第三章 圆 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

拔尖特训·数学（北师版）九年级下 第三章整合拔尖 》“答案与解析”见P43 知识体系构建 圆的相关概念 圆 圆心。确定圆的位置 半径。确定圆的大小 弧。包括优弧、劣弧、半圆 弦。直径是最长的弦 圆心角、圆周角 圆的基本性质 圆的对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线 和定理 圆是中心对称图形，对称中心为圆心 圆心角、弧、 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 弦的关系 定理所对的弦相等 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 圆 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量都分别相等 垂径定理 推论 及其推论 定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 圆周角定理 推论。平分弦（不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 及其推论 定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 推论1，同弧或等弧所对的圆周角相等 直径所对的圆周角是直角：90°的圆周角所对的弦 推论2是直径 推论3。圆内接四边形的对角互补 与圆有关的 确定圆的条件。 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 位置关系 点和圆的位置关系 点在圆外←→d>r 点在圆上←→d=r 直线和圆的 点在圆内←→d<r 位置关系 位置关系 相交←→d<r 相切←→d=r 相离←台d>r 切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径 过半径外端且垂直于这条半径 切线的判定定理 的直线是圆的切线 切线长定理过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等 80 第三章圆 圆内接正 相关概念。正多边形的中心、半径、中心角、边心距 多边形 用尺规作图法作圆的某些内接正多边形 圆 l=nπR 弧长公式 180 S-mR=1IR 扇形面积公式 360-2 S)高频考点突破 考点一圆的性质 考点二与圆有关的位置关系 典例1*如图，以△ABC的边AC为直径作 典例2(2025·南充)如图，在Rt△ABC中， ⊙O,交边BC于点D,过点C作CE∥AB,交 ∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,以CD为直径 ⊙O于点E,连接AD,DE,∠B=∠ADE 的⊙O交BC于点E,交AC于点F,M为线段 (1)求证：AC=BC. DB上一点，连接OM,ME,ME=MD. (2)若tanB=2,CD=3,求AB和DE的长， (1)求证：ME是⊙O的切线. (2)若CF=3,sinB-,求OM的长. (典例1图) D (典例2图) 变式](2025·咸阳秦都模拟)如图，圆内接四 [变式]如图，AD是⊙O的直径，P是⊙O外一 边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,BD平 点，连接PO交⊙O于点C,作PB,PD分别切 分∠ABC,∠BAC=∠ADB, ⊙O于点B,D,连接AB,AC,PA. (1)求证：BD为圆的直径 (1)求证：ABOP. (2)过点C作CF∥AD,交AB的延长线于点F. (2)若PA=4√2，tan∠BAD=2,求AB的长， 若AC=AD,BF=2,求圆的半径 81 拔尖特训·数学（北师版）九年级下 考点三与圆有关的计算 提示 将不规则图形的面积问题转化为规则图形的面 典例3如图，正方形ABCD的边长为1，AC和 积的和差问题来解决，注意这里需整体求解。 BD都是以1为半径的圆弧，两个涂色部分的面 积分别记为S1和S2,则S2一S1的值为( [变式]如图，在□ABCD中，以点A为圆心， AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C,交 AD于点E,延长BA与⊙A相交于点F.