第一章 直角三角形的边角关系 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

拔尖特训·数学（北师版）九年级下 第一章整合拔尖 ●“答案与解析”见P9 知识体系构建 定义 正切在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ∠A的对边 ∠A的邻边 -a(tanA>0) b 锐角三角函数 ∠A的对边 正弦 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= 斜边 =4(0<sinA<1) 余弦 ∠A的邻边 在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= 斜边 =b(0<cosA<1) 直角三角形的边角关系 计算由定义求三角函数值 由角的度数求 三角函数值 与特殊角的三角函数值有关的计算先代入，再求值 求一般锐角的三角函数值。利用计算器求解 由三角函数值求角的度数 根据特殊角的三角函数值求特殊角的度数 利用计算器求一般锐角的度数 解直角三角形 概念。由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程 依据（在Rt△ABC中， ∠C=90°，∠A,∠B, ∠C的对边分别为a, b,c) 三边之间的关系a+b=c2(勾股定理) 两锐角之间的关系∠A十∠B=90° sinA=只，sinB=名，cmsA=名， 边角之间的关系csB=名，anA=分，anB=名 基本类型 已知斜边和一直角边 已知两直角边 已知斜边和一锐角 已知一直角边和一锐角 简单应用 解与仰角、俯角有关的实际问题 解与方向角有关的实际问题 解与坡角、坡度有关的实际问题 解与生活有关的其他实际问题 20 第一章直角三角形的边角关系 9)高频考点突破 考点一锐角三角函数的概念 提示 (1)过点C作CE⊥AB于点E,在Rt△ACE 典例1 P 如图，∠A为锐角，sinA= 求osA, 中求AE的长，在Rt△BCE中求BE的长，由此即可 得出AB的长；(2)过点D作DF⊥BC于点F,在 tanA的值. Rt△CDF中，根据余弦函数的定义，即可得出 cos∠BCD的值. (典例1图) [变式]在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2,AC 1,则血》-停是香正确？知果不正确，清说明 理由. [变式]如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C 45°，∠ADB=∠ABC=105°. (1)若AD=2,求AB的长， (2)若AB+CD=2√3+2，求AB的长. 考点二与锐角三角函数有关的计算 典例2(2025·北京海淀期中)如图，CD是 △ABC的中线，∠B是锐角，simB= 2,tanA= 2AC=而.求： (1)AB的长. (2)cos∠BCD的值. D (典例2图) 2 拔尖特训·数学（北师版）九年级下 考点三锐角三角函数的实际应用 [变式]如图，某物业楼上竖立的一块广告牌CD 典例3(2025·陕西)小涵和小宇想测量公园 高为3m,小亮和小伟要测量广告牌底部点D 山坡上一个信号杆的高度.在征得家长同意后，他 到水平地面的距离DH的长，小亮在水平地面 们带着测量仪器前往测量.测量示意图如图所示， 上的点A处放置测角仪，测得广告牌底部点D 他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE,测 的仰角为22°，小伟在水平地面上的点B处放置 得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的 测角仪，测得广告牌顶部点C的仰角为45°，两 夹角3为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之 人合作测得测角仪的高度AE=BF=1.2m,点 间的距离DB为22m.已知DE=1.7m,点A, A和，点B之间的距离AB=9m.请根据以上信 B,C在同一条直线上，AB,DE均与水平线FC 息，求广告牌底部点D到水平地面的距离DH 垂直.求信号杆的高AB(参考数据：sin72.5°≈ (参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93， 0.95,c0s72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17). tan22°≈0.40). C D B 22· F345 E B F (典例3图) 综合素能提升 1.如图，某梯子长15米，斜靠在竖直的墙面上，2.