专题特训八 隐圆问题&专题特训九 圆中的最值问题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

拔尖特训·数学（北师版）九年级下 专题特训八 类型一定点定长 当遇到同一个端，点出发的等长线段时，通常以这 个端点为圆心，等线段长为半径构造辅助圆. 1.如图，AB=AC=AD,∠BAC=50°，∠DAC 30°，则∠CBD的度数为 ( A.15° B.25 C.50° D.65 (第1题) (第2题) 2.如图，在矩形纸片ABCD中，AB= 4,AD=6,E是AB的中点，F是边 AD上的一个动点，将△AEF沿EF 所在直线翻折，得到△A'EF,连接AC,则线 段A'C长的最小值是 类型二四点共圆 当遇到四边形对角互补时，通常考虑从四个顶，点 共圆的角度解决问题 3.如图，一副三角尺（△ABC和△BCD)的斜边 恰好重合，点A与点D在边BC的两侧，连 接AD,则∠ADB的度数为 A.30 B.40 C.50° D.60° (第3题) (第4题) 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠C= 45°，以AB为腰作等腰直角三角形ABE,顶 点E恰好落在CD边上.若AD=1,则CE 的长是 72 隐圆问题 “答案与解析”见P38 类型三定弦对定角 当遇到动点对定点或对定线段所张的角为定值 时，通常把张角转化为圆周角构造辅助圆.当遇到直 角三角形时，通常以斜边为直径构造辅助圆 5.如图，E,F是正方形ABCD的边AD上的两 个动点，AE=DF,连接CF交BD于点G, 连接BE交AG于点H.若正方形ABCD的 边长为2，则DH长的最小值为 () (第5题) A后-1B反C号 D.5 6.在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,BC=3. D为平面上的一个动点，∠ADB=45°，则线 段CD长的最小值为 7.如图，在△ABC中，AB=12,∠ABC= 60°，∠ACB=90°，D为直线AB右侧 的一个动点，∠ADC=60°，求△ACD 面积的最大值， C (第7题) 专题特训九 类型一直径最值问题 1.如图，一大一小两个等腰直角三A 角形叠放在一起，M,N分别是 D M 斜边DE,AB的中点，DE=2, AB=4.将△CDE绕顶点C旋（第1题） 转一周，则点M,N之间的距离的最大值为 ,最小值为 2.(2025·莱州期末)如图，AB是⊙O的直径 C为⊙O上一点，且AB⊥OC,P为⊙O上 一动点，M为AP的中点，连接CM.若⊙C 的半径为2，求CM长的最大值. (第2题) 类型二点圆最值问题 3.如图，在⊙O中，弦AB=6,点C在AB上移 动，连接OC,过点C作CD⊥OC,交⊙O于 点D,则CD长的最大值为 A.3√2B.3 C.6 D.5 3 OA B x (第3题) (第4题) 4.如图，点P的坐标为(3,4)，⊙P的半径为2 点A,B的坐标分别为(2.5,0)，(5,0)，M是 ⊙P上的一动点，C是MB的中点，则AC长 第三章圆 圆中的最值问题 ●“答案与解析”见P39 的最大值是 ( A B. c D.2 类型三线圆最值问题 5.如图，在平面直角坐标系中，直线 y=一x一2与x轴、y轴分别交于 A,B两点，C,D是半径为1的⊙O 上的两个动点，且CD=√2，P为弦CD的中 点.当C,D两点在⊙O上运动时，△PAB面 积的最大值为 () B (第5题) A.8 B.6 C.4 D.3 6.如图，直线y=x十5与坐标轴分别交于点 A,B,P为直线AB上的一个动点.M是 x轴的正半轴上一点，⊙M与y轴相切.过点 P作⊙M的切线，切点为Q.若点M的坐标 为(1,0)，则PQ长的最小值为 Q O花 (第6题) 类型四角度最值问题 7.