若EF 的长为，则图中阴影部分的面积为 (典例3图) A1 B1-牙 c D1-8 综合素能提升 1.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长 3.(2025·南充)如图，AB是⊙O的直径， 都为1，点A,B,C都在格点上，∠BAD= AD⊥AB于点A,OD交⊙O于点C,AE⊥1 30°，则AD的长为 OD于点E,交⊙O于点F,F为BC的中点， CD=4.若P为线段AB上一动点，则PE十 PF的最小值是 () (第1题) 2w3 3π 8 3 0 (第3题) C.2π 6π A.4 B.2√7C.6 D.4√3 2.如图，PA,PB分别切⊙O于A,B两点，CD 4.如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在AmB 切⊙O于点E,交PA,PB于点C,D.若⊙O 上，点D在AB上.若∠ACB=70°，则 的半径为r,△PCD的周长为3r,则 ∠ADB= tan∠APB的值是 0 D (第4题) (第5题) (第2题) 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90 A 号 AC=8,BC=4,分别以AC,BC为 直径画半圆，则图中涂色部分的面 C. D导E 积为 (结果保留π)、 82 第三章圆 6.(2025·北京)如图，过点P作⊙O的两条切8.(2024·烟台)如图，AB是⊙O的直 线，切点分别为A,B,连接OA,OB,OP,取 径，△ABC内接于⊙O,点I为△ABC OP的中点C,连接AC并延长，交⊙O于点 的内心，连接CI并延长，交⊙O于 D,连接BD. 点D,E是BC上任意一点，连接AD,BD, (1)求证：∠ADB=∠AOP. BE,CE. (2)延长OP,交DB的延长线于点E.若 (1)若∠ABC=25°，求∠CEB的度数 AP=10,an∠A0P-号求DE的长 (2)找出图中所有与DI相等的线段，并 证明. ③若C1=2E.D1-2求△4Bc的 周长 (第6题) (第8题) 7.(2024·枣庄)如图，在四边形ABCD中， AD∥BC,∠DAB=60°，AB=BC=2AD= 2.以点A为圆心，AD为半径作DE,交AB 于点E,以点B为圆心，BE为半径作EF,交 BC于点F,连接FD交EF于另一点G,连 接CG (1)求证：CG为EF所在圆的切线， (2)求图中涂色部分的面积（结果保留π）. (第7题) 83tan30=23,AC=2BC=4.由旋转 2 的性质，得AB'=AB=2√3，B'C' BC=2,∠BAB'=∠CAC'=90, .∠DAB'=90°-∠BAC=60°. ∴.图中涂色部分的面积=S扇CAC一 S扇无nAB'一S△ABC= 90π×42 360 60x×23)2-1X25×2=4 360 2 2π-23=2π-2W3 3.否解析：在R△ABC中， ,∠ACB=90°，AC=BC=2,∴.由 勾股定理，得AB=√AC+BC= 2√2.，Rt△ABC绕点A按逆时针 方向旋转30°后得到Rt△ADE, ∴.∠DAB=30°，Rt△ABC≌ Rt△ADE..S△AMx=S△..S涂色= S△ADE十S扇无BAD一S△A=S南形AD= 30元×22-2红 360 3 4 ·解析：在Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=3,BC=4, ∴.AB=√AC+BC2=W3+4 5.设AD=BE=x,则A'D=x, DE=5一2x.,把△ABC绕边AB 上的点D按逆时针方向旋转90得到 △A'B'C',.∠A'=∠A,∠A'DE= ∠ACB=90°..△A'DEC△ACB. 把器即音-产郎得 x=1.5.∴.A'D=1.5,DE=2,DB= 3.5.由旋转的性质，得A'C'=AC=3, B'C'=BC=4,∴.S涂色=S南形邪 (Sac-SaR）=90rX3.5 360 (号×3x4×1x)错号 5.(1)直线AC与⊙O相切. 理由：∠ABC=45°，AB=AC, .∠C=∠ABC=45. .∴.∠BAC=180°-2×45°=90°. .AB⊥AC. AB是⊙O的直径， ∴.