7 切线长定理-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

拔尖特训·数学（北师版）九年级下 7 切线长定理 >“答案与解析”见P36 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图，PA,PB均为⊙O的切线，切 4.新考法·操作实践题如图，△ABC是一张周长 点分别为A,B,连接AB,PO,相交 为17cm的三角形纸片，BC=5cm,⊙O是 于点C,PO的延长线交⊙O于点 △ABC的内切圆，小明用剪刀在⊙O的右侧 D.下列结论中，不一定成立的是 ( 沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下 A.PA=PB B.∠BPD=∠APD △AMN,则剪下的三角形的周长为() C.AB⊥PD D.AB平分PD A.12 cm B.7cm C.6 cm D.无法确定 (第1题) (第2题) 2.(2025·龙东地区)如图，PA,PB是⊙O的 0 (第4题) (第5题) 切线，A,B为切点，AC是直径，∠BAC 5.如图，正方形ABCD的边长为4，以正方形的 35°，则∠P= 一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆， 3.(2025·鄂尔多斯东胜期中)如图，AB为⊙O 过点A作半圆O的切线，与半圆O相切于点 的直径，过圆外一点E作⊙O的切线EC, F,与DC相交于点E,则△ADE的面积为 EB,切点分别为D,B,EC交BA的延长线 () 于点C,连接OE,OD,AD. A.12 B.24C.8 D.6 (1)AD与OE有怎样的位置关系？请说明 6.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AD⊥ 理由 AB,以，点D为圆心，AD的长为半径的弧恰 (2)若EB=6,CD=4,求⊙O的半径， 好与C村别，切点为E.若8-则smC 的值是 C A B⑤ c D (第3题) (第6题) (第7题) 7.(2025·淄博高青模拟)如图，四边形ABCD 是⊙O的外切四边形，且AB=10,CD=12, ⊙O的半径r=5,则四边形ABCD的面积为 68 第三章圆 8.如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点，劭思维拓展 点C,D在⊙O上.若∠P=102°，则∠PAD+ 11.如图，⊙O的直径AB=8,AM,BN是它的 ∠C= 两条切线，直线DE与⊙O相切于点E,并 与AM,BN分别相交于D,C两点，BD, OC相交于点F.若CD=10,求BF的长. A DM B B (第8题) (第9题) 9.*如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB 分别相切于点D,E,F,且AB=5,BC=13, CN CA=12,则阴影部分（即四边形AEOF)的面 (第11题) 积是 10.(2024·自贡)在Rt△ABC中，∠C=90°， ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D, E,F. (1)如图①，有三组相等的线段：CE=CF, AF- BD= ·若AC= 3,BC=4,则⊙O的半径为 (2)如图②，延长AC到点M,使AM AB,过点M作MN⊥AB于点N.求证： MN是⊙O的切线. ① ② (第10题) 69'.∠BDM+∠BDG=90°. .∠ODM=90°，即OD⊥DM .OD是⊙O的半径， ∴.直线DM是⊙O的切线 (2)如图，连接BE. 点E是△ABC的内心， ,'.∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠CAD ∠CAD=∠CBD, ·∠CBD=∠BAD ∴.∠EBD=∠CBE+∠CBD= ∠ABE+∠BAD 又∠BED=∠ABE+∠BAD, .∴.∠EBD=∠BED .'DB=DE. .∠FBD=∠BAD,∠BDF=∠ADB ∴.△DBFc∽△DAB. DB DE DA=DB· .DB2=DF·DA. .DE2=DF·DA. G A O1-E B C M D (第9题) *7切线长定理 1.D2.70 3.(1)ADOE. 理由：，CE,BE是⊙O的切线， ∴.∠ODE=∠OBE=90. 在Rt△DOE和Rt△BOE中， OD=OB, OE=OE. .Rt△DOE≌Rt△BOE. .∠DOE=∠BOE. .'OA=OD, .∠ODA=∠OAD. ,·∠DOB =∠DOE+∠BOE= ∠ODA+∠OAD, ∴.∠DOE=∠ODA. ∴.AD∥OE. (2).CE,BE是⊙O的切线， '.DE=BE=6, ..CE=DE+CE=6+4=10, ∴.BC=√CE2-BE=8. 设OB=OD=r,则OC=8-r. CD2+OD2=0C2, .4+r2=(8-r)2,解得r=3,即 ⊙O的半径为3. 4.B5.D 6.B解析：如图，连接DB,DE.设 AB=m:2部=子，D 3AB=31.:AD是AE所在圆的半 径，AD⊥AB,∴.AB是AE所在圆的 切线.AE所在圆与BC相切于点 E,DE是AE所在圆的半径，∴.BC⊥ DE,EB=AB=m.∴.易得∠CBD= ∠ABD.AB∥CD,∴.∠ABD= ∠CDB...∠CBD=∠CDB. ∴.CB=CD=3m.∴.CE=CB EB=3m-m=2m..∠CED=90°， ∴.DE=√CD-CE= √(3m)2-(2m)7=√5m.