线x=1,0-1>号-1，.易得 y1>y2.故③错误.对于④，b= -2a,∴.y=a.x2-2a.x+c.当x= -1时，y=a+2a+c=3a+c>0, .6a+2c>0..a>0,,.11a+ 2c>0.故④正确.对于⑤，由题图，知 当x=1时，y=ax2+bx十c有最小 值，最小值为a十b十c.∴.对于任意实 数m,都有am2+bm十c≥a十b十c. ∴.m(am十b)≥a十b.故⑤正确.综上 所述，正确的结论有②④⑤，共3个. 10.D解析：当点P在AB上（不含 点B)运动时，0≤x<4.,PH⊥AD, ∴.∠AHP=90°.由题意，得AP=x. :∠BAD=30°，.在Rt△AHP中， √3 AH=AP·cOS∠BAD= 2, 1 PH=AP·sin∠BAD=2x. y=名AH·PH=得.当 0≤x<4时，函数为二次函数.当点P 在BC上（不含点C)运动时，4≤x< 10.如图，过点B作BH'⊥AD于点 H'.易得BH'=AB·sin∠BAH'= 2,AH′=AB·cos∠BAH'=23. :PH⊥AD,AD∥BC,∴.易得四边 形BPHH'为矩形..HH'=BP= x-4,PH =BH'=2..AH= AH′+HH′=25+x-4.∴.y= 2AH·PH=合(25+x-4X 2=x+2W3一4.∴.当4x<10时， 56 函数为一次函数.当点P在CD上运 动时，10x12.由题意，易得AD= 23+6,CD=2,.DP=12-x. 六.y=2AD·DP=2X(25+ 6)×(12-x)=-(3+5)x+36+ 12√5.∴.当10≤x≤12时，函数为一 次函数.故选项D的函数图象符合 题意 A H'H D (第10题) 二、11.y=-4(x+2)2-112.8 13y令解析：如图，过点A作 AD⊥y轴于点D,过点B作BE⊥ y轴于点E,AD∥BE.∴.易得 △ADCn△BBC.·AC-P BC CE 能，：BC=3AC,·CE=3CD BE=3AD.设AD=m,则BE=3m. A,B两点在二次函数y=x2的图 象上，∴.A(-m,m2),B(3m,9m2). ∴.OD=m2,OE=9m2.∴.ED= 8m2.CE=3CD,.CD =2m2. .OC=3m2..点C的坐标为(0， 3m2).P为BC的中点，∴.点P的 坐标为（号m,6m人又：P(,y .易得y= 8 B C 01 (第13题) 14.①③④解析：将(-4,0)，(0， -4),(2,6)代入y=a.x2+bx+c,得 16a-4b+c=0, fa=1, c=一4， 解得b=3,∴.抛 4a+2b+c=6, c=-4. 物线对应的函数表达式为y=x2十 3x一4.∴.a=1>0.故①正确.抛