(2025·自贡)如图，在平面直角坐标系中，将 当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端 △ABO平移，得到△EFG,点E,F在坐标轴 靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的 上.若∠A=90°，tanB= 点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子 A(-4.3.则点 G的坐标为 与地面所成角为B.若cosa=sinB= ,则梯 4 子顶端上升了 (第2题) (第1题) A.(11,-4) B.(10,-3) A.1米B.2米C.3米 D.4米 C.(12,-3) D.(9,-4) 22 第一章直角三角形的边角关系 3.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格 为锐角)时，求可伸缩支撑杆CD的长度. 中，点A,B,C,D都在网格的格点上，AB, CD相交于点O,则cos∠BOD的值为( D (第3题) A 5 D.2 4.如图，△ABC的顶点B,C的坐标分别是(1， 0),(0,√3)，且∠ABC=90°，∠BAC=30°，则 7.(2025·泸州)如图，在水平地面上 顶点A的坐标是 有两座建筑物AD,BC,其中BC= 18m.从A,B两点之间的点E处 (点A,E,B在同一水平线上)测得点D和 点C的仰角分别为75°，30°，从点C处测得点 (第4题)》 (第5题) 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=7, D的仰角为30°.求： amB=手，将△ABC沿BC方向平移得到 (1)∠CDE的度数， (2)建筑物AD的高度. △A'B'C'.若AB'平分∠BAC,则B'C的长 为 307C 6.(2024·苏州)如图①所示为某种可 46750 调节支撑架的平面示意图，BC为水 E 平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC,活 (第7题) 动杆AD可绕点A旋转，CD为可伸缩支撑 杆.已知AB=10cm,BC=20cm,AD=50cm. D D A D A∠9 D B Bh ① ② ③ (第6题) (1)如图②，当活动杆AD处于水平状态时， 求可伸缩支撑杆CD的长度 (2)如图③，当活动杆AD绕点A由水平状 态按道时针方向旋转角度e,且ama=(a 234.由题意，得∠CAB=∠ACD=90, ∠ABC=30°，CD=60米 在Rt△ACD中，AC=CD·tan63.4°≈ 60×2.00=120(米). .在R△ABC中，AB=an30 AC 120≈207.6（米）. 3 ∴.校园西门A与东门B之间的距离 约为207.6米 专题特训三解直角三角形的 四种应用类型 L.如图，过点D作DH⊥BC于点 H,过点E作EG⊥BC于点G. 由题意，得∠BDH=37°，∠CEG= 45°，AE=26米，DE=10米 ∴.易得CG=AE=AC=EG=DH= 26米，DE=HG=10米. 在Rt△BDH中， ,∠BDH=37, ∴.BH=DH·tan37°≈26X0.75= 19.5(米). .BC=CG+HG+BH=26+10+ 19.5=55.5(米). .大楼BC的高度约是55.5米 B D人37°. H G 45 A (第1题) 2.(1)过点B作BE⊥AC于点E 设BE=x海里， 依题意，得∠EBC=53°，∠EBD= 45,CD=10X号=5（海里）. ∴.∠C=90°-∠EBC=37°，ED= BE=x海里 ∴.EC=ED+DC=(x+5)海里， 在Rt△BCE中，EC=BE tanC tan37≈ 0.7万3x(海里. ∷ 3x=x十5，解得x=15. '.渔船在航行过程中到灯塔B的最 短距离约为15海里。 (2)在Rt△ABE中，∠ABE=14°， BE=15海里， ∴.AE=BE·tan14°≈15X0.25= 3.75(海里). '.AC=AE+DE+C=3.75+15+ 5=23.75(海里)」 ·23.75÷10=2.375(小时)， 2.375小时=142.5分钟， 从14：30，经过142.5分钟是16：52：30， '.渔船能在17：30之前到达码头A ∴.不改变航行速度，渔船能在浓雾到 来前到达码头A. 3.(1)如图，延长BA交CF于点H, 过点D作DG⊥CF于点G,则易得四 边形DGHA为矩形 .GH=AD=1m,DG=AH 斜坡CD的坡度i=1:√， ∴.tan∠DCF= DG1_3 G53' ∴.∠DCF=30° ∴.DG=2CD=2m. 