直线AC与⊙O相切. (2)连接OD,AD ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90. ∠ABD=45, ∴.易得△ABD是等腰直角三角形， ∠AOD=∠BOD=90°. .AB=4, ..OA=OB=OD=2,AC=4. .涂色部分的面积=S△Ax一S△D S扇形A0D一2 ×4X4-×22 90π×2 =8-2一π=6一π. 360 6.A7.C8.859. 16x-83 10.23x 3 解析：如图，连接EB AD.由题意，易得六边形ABCDEF 是正六边形，∴.AB=BC=CD= DE=EF=AF,EB,AD过圆心O, △EOD和△AOB为等边三角形. ∴.易得弓形EF,AF的面积与弓形 EO,AO的面积相等，弓形CD,BC的 面积与弓形OD,OB的面积相等.设 ⊙0的半径为r,则⊙O的面积= πr2.易得涂色部分的面积=S△0十 S△Ao=2r·r·sim60X2=2r2. ∴.⊙O的面积与涂色部分的面积的 比值为=23x 的 3 2 2 A (第10题) 11.(1)如图，连接OC. :C是AD的中点， .AC=DC ∴.∠ABC=∠EBC. .OB=OC, '.∠ABC=∠OCB. '.∠EBC=∠OCB 43 .'OC//BE ,BE⊥CE .OC⊥CE. OC是⊙O的半径， .CE是⊙O的切线： (2)如图，连接AC. ,AB为⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°」 CE⊥BE, .∠E=90° .∠ACB=∠E=90°. :∠ABC=∠CBE, '.△ACB∽△CEB. “普能即壳货 ∴.BC=23 (3)如图，连接OD,CD. :AB=4, ..OC=OB=2. 在Rt△BCE中，BC=2W3,BE=3, BE 33 、cos∠CBE=B0-252 .∠CBE=30°. ∴.∠ABC=30°，∠COD=60. .∠AOC=60° OC=OD, .△COD是等边三角形 .∠DCO=60. '.∠DCO=∠AOC. '.CD∥AB SACOD=SACBD. ∴.易得S阴影=S扇形oD 60π×22 360 3元 (第11题) 第三章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1(1)：∠ADE=∠ACE, ∠ADE=∠B, '.∠B=∠ACE .CE//AB, .∠BAC=∠ACE. .∠BAC=∠B. .'AC=BC (2)·AC为⊙O的直径， ∴.∠ADB=∠ADC=90° -0-=2,即AD=2BD, :'tan B-BD CD=3, .AC=BC=BD+CD=BD+3. .AD2+CD2=AC2, .(2BD)2+32=(BD+3)2,解得 BD=2或BD=O(不合题意，舍去). ∴.AD=2BD=4,BC=2+3=5. ∴.AB=√AD2+BD=√42+22= 25 连接AE. :∠ADE=∠B,∠AED=∠ACB, ∴.△ADE△ABC. ABBC,即A=DE .AD_DE 25 5 ∴.DE=25 方法归纳 与圆的性质有关的证明技巧 灵活运用圆的性质，可进行 孤、弦、圆心角、圆周角之间的相互 转换，以及等量间的转换，注意弦 所对的圆周角有两种情况.必要时 可添加辅助线，如构造圆心角、圆 周角、垂径、直径等， [变式](1)：∠BAC=∠ADB, ∠BAC=∠CDB, ∴.∠CDB=∠ADB. :BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD. :四边形ABCD是圆内接四边形， .∴.∠ABC+∠ADC=180. '.∠CDB+∠ADB+∠ABD+ ∠CBD=180° .2(∠ADB+∠ABD)=180°，即 ∠ADB+∠ABD=90°. .∴.∠BAD=90° .BD为圆的直径」 (2)·BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD. ∴.AD=CD .AD=CD. .AC=AD, .∴.AC=AD=CD '.△ACD是等边三角形 ∴.∠ADC=60. ∴.∠ABC=180°-∠ADC=180° 60°=120° ∴.∠CBF=180°-∠ABC=180° 120°=60° .CF//AD, ∴.∠BAD+∠F=180°. ∠BAD=90, .∠F=90° .