考向4 二次函数与几何图形综合题&考向5 圆的综合证明与探究题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

拔尖特训·数学（北师版）九年级下 考向四 二次函数与几何图形综合题 ，。“答案与解析”见P51 1.(2024·内蒙古)如图，在平面直角坐标系中，2.如图，抛物线y=x2+bx十c经过，点 二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的图象经过 A(一1，一1)和点B(3,3),P是线段 原点和点A(4,0).经过点A的直线与该二 AB上一动点（不与点A,B重合）， 次函数图象交于点B(1,3),与y轴交于 直线1是抛物线的对称轴，设点P的横坐标 点C. 为m. (1)求二次函数的表达式及点C的坐标， (1)求抛物线对应的函数表达式及直线AB (2)P是二次函数图象上的一个动点，当点 对应的函数表达式 P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴 (2)当点P在直线！右侧的线段部分上运动 于点E,与直线AB交于点D,设点P的横坐 时，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q, 标为m. 分别过点P,Q作直线L的垂线，垂足分别为 ①当m为何值时，线段PD的长度最大？求 C,D,求四边形PCDQ周长的最大值 出最大值 (3)若E是抛物线上一点，平面内是否存在 ②是否存在点P,使得△BPD与△AOC相 点F,使得以A,E,F,P为顶点的四边形是 似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在， 正方形？若存在，请直接写出所有满足条件 请说明理由， 的点F的坐标；若不存在，请说明理由， (第1题) (第2题) 90 期末压轴题特训 考向五圆的综合证明与探究题 ，“答案与解析”见P52 1.(2025·宜宾)如图，AE是⊙O的直径，D是 (1)请用无刻度的直尺和圆规作出图②中水 ⊙O上一点.过点D作直线DB与AE的延 滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接 长线交于点B.过点A作AC⊥BD,交BD 触角（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）. 的延长线于点C,连接AD,DE,且∠AED= (2)材料的疏水性随着接触角的变大而 ∠ADC. (填“变强”“不变”或“变弱”) (1)求证：直线BC是⊙O的切线 (3)如图③，在实践中，可以通过测量水滴经 (2)若AE=10,tan∠CAD=,求DE与 3 过球心的高度BC和底面圆的半径AC(BC⊥ AC),求出∠BAC的度数，进而求出接触角 BD的长， ∠CAD的度数.请探索∠CAD与∠BAC之 (3)在(2)的条件下，F为AE上的一动点， 间的数量关系，并说明理由 且点F在直线AB上方，连接AF,DF,EF. (4)材料的疏水性除了用接触角以及图③中 当四边形ADEF的面积最大时，求DF的长， 与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量 来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏 水性随着此量的变化而如何变化， 空气（气相） ·气液界线 (第1题) P →水滴（液相） 固液界线 MN材料（固相） ① ② (第2题) 2.(2025·扬州)扬州宝应是荷藕之乡.“微风忽 起吹莲叶，青玉盘中泻水银.”莲叶上的水滴 来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具 有较强的疏水性 疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质. 