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=8,M 是CD的中点，P是BC上的一个动点.若 ∠DPM的度数最大，则BP= (第7题) 73.AC为∠HAB的平分线. .CH⊥AD,CE⊥AB, .CH=CE. 在Rt△AHC和Rt△AEC中， AC=AC, CH=CE, '.Rt△AHC≌Rt△AEC. .'AH=AE. 在Rt△CDH和Rt△CBE中， CD=CB, CH=CE, .Rt△CDH≌Rt△CBE. ∴.DH=BE=2. ∴.AE=AH=AD+DH=4. .AB=AE+BE=6. AB是⊙O的直径， ..∠BCA=90°. .·∠BEC=∠BCA=90°，∠EBC= ∠CBA, ∴.△BECc∽△BCA. BC BE BABC' .∴.BC2=BA·BE=6X2=12. .BC=25. BF=BC, '.BF=BC=25. H F (第6题) 7.(1)如图，连接OC. .CD是⊙O的切线， .OC⊥CD BE//DC, .OC⊥BE .CE-CB. (2)如图，过，点O作OH⊥AC于点H. .∴.AH=HC. AB为⊙O的直径， ∴.∠AEB=90 ∴.∠ABE=90°-∠BAE=90°- 60°=30°. BE∥DC, ∴.∠D=∠ABE=30°. ∴.∠AOC=∠OCD+∠D=120°. .OA=OC, .∠0AC=2×180°-120)=30° ∴.在Rt△AOH中，AH=OA· o∠01C=2x95 ∴.AC=2AH=2√3. 0 B (第7题) 8.(1)连接OC. .OA=OC, ∴.∠OAC=∠OCA. BC=CD, ∴.∠BAC=∠DAC= 2∠BAF. ∴.∠OCA=∠DAC. ∴.OC∥AF. ∴.∠OCE=∠F. EH平分∠FEG, ∴.∠FEG=2∠GEH. ,∠GEH=∠H+∠BAC,∠FEG ∠F+∠BAF, ∴.2∠H+2∠BAC=∠F+∠BAF. :∠BAF=2∠BAC, ∴.∠F=2∠H=90 ∴.∠OCE=∠F=90°，即OC⊥EF. .·OC是⊙O的半径， .EF是⊙O的切线， (2).AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90. ∴.∠OBC+∠BAC=90. 又.OB=OC, '.∠OBC=∠OCB. OC⊥EF, ∴.∠OCB+∠BCE=90° ∴.∠BCE=∠EAC. ∠CEB=∠AEC, ∴.△BCEC∽△CAE 器器器 .CE2=BE·AE 38 .AE=8. ∴.AB=8-2=6. BC 1 在R△ABC中，AB=6,AC =2 AC=125 5 :∠F=∠ACB=90°，∠FAC= ∠CAB, '.△FACc∽△CAB. 装器 AC224 ·AF=AB=5: 9.(1)如图，过点O作OG⊥DC,垂 足为G .∠OGD=90 .ADBC,AE⊥BC, .OA⊥AD .DO平分∠ADC,OA⊥AD,OG⊥ DC, ∴.易得OA=OG,即OG为⊙O的 半径. OG⊥CD, .CD与⊙O相切. (2)如图，连接OB,OF. :OB=OF,OE⊥BC, &BE=EP=专BF=12 在Rt△OEF中，OE=5,EF=12, .OF=√OE2+EF=13. .AE=OA+OE=OF+OE=13+ 5=18. ∴.在Rt△ABE中，tan∠ABC= AE183 BE122· (第9题) 专题特训八隐圆问题 1.A 2.2√10-2解析：E为AB的中 点，∴.AE=EB=2.由翻折知，A'E AE=EB=2.如图，以点E为圆心， AE长为半径作圆，点A,A',B都在圆 上，连接CE.易知当点A'在线段CE上 时，A'C的长取最小值.在Rt△BE中， 由勾股定理，得CE=√BC+BE √62+2=2√0..A'C长的最小 值为CE-A'E=2√10-2. (第2题) 3.D 4.