∴.sinC= DE5m 5 CD 3m 3 A B D (第6题) 7.110解析：四边形ABCD是 ⊙O的外切四边形，'.易得AD+ BC=AB+CD=22.,∴.四边形ABCD 的周长=AD+BC+AB+CD=44. ,⊙0的半径r=5,∴.易得四边形 ABCD的面积=2×四边形ABCD 1 的周长×r=2X44X5=110, 8.219°解析：连接AB.PA,PB 是⊙O的切线，∴.PA=PB.在 △APB中，∠P=102°，∴.∠PAB= ∠PBA= 2×(180-102)=39 :∠DAB+∠C=180,.∠PAD+ 36 ∠C=∠PAB+(∠DAB+∠C)= 39°+180°=219° 9.4解析：.AB=5,BC=13, CA =12,.AB2+CA2=BC2. ∴.△ABC为直角三角形，∠A=90°. :AB,AC与⊙O分别相切于点F, E,.OF⊥AB,OE⊥AC,AE=AF. ∴.易得四边形OFAE为正方形.设 OE=r,则AE=AF=r.△ABC 的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相 切于点D,E,F,.BD=BF=5一r, CD=CE=12-r.∴.5-r+12-r= 13..r=2..阴影部分（即四边形 AEOF)的面积是2×2=4. 方法归纳 与切线长定理有关的几个结论 (1)如果直角三角形的两条直 角边的长分别为a,b,斜边长为c, 那么此直角三角形内切圆的半径 1 r=2u+b-c). (2)圆外切四边形的两组对边 之和相等 (3)圆外切平行四边形是菱 形，圆外切矩形是正方形. (4)若一个四边形的两组对边 之和相等，则这个四边形是圆外切四 边形，即这个四边形有一个内切圆. 10.(1)AD;BE:1. (2)如图，过点O作OH⊥MN于点 H,连接OD,OE,OF. ,∠ANM=∠ACB=90°，∠A= ∠A,AM=AB, ∴.△AMN≌△ABC. ..AN=AC. :AD,AF为⊙O的切钱， ∴.AD=AF. '.AN-AD=AC-AF,即DN= CF. 易得四边形OECF为正方形， .CF=OE. .DN=OE. .∠ANM=∠ODN=∠OHN=90°， .四边形OHND是矩形 .OH=DN. '.OH=OE,即OH是⊙O的半径 .OH⊥MN, .MN是⊙O的切线. B (第10题)》 11.如图，过点D作DG⊥BC于点 G,延长CO交DA的延长线于点H. ·AM,BN是⊙O的两条切线，DE 与⊙O相切于点E, ,.AD=DE,BC=CE,∠DAB= ∠ABC=90 DG⊥BC, ..∠DGB=90° .四边形ABGD为矩形 .∴.AD=BG,DG=AB=8. .在Rt△DGC中，CD=10, ∴.G℃=√CD-G=√10-82=6. .AD=DE,BC=CE,CD=10, .AD+BG+GC=AD+BC= DE+CE=CD=10. 4AD=BG=号X10-6)=2 .'BC=BG+CG=8. .∠DAB+∠ABC=180°， .AD∥BC. .'.∠AHO=∠BCO,∠HAO= ∠CBO,易得△DHFc∽△BCF. .OA=OB, ..△AHO≌△BCO .'.AH=BC=8. ·AD=2, .DH=AH+AD=10. 在Rt△ABD中，AD=2,AB=8, ∴.BD=WAB+AD'=√82+2= 217. .△DHFC∽△BCF, F,即0 DF 2√17-BF C BE .BF=8/17 91 H E 0 B G CN (第11题) 专题特训七圆中辅助线的 添加 1.B 2.B解析：如图，连接PA,PB, PC,过点P作PD⊥AB于点D, PE⊥OC于点E..∠ACB=60° .∠APB=120.PA=PB, .∠PAB=∠PBA=30°.A(-5, 0),B(1,0),∴.OB=1,OA=5,AB= 6.5AD=BD=号AB=8&OD BD-OB=2.'.在Rt△ADP中， PD=AD,tam30°=3X5=5, 3 AD PA=PB=PC=- 0s30° =2B. √3 2 PD⊥AB,PE⊥OC,DO⊥OE, .易得四边形PEOD是矩形 ∴.OE=PD=5,PE=OD=2 ∴.CE=√PC-PE=√(2W5)2-22 22.∴.OC=CE+OE=22+5, 即点C的纵坐标为2√2+√. DOB花 (第2题) 3.2√15解析：如图，过点O作 OH⊥CD于点H,连接OD.P为 OA的中点，⊙0的半径为4， .OP=2,OD=4.在Rt△OPH中， :∠OPH=∠APC=30°，∴.OH= 2OP=1.在Rt△OPH中，DH √OD-OH=√4-下=√15. 37 :OH⊥CD,.CH=DH=⑤. ∴.CD=2DH=2w√15. 0 D B 0 (第3题) 4.D 12 5. 解析：如图，连接DF,过点O 作OH⊥EP于点H.DE是⊙O 的直径，∴.∠EFD=∠AFD=90°， OE=OD..∠ACB=90°，AB=5, BC=3,BD=3,'.∠ACB= ∠AFD=90°，AD=AB+BD=8. ∴.BCDF.∴.易得△ABCC∽△ADF. 8器DF华：oHL 5 EF,∴.∠EHO=∠EFD=90° .OH∥DF.:OE=OD,∴.易得 OH是△EFD的中位线..∴.OH= Dr=×华圆心0到 BF的距离是号 B D (第5题) 6.(1)C为BD的中点， ∴.CD=BC. :AB是⊙O的直径，且CF⊥AB, .BC=BF .BF=CD ∴.BF=CD. 在△BFG和△CDG中， ∠FGB=∠DGC, ∠F=∠CDG BF=CD, ∴.△BFG≌△CDG (2)如图，过点C作CH⊥AD,交AD 的延长线于点H,连接AC,BC. CD=BC, '.∠HAC=∠BAC,CD=CB