∠BCF=30°. .BC=2BF. BF=2, ..BC=4. ,BD为圆的直径， ∴.∠BCD=90° :∠ADB=∠CDB,∠ADC=60, ∴.∠CDB=30°. ∴.BD=2BC=8. .圆的半径为4 典例2(1)如图，连接OE,DF ,CD为⊙O的直径，点E在⊙O上， .OD=OE=OC. 在△OME和△OMD中， (OE=OD, ME-MD, OM=OM, .'.△OME2△OMD ∴.∠OEM=∠ODM. ,CD⊥AB, .'.∠ODM=90° ∴.∠OEM=90°，即OE⊥ME. OE是⊙O的半径， ∴.ME是⊙O的切线， (2):∠ACB=90°，CD⊥AB, ∴.∠A+∠B=90°，∠A+ ∠DCF=90. ∴.∠B=∠DCF 44 sin B=4 &sm∠F吉 CD为⊙O的直径， ∴.∠DFC=90. DF 在Rt△DCF中，sin∠DCF CD 4 设DF=4x(x>0),则CD=5.x. 由勾股定理，得CF=√CD一DF= /(5.x)2-(4x)2=3.x」 CF=3, ∴.3x=3,解得x=1. ∴.CD=5x=5. 0D=2CD=2.5. 由(1)可知，△OME≌△OMD, ,∴.∠EOM=∠DOM. ,∴.∠DOE=∠EOM+∠DOM= 2∠DOM. .OE=OC, .∠OEC=∠OCE. .'∠DOE=∠OEC+∠OCE= 2∠OCE, ∴.∠DOM=∠OCE. ∴.OMBC. ∴.∠OMD=∠B. sin∠OMD=sinB=4 OD 在Rt△ODM中，sin∠OMD OM ..OM= 25 8 A D M B (典例2图) [变式](1)如图，连接OB. PB,PD分别切⊙O于点B,D, '.∠PBO=∠PDO=90°，PB=PD 又OB=OD,OP=OP, ∴.△OBP≌△ODP. 1 ·∠BOP=∠DOP=2∠BOD. :∠BAD=S∠BOD, ∴.∠BAD=∠DOP. .AB//OP. (2)如图，连接BD. :∠BAD=∠DOP, ∴.tan∠BAD=tan∠DOP=2. :.tan∠DOP=OD P =2,即DP= 2OD. AD=20D, .DP=AD. ∠PDO=90, ∴.∠DPA=∠DAP=45. PA=4V2, ∴.AD=AP·sin∠DPA=4. ,AD是⊙O的直径， .∠ABD=90°. :m∠BAD-器=2， BD .BD=2AB. .AB2+BD2=AD2. ·AB+4AB=16,解得AB=45 5 或AB=-45 5 (不合题意，舍去) ·AB的长为45 5 典例3A [变式]2-解析：连接AC.设 ⊙A的半径为r.⊙A与CD相切 于点C,∴.AC⊥CD..∠ACD= 90°.，四边形ABCD为平行四边形， .AB∥CD,AD∥BC.∴.∠CAF= 90°，∠EAF=∠B,∠CAD=∠ACB. AB=AC,.∠B=∠ACB. ∴.∠EAF=∠CAD=45°.：EF的 长为受50=受解得 180 2.在Rt△ACD中，，∠CAD=45°= ∠D,∴.AC=CD=2.∴.S阴影部分= S△AD一S扇CAE=2 ×2×2 45·π·22 360 =2- [综合素能提升] 1.D 2.B解析：如图，连接OA,OB,OP, 延长BO交射线PA于点F.PA, PB分别切⊙O于A,B两点，CD切 ⊙O于点E,'.∠OAF=∠PBF 90°，CA=CE,DB=DE,PA=PB ,△PCD的周长=PC+CE+ DE+PD=PC+CA+DB+PD- PA+PB=3r,∴PA=PB=号r :'∠OAF=∠PBF,∠AFO=∠BFP, △OAFn△PBR.S-品 r 3 2 2..AF=3BF.在 Rt△FBP中，PF2-PB=BF2, (r+号B)-(侵）=BF ·BF=18, BF r..tam∠APB=PB 1 512 3 5 F 0 D B (第2题) 3.C解析：如图，延长DO交⊙O于 点M,连接PM,OF.AE⊥OD,F 为BC的中点，∴.AC=CF=BF .'.∠AOC=∠COF=∠BOF=60° ,'.∠BOM=∠AOC=60°=∠BOF ∴点F关于AB的对称点为M. ∴.PM=PF..PE+PF=PE+ PM≥EM.当E,P,M三点共线时， PE十PF最小，最小值为EM的长. ∠AOC=60°，AD⊥AB,.∠D= 45 30°..OD=2OA..CD=4, ∴.OD=0C+4=20A=20C,即 OC=4..OC=OA=OB=OM= OF=4..