在Rt△CDG中，由勾股定理，得CG √CD2-DG=√42-2=25(m). ∴.CH=CG+GH=(23+1)m. 在Rt△BCH中，∠BCH=60°， :tan∠BCH-CF' BH '.BH=CH·tan∠BCH=(2√3+ 1)×W3=(6+√3)m. .AB=BH-AH=6+√5-2= (4+√5)m. ∴.灯杆AB的高度为(4十√5)m. (2)在Rt△BEH中，∠BEH=28, BH :tan∠BEH= EH BH 6+√3 .EH= tan∠BEH tan28 14.58(m). ∴.CE=EH-CH=14.58-(23+ 9 1)≈10.1(m). .CE的长约为10.1m C GH F (第3题) 4.(1)GH⊥CE,EF的长为4米， ∠CFG=60.3°， ∴.在Rt△CEF中，tan∠CFG= E示≈1.75. CE .CE≈7米 .∠BFG=45, ∴.BE=EF=4米 ∴.BC=CE-BE=3米. (2)如图，过点A作AM⊥GH于 点M ∴.易得AM=BE=4米，AB=ME ∠AFG=21.8°， ∴.在Rt△AMF中，tan∠AFG= AM ME ≈0.40. .MF≈10米. ∴.AB=ME=MF-EF=10-4= 6(米). .底座的底面ABCD的面积为 CB·AB=3×6=18(平方米). G-0 M E (第4题) 第一章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1在Rt△ABC中， :∠G=0mA-器 ∴.设BC=8k(k>0),则AB=17k, 根据勾股定理，得AC=√AB一BC= √(17k)2-(8k)z=15k. AC_15k=15 ·cosA=AB=173=7,anA= BC8k8 AC 15k15 [变式]不正确 理由：在Rt△ABC中，∠C=90°， AB=2,AC=1, ∴.BC=√AB2-AC=√2-1下=√5. :血A器号 ∴.易得∠A=60°. A :sin 2 =sin30=1 血-不正晚 典例2(1)如图①，过点C作CE⊥ AB于点E 在Rt△ACE中，AC=√0，tanA= CE 1 AE 2' .AE=2CE. .由勾股定理，得AC=√AE+CE= √(2CE)2+CE=√5CE ∴.√5CE=√10 CE=√2 ∴.AE=2CE=2√2 在R△E中，血B-号，∠B是 锐角， ∴.∠B=45 '.△BCE是等腰直角三角形， ∴.BE=CE=√2 ∴.由勾股定理，得BC=√CE+BE= √(W2)2+(2)2=2. .AB=AE+BE=3√2 (2)如图②，过点D作DF⊥BC于 点F 由(1)可知，AB=3√2，∠B=45, BC=2. CD是△ABC的中线， BD-AB 21 ,DF⊥BC,∠B=45, ∴.△BDF是等腰直角三角形 .DF=BE. ∴.由勾股定理，得BD=√DF+BF= √2DF. ∴.DF=BF= BD=×32 2 2 是 ∴.CF=BC-BF=2- 31 22 在Rt△CDF中，由勾股定理，得CD= √DF2+CF ()+() √10 2 1 CF2√10 .cos∠BCD=CD-而 10 2 (① D ② (典例2图) [变式](1)过点D作DE⊥AB于 点E,则∠AED=∠BED=90°. 在Rt△ADE中，∠A=45°， .∠ADE=45,DE=AD·sinA= 2X2=2,AE=AD·cosA=2X 豆 在Rt△BDE中，∠BDE=∠ADB ∠ADE=105°-45°=60°， ∴.BE=DE·tan∠BDE=√2X √3=6. ∴.AB=AE+BE=√2+√6】 (2)过点B作BF⊥CD于点F,设 DE的长为x. 由(1)可知，∠ABD=90°-∠EDB= 90°-60°=30°. ∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD= DE 105°-30°=75°，AE= tan A DE BE= tan∠ABD =3.x,BD= DE sim∠ABD=2. 10 .AB=(W5+1)x. ∠C=45°，BF⊥CD, ∴.∠CBF=90°-45°=45 ∴.∠DBF=∠DBC-∠CBF=30. ∴.DF=BD·sin∠DBF=x,BF= BD·cOs∠DBF=√3x. ∴.易得CF=BF=√3x. ∴.CD=(W3+1)x. ∴.AB+CD=(23+2)x=2W3+2. .x=1. ∴.AB=5+1. 典例3如图，过点E作EI⊥AC于 点I,过点D作DH⊥AC于点H. ,·AB,DE均与水平线FC垂直， ∴.DE∥AC. ∴.∠DBH=∠BDE=72.5. DH⊥AC, .∠DHI=90. 在Rt△DBH中，BD=22m,sin72.5°= 2-部 DH ∴.DH=BD·sim72.5°≈22X0.95= 20.9(m),BH=BD·cos72.5°≈ 22×0.30=6.6(m). 