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描 述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的 一部分，经过球心的纵截面如图①所示，接触 角是过固、液、气三相接触点（点M或点N) 所作的气液界线的切线与固液界线的夹角， 图①中的∠PMN就是水滴的一个接触角. 91 拔尖特训·数学（北师版）九年级下 3.(2025·云南)如图，⊙O是五边形 4.(2025·凉山)如图①，AB是⊙O的 ABCDE的外接圆，BD是⊙O的直 直径，PA与⊙O相切于点A,连接 径，连接AC,BE,CE,∠AEC= PB交⊙O于点C,连接AC,则 ∠ACF ∠PAC=∠B.理由如下：，AB是⊙O的直 (1)若CE=CB,且∠CBE=60°，求∠BCE 径，∴.∠ACB=90°.∴.∠CAB+∠B=90°. 的度数 .PA与⊙O相切于点A,.PA⊥AB. (2)求证：直线CF是⊙O的切线. ∴.∠PAB=90°.∴.∠CAB+∠PAC=90° (3)已知AC平分∠BAE,是否存在常数a, ∴.∠PAC=∠B. b,使等式AC2=aBC·CE+bAB·AE成 (1)如图②，当AB是非直径的弦，其他条件 立？若存在，请求出a,b的值；若不存在，请 不变时，求证：∠PAC=∠B. 说明理由、 (2)如图②，在(1)的条件下，线段PA与线 段PB,PC存在如下关系：PA=PB·PC. 请证明 (3)如图③，△ABC是⊙O的内接三角形， ∠BAC=45°，∠AOB=150°，BC的延长线 (第3题) 与过点A的切线相交于点P,连接OC.若 ⊙O的半径为1，求PC的长， 0 ① ② ③ (第4题) 92M(号，) :点M(受，盟)恰好落在L:上，： 经过点c(日2小， 2=a(分-3)°+d, 解得a= 盟-a(层)+d ②：直线AE:y=kx十n(k>0)交 L1于点E,A(0,3), .n=3. .直线AE对应的函数表达式为y= kx+3. :y=a(x-3)2十d(a<0)经过点 c2, ·2 4a+d. d=2-25 4. 六y=a(x-3)2+2-25 =ar?- 1 y=ax2-6ax+ 联立 4a+2, y=k.x+3. 消去y并整理，得a.x2-(6a十k)x十 11a-1=0. 4 ·x,+x2=6a+k :M为直线AE与L2的唯一公共点， ∴.xw=x1=x2: M(法，。+ ,点M的横坐标是点E横坐标的 一半， :E(a+,a++3）. 将E(。,+)代人y a -x2+6x十3，得6ak+5+3= (6a+k)2 +6×6a+k+30. a2 ,M为直线AE与L2的唯一公 共点， ∴.△=(k+6a)2-4×a× (H-1）=@. a=-1, 联立①②，可解得{ k=6一15 a=-1, k=6+√15. 当k=6十√⑤时，唯一公共点不在第 一象限，不符合题意， '.k=6-√15】 考向四二次函数与几何 图形综合题 1.(1),二次函数的图象经过点 O(0,0),A(4,0),B(1,3), 0=c, a=-1, ∴.0=16a+4b+c,解得b=4, 3=a+b+c, 1c=0. ∴.二次函数的表达式为y=一x2十4x. 设直线AB对应的函数表达式为y= kx十n. .将A(4,0),B(1,3)代人，得 0=4k十n, k=-1, 解得{ 3=k十1， n=4. ∴.直线AB对应的函数表达式为 y=-x+4. 在y=一x十4中，令x=0,则y=4, .C(0,4). (2)①点P在直线AB上方， '.1<m<4. 由题意知，P(m,一m2十4m),D(m, -m+4). ∴.PD=-m2+4m十m-4=-m2+ 5m-4-(m-)+是 9 -1<0, 5 ·当m=时，PD的长度取得最大 9 值，为4 51 ②存在 易知∠BDP=∠ADE,∠ADE= ∠AC0=45°， ∴.∠BDP=∠ACO=45. ,△AOC是直角三角形， ∴.