·AF⊥O℃，∠AO℃=60°， ·∠0AE=30.0E=20A=2. .PE+PF的最小值为EM=OE+ 0M=2+4=6. D (第3题) 4.1109 5.10x一16解析：如图，设各个部分 的面积分别为S1,S2,S3,S4,S :两个半圆的面积之和是S,+S十 S4+S2+S3十S4,△ABC的面积是 S3十S4十S,涂色部分的面积是 S1十S2十S4,∴.图中涂色部分的面 积为两个半圆的面积减去△ABC的 面积.∴图中涂色部分的面积为 2x×(受)+3x×(号)°-2× 4×8=10x-16. (第5题) 6.(1).AP,BP分别切⊙O于点 A,B, '.OP平分∠AOB. ∠AOP=∠A0B. 又：AB=AB, &∠ADB=∠AOB, ∴.∠ADB=∠AOP (2)如图，延长AO交⊙O于点F,连 接DF,则∠ADF=90° AP,BP分别切⊙O于点A,B, '.PA⊥OA. .C为OP的中点， :AC-0c-20P 又：AP=10,tan∠AOP=】, 21 ∴.AO= AP tan∠AOP =20. ∴.OP=√AO2+APz=105. .AC-0C=OP-5/5.AF- 2A0=40. .AC=OC, .'.∠CAO=∠AOC. 又.∠PAO=∠ADF=90°， .△PAO△FDA. PO AO FA DA .DA=16√5. .CD=DA-AC=115. .'∠AOP=∠ADB,∠ACO=∠ECD, .△ACO∽△ECD 品品 ·DE=115 ×20=44. 55 (第6题) 7.(1)如图，连接BG. 根据题意，可知AD=AE,BE=BF. 又AB=BC, .∴.CF=AE=AD. .BC=2AD, .BF=BE=AD=AE=CF. AD∥BC, .四边形ABFD是平行四边形 ..∠BFD=∠DAB=60°. .BG=BF, ∴.△BFG是等边三角形 .GF=BF. .GF=BF=FC. .易得∠BGC=90. ∴.BG⊥CG. BG为EF所在圆的半径， .CG为EF所在圆的切线. (2)如图，过点D作DH⊥AB于 点H S涂色=SDAD一S扇无AD一S扇无BG S△FG· 在Rt△AHD中，AD=1,∠DAB= 60°， ∴.DH=AD·sin∠DAB=1X 5_ 2 2 .SOARFD=AB·DH=2X 3-3. 由题意，易知扇形AED和扇形BEG 全等 ·S扇形ABm=S扇无GE= 60×π×12 360 6 :△BFG的面积为GF·DH= 之X1x5 1 24 ∴.S涂色=S口AFD S扇形AD S前形Rc一S△RG=√3一 535元 4 4 3 B H E (第7题) 8.(1),AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=∠ACB=90. ∠ABC=25, .∠CAB=90°-25=65. ,四边形ABEC是⊙O的内接四 边形， ∴.∠CEB+∠CAB=180°. .∠CEB=180°-∠CAB=115. (2)DI=AD=BD 如图，连接AI. 点I为△ABC的内心， ∴.∠CAI=∠BAI,∠ACI= ∠BCI=3∠ACB=45 ∴.AD=BD. 46 '.∠DAB=∠DCB=∠ACI, AD-BD :∠DAI=∠DAB+∠BAI, ∠DIA=∠ACI+∠CAI, .∠DAI=∠DIA. .DI=AD=BD. (3)如图，过点I分别作IQ⊥AB, IF⊥AC,IP⊥BC,垂足分别为Q, F,P. 点I为△ABC的内心， ∴Q,F,P分别为△ABC的内切圆 与△ABC三边的切，点. .'AQ=AF,CF=CP,BQ=BP. .·CI=2√2，∠IF℃=90°，∠ACI= 45, '.CF=CI·cos45°=2=CP DI=AD=BD=13 ,∠ADB= 2 90°， ∴.AB=√AD+BD=13. .△ABC的周长为AB+AC+ BC=AB+AF+CF+CP+BP= AB+AQ+BQ+2CF=2AB+ 2CF=2×13+2×2=30. D (第8题) 期末压轴题特训 考向一三角函数的 实际应用题 1.(1)如图，过点A作AE⊥CD于 点E,过点B作BF⊥CD于点F. ∴.∠AED=∠BFC=90 由题意，得∠DAE=30°， .在Rt△ADE中，AE=AD· cos∠DAE=20·cos30°=10W5(千 米)，DE=AD·sim∠DAE=20· sin30°=10（千米）.