易知四边形EDHI是矩形， .'EI=DH=20.9 m,IH=DE= 1.7m. :∠AEI=45,∠AIE=90, ∴.∠EAI=45. ∴.A1=EI=20.9m. .AB=AI+IH-BH=20.9+ 1.7-6.6=16(m). ∴.信号杆的高AB约为16m. B 2 (典例3图) 变式]延长EF交CH于点G,则 FG⊥CH,即∠EGC=90 由题意，易得EF=AB=9m,AE= BF=GH=1.2 m. .∠CFG=45, ..∠FCG=90°-45°=45°=∠CFG. ..FG=CG. 设FG=CG=xm. .DG=CG-CD=(x-3)m. 在Rt△EDG中，∠EGD=90°， ∠DEG=22°，EG=EF+FG=(9+ x)m, ∴.DG=EG·tan∠DEG≈0.4(9+ x)m. .x-3=0.4(9+x) .x=11. .DG=11-3=8(m). .DH=DG+GH=8+1.2= 9.2(m). ∴广告牌底部，点D到水平地面的距 离DH约为9.2m. [综合素能提升] 1.C2.B3.B 4.(4,5)解析：过点A作AG⊥ x轴于点G.点B,C的坐标分别是 (1,0),(0,√3)，.OB=1,O℃=√3. ∴.在Rt△OBC中，BC=VOB2+OC √2+(5)2=2.易得∠BC0= 30.在Rt△ABC中，∠BAC 30°，.AB= BC 2-23 tan∠BAC3 :∠ABG+∠CBO=90°，∠BCO+ ∠CBO=90°，'.∠ABG=∠BCO= 30°..AG=AB·sim∠ABG=2W5X 2=5,BG=AB·cos∠ABG= 1 25×号-3.0G-0B+G=1+ 3=4..顶，点A的坐标是(4，√3). 20 5. 6.(1)如图①，过点C作CE⊥AD于 点E 由题意，得AB=CE=10cm,BC= AE=20 cm, .AD=50 cm, .'.ED=AD-AE=50-20=30(cm). 在Rt△CED中，CD=√CE+DE= √102+302=10√10(cm), ∴.可伸缩支撑杆CD的长度为 10√/10cm. (2)如图②，过点D作DF⊥BC,交 BC的延长线于点F,交AD'于点G. 由题意，得AB=FG=10cm,AG= BF,∠AGD=90. 在Rt△ADG中，tana=AG4' DG 3 ∴.设DG=3.xcm(.x>0),则AG= 4.x cm. .'.AD=√WAG2+DG2= √(4x)+(3x)=5.x(cm). .AD=50 cm, .∴.5.x=50,解得x=10. ∴.AG=40cm,DG=30cm. ∴.BF=AG=40cm,DF=DG+ FG=30+10=40(cm). BC=20 cm, ∴.CF=BF-BC=40-20=20(cm). 在Rt△CFD中，CD=√CF2+DF2= √202+402=205(cm), ∴.可伸缩支撑杆CD的长度为 20√5cm. E A →D ① D B -F C ② (第6题) 7.(1)如图，过点C作CF⊥AD,垂 足为F 由题意，得CF∥AB, ∴.∠FCE=∠CEB=30°. :∠DCF=30, ∴.∠DCE=∠DCF+∠FCE=60. ∠AED=75, .∠DEC=180°-∠AED- ∠CEB=75°. ∴.∠CDE=180°-∠DEC ∠DCE=45. 11 (2)如图，过点E作EG⊥CD,垂足 为G. 由题意，得AF=BC=18m. 在Rt△EBC中，BC=18m,∠CEB= 30°， ∴.CE=2BC=36m. 在Rt△CEG中，∠DCE=60°， cG=CE·os60=36X7= 18(m),EG=CE·sim60°=36× 9-1s5m 在Rt△DEG中，∠EDG=45°， EG ∴.DG tan∠EDG=18V3m. ∴.CD=CG+DG=-(18+18√3)m. 在Rt△DFC中，∠DCF=30, DF2CD=(9+95)m .AD=AF+DF=18+9+9W3= (27+9√3)m. ∴.建筑物AD的高度为(27十95)m D G Fb 302C 4b7530 B (第7题) 第二章 二次函数 1二次函数 1.A2.A3.3 4.S=4x×6=24x,是一次函数： V=x2×6=6x2,是二次函数： L=4x×2+6×4=8x+24,是一次 函数 5.C6.D7.(1)a≠士2 (2)a=2 8.(1)郁金香的种植面积S(m)与 草坪宽度a(m)之间的函数表达式为 S=(60-2a)(40-2a)=4a2 200a+2400,是二次函数. (2)果园结苹果总个数y与增种苹果 树数量x(棵)之间的函数表达式为 y=(10+x)(200-5.x)=-5x2+ 150x+2000,是二次函数.