要使△BPD与△AOC相似，要保 证△BPD是直角三角形. (I)当△BPD∽△AOC时， :∠AOC=90, '.∠BPD=90° 此时BP∥x轴，点B,P关于二次函 数图象的对称轴对称， .P(3,3) (Ⅱ)当△PBD∽△AOC时， :∠AOC=90, '.∠PBD=90° .AB⊥PB 过点B作BF⊥PD于点F,则易得 BF=m-1,且BF=2PD, ：.m-1=2(一m2+5m-4),解得 m=2或m=1(不合题意，舍去). 当m=2时，-m2+4m=4, .P(2,4). 综上所述，存在点P,使得△BPD与 △AOC相似，此时点P的坐标为(3， 3)或(2,4). 2.(1)将A(一1，一1)，B(3,3)代人 1-b+c=-1, y=x2+bx+c,得 解 9+3b+c=3, b=-1, 得 c=-3, .抛物线对应的函数表达式为y x2-x-3. 设直线AB对应的函数表达式为y= kx+n. 将A(-1,-1),B(3,3)代人，得 -k十n=-1, k=1, 解得{ 3k十n=3, n=0, ∴.直线AB对应的函数表达式为 y=t. (2):y=x2-x-3=(x-号) 13 4 :抛物线的对称轴为直线，一号 ”点P的横坐标为m(2<m<3, ,.点P的坐标为(m,m),点Q的坐 标为(m,m2-m-3). ∴.易得CD=PQ=m-m2十m+3= -m2+2m+3,PC=QD=m-2 ∴.四边形PCDQ的周长为2(-m+ 2m+3+m- 1 =-2m2+6m+5. -2<0, 6 .当m= 2×(-2) 时，四边 形PCDQ的周长取得最大值，最大值 为-2×（层）°+6x是+5=号 (3)存在 当四边形AEPF为正方形时， 点A,B的坐标分别为（一1，一1）， (3,3), .易得∠BAE=45°」 易得点E与点A关于直线x=2 对称. .E(2,-1). .P(2,2) ∴易得点F的坐标为(-1,2). 当四边形APFE为正方形时，连接 AF,PE,且设AF,PE的交点为G ,∠PAG=45,∠PAE=90, .易得PE∥y轴. .点P的坐标为(m,m),点E的坐 标为(m,m2-m-3). ..PG=m+1,GE=-1-m2+m+ 3=-m2+m+2. PG=GE, ∴.m+1=-m2+m+2,即m2=1. .m=1. '.点P的坐标为(1,1)，点G的坐标 为(1，-1) ∴点F的坐标为(3，一1) 当四边形APEF为正方形时，易知，点 E与点A(-1,-1)关于直线x=2 对称， “易得点F的坐标为（合，吾） 综上所述，平面内存在点F,使得以A, E,F,P为顶点的四边形是正方形，满 足条件的点下的坐标为（分，一）或 (3,-1)或(-1,2). 考向五圆的综合证明 与探究题 1.(1)如图，连接OD. .OD=OE, .∠ODE=∠OED ∠AED=∠ADC, ∴.∠ODE=∠ADC. .:AE是⊙O的直径 .∠ADE=90° '.∠ODC=∠ADC+∠ODA ∠ODE+∠ODA=∠ADE=90°. ..OD⊥BC. OD是⊙O的半径， ∴.直线BC是⊙O的切线. (2).∠C=∠ADE=90°，∠ADC ∠AED, ∴.∠CAD=∠DAE. ∴.tan∠CAD=tan∠DAE= 3 4 隔是即AD专DE AD2+DE=AE2,AE=10, .DE=6,AD=8. .易得∠BDE=∠CAD,∠CAD ∠DAE ∴.∠BDE=∠DAE. ∠B=∠B, .'.△BDEc∽△BAD 、BEDE3 ·BDAD4 52 R子D :0D=0E=2AE=5, ∴OB=OE+BE=5+BD. ·OD2+BD2=OB2, 5+BD=(6+BD) BD (3)如图，过点E作EH⊥FD于点 H,过点A作AG⊥DF于点G,则 ∠DHE=∠AGD=90°. 当四边形ADEF的面积最大时， :△AED的面积一定， ∴.△AEF的面积最大 点F到AE的距离最大，则F是 AE的中点. .AF=EF. ∴.易得AF=EF=5V2. :AE是⊙O的直径， ∴.∠AFE=90° 1 ·∠AEF=∠EAF=2(180°- ∠AFE)=45. ∴.