√2解析：连接BD.AD∥BC, .∠ADC+∠C=180.△ABE 为等限直角三角形，“部-方 ∠ABE=45°=∠C..∠ABE+ ∠ADC=180°...∠BAD+∠BED= 180°.∴A,B,E,D四点共圆，且该圆 以BE为直径.∴.∠BDE=∠BAE 90°，∠ADB=∠AEB=45°..易得 △BDC是等腰直角三角形. ∴.∠DBC=45°=∠ABE.∴.易得 ∠ABD=∠EBC.:∠ADB=∠C, &△MBDn△EC÷是-铝 即1 ECCE- 5.A解析：如图，延长AG交CD于 点M.:'四边形ABCD是正方形， ∴.AD=CD=AB,∠BAD= ∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB. :AD=CD,∠ADB=∠CDB, DG=DG,∴.△ADG2△CDG .∠DAG=∠DCG.AD=CD, ∠ADM=∠CDF,∴.△ADM≌ △CDF,∴.DM=DF.AE=DF, ∴.AE=DM.AB=AD,∠BAD= ∠ADM=90°，∴.△ABE≌△DAM. ∴.∠ABE=∠DAM..∠DAM+ ∠BAM=90°，.∴.∠ABE+∠BAM= 90°.，∴.∠AHB=90°..H是以AB 为直径的圆上的一点.以AB为直径 作圆，取AB的中点O(圆心)，连接OD, OH.∴.AO=OH=1.在Rt△AOD 中，OD=√AD+AO=√5.，DH≥ OD-OH,∴.DH≥5-1...DH 长的最小值为√5-1. (第5题) 6.√5-√2解析：如图，作△ABD的 外接圆⊙O,连接OA,OB,OC,OC与 ⊙O交于点D'.易知当点D与点D 重合时，CD的长最小，即为CD'的 长.：∠ADB=45,∴.∠AOB= 90.∴.△AOB为等腰直角三角形. .∴.∠OBA=∠OAB=45..OA= OB=sin45°·AB=V2.∴.OD'= 2.:∠OBA=45°，∠ABC=90, ∴.∠OBC=45°.过点O作OE⊥BC 于点E.∴.易得△OBE为等腰直角三 角形.∴.OE=BE=sin45°·OB=1. '.CE=BC一BE=3一1=2.在 Rt△OCE中，OC=√OE2+CE= √+2=√5.∴.CD长的最小值= CD'=OC-OD'=√5-√2. (第6题) 7.AB=12,∠ABC=60, ∠ACB=90°， .AC=AB·sim∠ABC=63. ,∠ADC=60°，∠ABC=60°， ∴.易得点D在△ABC的外接圆上. 如图，作△ABC的外接圆⊙O,易知 O为AB的中点，过点O作OE⊥AC 于点E,延长EO交⊙O于点D',连 接AD',CD' ,AC的长不变， ∴.当边AC上的高最大时，△ACD 的面积最大. 易知当点D与点D'重合时，边AC上 的高最大，即为DE的长 39 OE⊥AC, .AD'=CD' .AD'=CD'. ∠AD'C=∠ADC=60°， '.△ACD'是等边三角形 ∴.AD'=AC=63,∠D'AC=60° .D'E=AD'·sim∠D'AC=65· sin60°=9. 1 .△ACD面积的最大值=2AC: D'E=273」 B (第7 专题特训九圆中的最值问题 1.31 2.如图，连接OM,BP .·M是AP的中点，AO=OB ÷OM/BP.OM=号BP ∠APB=90, ∴.∠AMO=90° ∴.点M在以OA为直径的圆上. 取OA的中点O,以点O为圆心，OA 长为直径作圆，连接OM,O'C 易知当点O',M,C共线时，CM的长 最大 .OA=OB=OC=2, ·00=20A=1=0M, 在Rt△O'O℃中，OC=2,OO=1, ∴.OC=√22+1平=√5. ∴.CM长的最大值为CO'+OM= 5+1. (第2题)》 3.B 4.C解析：如图，作射线OP,交⊙P 于点M1,M2,连接OMP(3,4), ∴.