∠EDF=∠EAF=∠ADG= ∠AEF=45. ∴△AGD,△DEH为等腰直角三 角形 :AD=8,DE=6, ∴.AG=DG=4√2，DH=HE= 3V2」 :SI边抚Ar=SAAR十SAAF S△ADF十S△F, 1 2×6×8+ 2×5E×52= 合Dp·(AG+EH.即合Dr: (4W2+3V2)=49. .DF=72. A D (第1题) 2.(1)如图所示. ①圆弧上取一点C,材料与圆弧的交 点为M,N,连接MC,NC. ②分别作线段MC,VC的垂直平分 线，交于点O,则点O为圆弧所在圆 的圆心 ③连接OM,过点M作PM⊥OM,则 PM为MN所在圆的切线，∠PMN 即为所求， (2)变强， (3)∠CAD=2∠BAC. 理由：连接OA .OA=OB, ∴.∠ABC=∠OAB. ,AD为AB所在圆的切线， .OA⊥AD ∴.∠OAB+∠BAD=90. ,BC⊥AC, ∴.∠ABC+∠BAC=90. .'.∠BAD=∠BAC .∠CAD=∠BAD+∠BAC= 2∠BAC. (4)答案不唯一，如水滴纵截面弧 的长度1=需 r180u. 六可以根据的大小，进行判断，子 越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强」 P (第2题) 3.(1),CE=CB,且∠CBE=60°， ∴.△CBE是等边三角形 .∠BCE=60° (2)如图，连接C0并延长，交⊙O于 点M,连接EM. CM是⊙O的直径， .∠CEM=90 ∴.∠AEC+∠AEM=90°. ,'∠AEM=∠ACM,∠AEC=∠ACF, .∴.∠MCF=∠ACF+∠ACM=90° .OC⊥CF OC是⊙O的半径， '.直线CF是⊙O的切线 (3)存在. 如图，设AC与BE交于点N. .·AC平分∠BAE, ∴.∠EAC=∠BAC ∴.∠EAC=∠EBC=∠BAC=∠BEC. .'CE=CB .∠BCN=∠ACB,∠CBE=∠CAB, .'.△BCNc△ACB. BC CN ·.AC-CB1 .BC2=AC·CN①. ,∠AEN=∠ACB,∠EAC=∠CAB, ∴.△AEN∽△ACB. AF_AN AC AB ∴.AE·AB=AC·AN②. ①+②，得BC2+AE·AB=AC· CN+AC·AN=AC(CN+AN)= AC」 .CE=CB, ∴.AC2=BC·CE+AB·AE ∴.a=1,b=1. (第3题) 4.(1)如图，连接OA,OC. ,PA与⊙O相切于点A, ∴.PA⊥OA ∴.∠PAO=90°. '.∠OAC+∠PAC=90. .'.2∠OAC+2∠PAC=180° .OA=OC ∴.∠OAC=∠OCA. ,∠AOC+∠OAC+∠OCA=180°， ∴.∠AOC+2∠OAC=180°. ∴.∠AOC=2∠PAC. :∠AOC=2∠B, '.∠PAC=∠B. 53 (2)由(1)，可得∠PAC=∠B, ∠P=∠P, .△PAC∽△PBA. .PB-PA PA PC ∴.PA2=PB·PC (3)∠BAC=45, ∴.∠BOC=2∠BAC=90°. ⊙0的半径为1， .OA=OB=OC=1. 在Rt△BOC中，由勾股定理，得 BC=√OC2+OB2=√2】 ∠AOB=150°， ∴.∠AOC=∠AOB-∠BOC=60°. 又.OA=OC, ∴.△OAC是等边三角形 .AC=OA=1,∠OAC=60° :BC的延长线与过点A的切线相 交于点P, ∴.PA⊥OA,即∠PAO=90° ..∠PAC=30° ∴.∠PAB=∠PAC+∠BAC= 30°+45°=75 1 :∠ABC=2∠A0C=30, ∴.∠P=180°-∠ABP-∠PAB= 75. .∠ACP=180°-∠P-∠PAC= 75° .∠P=∠ACP '.AP=AC=1. 设PC=x,则PB=PC+BC= x+2. 由(2)，可得PA=PB·PC, ∴.1=(x十√2)x,解得x= +6或x=,压（不合题 2 2 意，舍去) ·PC=2+6 (第4题)