由勾股定理，易得OP= √32+4=5.A(2.5,0),B(5,0), C是MB的中点，.OA=AB,CM CB.AC=2OM.·当OM的长 最大时，AC的长取最大值.当点M 运动到点M2时，OM的长取最大值， 此时AC长的最大值=2OM,= 2(0p+PM,)=专×6+2)=子 7 M 1M M OA B (第4题) 5.D解析：.直线y=一x一2与 x轴y轴分别交于A,B两点，.当 x=0时，y=-2:当y=0时，x= 一2.∴.点A的坐标为（一2,0），点B 的坐标为(0，-2)..OA=OB=2. ∴.在Rt△AOB中，根据勾股定理，得 AB=√OA+OB2=2W2.,△PAB 的底边AB=2√2，∴.当△PAB的底 边AB上的高最大时，△PAB的面积 最大.连接OD,OP.CD=√2，⊙O 的半径为1，P为CD的中点，.DP= CD-号.0P1CD在R△0P 中，根据勾股定理，得OP VOD-Dp-竖当P0的延 长线恰好垂直于AB时，垂足为E,此 时PE即为△PAB的底边AB上的 最大的高.OE⊥AB,OA=OB, OE-7AB-PE=OE+ OP-3此时Saw-号AB· PE=2×2w2x3=3 2 6.√17解析：如图，连接PM,MQ. ,PQ与⊙M相切于点Q,∴.MQ⊥ PQ.∴.∠PQM=90°.，点M的坐标 是(1,0)，∴.MQ=MO=1.∴.PQ= √PM-MQ=√PM-1'..当 PM的长最小时，PQ的长取最小值 易知当PM⊥AB时，PM的长最小. ,直线y=x十5与坐标轴分别交于 点A,B,∴.当x=0时，y=5,当y= 0时，x=-5.∴.点A的坐标是(0， 5),点B的坐标是（一5,0）..OA= 5,OB=5.AO⊥BO,∴.易得 ∠PBM=45°.PM⊥AB, ∴.∠BPM=90°.在Rt△BPM中， MB=OB+OM=5+1=6,..PM= MB·sin∠PBM=6X =3 2 .PQ=√/(3√2)2-1=√7.∴.PQ 长的最小值是√17. y p 0 B 0 M (第6题) 7.8-2√2解析：如图，作△PMD 的外接圆，则圆心O在DM的垂直平 分线上移动，连接OD,OM.设DM的 垂直平分线交DM于点N,则DN= MN,ON⊥CD..'∠DOM=2∠DPM, ∴.当∠DOM的度数最大时，∠DPM 的度数最大.易知当⊙O与BC相切 时，∠DOM的度数最大.：四边形 ABCD为矩形，∴.CD=AB=4, AD=BC=8.,M是CD的中点， ÷CM=DM=2CD=2.MN 1.连接OP,则OP⊥BC.∠C= 90°，ON⊥CD,∴.易得四边形OPCN 是矩形.∴.ON=PC,OP=NC=2十 1=3=OM.在Rt△MON中，由勾股 定理，得ON=√OM-MN= √32-1=2√2.∴.PC=2√2. ∴.BP=BC-PC=8-2N2」 (第7题) 40 8圆内接正多边形 1.D2.B3.12 4.如图，正八边形ABCDEFGH即为 所求作。 1 A G (第4题) 5.B 6.>解析：如图①，过点A作AD⊥ BC于点D,则AD过圆心O1,连接 O1B.在Rt△BO1D中，易得O1B= O1A=6,∠O1BD=30°，.BD= 90,=3v5=D3C0,D 7B0=3.∴.BC=63,AD=6 3=9.S1=So01-S△4x=πX 6号×65×9=36x-275.如图 ②，连接O2A,O2F,过点O2作O2H⊥ AF于点H.,六边形ABCDEF是 圆内接正六边形，∠40，F=360- 6 60°.∴.∠A02H=30°.O2F=O2A, ∴.△AO2F是正三角形.∴.O2F= O2A=AF=6.在Rt△AO2H中， 0,H=5X6=35.S,=S00 2 65.0,F=xX62-6×2×6X35 36π-54√3..S1-2S2=36π 27√3-72π+108√3=81√3-36π> 0..S1>2S2. ① ② (第6题)