第3章 圆 拔尖测评-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

AQ+号aC=A0+m 过点A作AH⊥CF于点H,则 ∠AHF=90°，易知AQ+EQ的最小 值为AH的长， A(1,0), .OA=1. C(0,3), .OC=3. ∠OCF=45,∠COF=90°， ∴.∠CF0=45°=∠OCF. ∴.OF=OC=3. ∴.AF=OF+OA=3+1=4. .在Rt△AHF中，AH=AF· sin45=2√2 ∴.AQ+EQ的最小值为2√2，即 A0号cC的最小值为2v区. (第22题) 23.(1):抛物线y=a.x2+bx-5 交x轴于A(1,0),B(-5,0)两点， a+b-5=0, 解得 a=1, {25a-5b-5=0, b=4. ∴.抛物线对应的函数表达式为y= x2+4.x-5. (2)将B(-5,0)代人y=kx-5, 得-5k-5=0,解得k=-1. '.直线BC对应的函数表达式为 y=-x-5. 设P(c,c2+4c一5)，则E(c,一c一5). 当c<-5时，PE=c2+4c-5 (-c-5)=c2+5c,DE=-c-5. .PE=3ED ∴.c2+5c=3(-c-5),解得c=-3 (不合题意，舍去)或c=一5（不合题 意，舍去) ∴.此时满足条件的点P不存在。 当-5<c<0时，PE=-c-5 (c2+4c-5)=-c2-5c,DE=c+5. PE=3ED. .一c2一5c=3(c+5),解得c=-3 或c=-5(不合题意，舍去). ∴.当c=-3时，c2+4c-5=-8. .P(-3,-8). 当O≤c<1时，PE<ED,此时不存在 PE=3ED 当c>1时，PE=c2+4c-5-(-c 5)=c2+5c,DE=c+5. PE=3ED, .c2+5c=3(c+5),解得c=3或 c=一5（不合题意，舍去） ∴.当c=3时，c2+4c-5=16. .P(3,16) 综上所述，满足条件的点P的坐标为 (-3,-8)或(3,16). (3)存在 过点F作FG⊥x轴于点G,过点P 作PH⊥x轴于点H,则∠AGF= ∠AHP=90°. ,△AFP是以PF为斜边的等腰直 角三角形， ∴.AF=AP,∠PAF=90° ∴.∠FAG+∠PAH=∠APH+ ∠PAH=90° '.∠FAG=∠APH. ,'.△AFG≌△PAH. .FG=AH,AG=PH. 设P(m,m2+4m-5). 当-5<m<1时，AH=1-m, PH=-m2-4m+5. ∴.FG=1-m. .易得F(m-6,1-m). .'.AG=1-(m-6)=7-m .∴.一m2一4m+5=7一m,解得 m=-1或m=-2. .点P的坐标为（一1，一8）或（一2， -9) 当m>1时，AH=m-1,PH=m2+ 4m-5. 62 '.FG=m-1. .易得F(-m-4,m-1). ∴.AG=1-(-m-4)=m+5. ∴.m2+4m-5=m十5，解得m=2或 m=一5（不合题意，舍去）. ∴.此时满足条件的点P的坐标为 (2,7). 综上所述，在点B右侧的抛物线上存 在点P,使△AFP是以PF为斜边的 等腰直角三角形，且点P的坐标为 (-1,-8)或(-2，-9)或(2,7). 第三章拔尖测评 -、1.D2.C3.C4.B5.B 6.C7.C 8.C解析：：M,C是半圆弧的三 1 等分点，∠B0C=3×180=60, &∠BPC=号∠B0C=30:P为 AM上一动点，.∠PBD与∠PDB 随点P的运动而变化，其变化趋势相 反..PB不一定等于PD.故①不一 定正确.AB=8,∴.OB=OC=4. :反的长为言故@正疏 ∠BOC=60°，OB=OC,∴.△BOC 是等边三角形.∴.∠ABC=60°， CB=OB..BE⊥OC,.∠OBE= ∠CBE=30°..BD与半圆O相切 于点B,∴.AB⊥BD,即∠ABD=90 ∴.∠DBE=60°.故③错误.，∠CPB= 30°，∠CBF=30,∴.∠CBF=∠CPB. :∠BCF=∠PCB,.△BCF∽ △PCB.故④正确.·△BCF∽△PCB, 票-器cF·P=cB CB=OB=4,.CF·CP=16.故 ⑤正确.综上所述，一定正确的是②④ ⑤，共3个. 9.B解析：如图，连接AC,CD,DE. BE=DE,∴.BE=DE ∴.∠EDB=∠EBD=a.易得AC= CD=DE,∴.AC=CD=DE. '.∠DCE=∠DEC=∠EDB+十 ∠EBD=2a..'.∠CAD=∠CDA= ∠DCE+∠EBD=3a.,AB是⊙O 的直径，∴.∠ACB=90°..∠CAB十 ∠ABC=90°..4a=90°，解得a= 22.5°.∴.22.3°a22.7 D、0 B (第9题) 10.B解析：如图，当⊙O与AB, BC,CD相切时，⊙O的面积最大.设 切点分别为E,F,G,连接OA,OB, OC,OD,OE,OF,OG,过点D作 DH⊥BC于点H.易得四边形 ABHD是矩形，∴.DH=AB= 20 cm,BH AD=9 cm.BC 24cm,,'.CH=BC-BH=24-9= 15(cm).∴.CD=√DH+CH= √202+15=25(cm).设OE=OF= OG=rCm.·'S梯形AD=S△AOn十 SAm+SAn+SANx(9+ 24)×20=2×20r+2×24r+2× 25r+2×9×(20-r）.整理，得 30=10r+12+号+号(20-r, 解得r=8.∴.此圆形模板的半径是 8 cm. E B FH (第10题) 二、11.66°12.6√513.π+4 42 14.2√2t4十2√2解析：设半径 为2的⊙O与角的两边CB,CA分别 相切于点M,N,连接OM,ON,延长 NO交CB于点D.∴.∠CND= ∠OMD=90°..∠ACB=45°， .∠CDN=90°-45°=45°..易得 CN =DN,OM DM.ON= OM=2,∴.易得OD=2√2.∴.CN DN=2+2√2.延长EP交BC于点 Q.同理，可得CE=EQ,PQ=√2PF ∴t=PE+√2PF=PE+PQ=EQ, 如图①，当EP与⊙O相切且点P在 圆心的右侧时，t有最大值.连接OP, 则易得四边形ENOP是正方形. .EN=OP=2...=EQ=CE= CN+EN=2+2√2+2=4+22.如 图②，当EP与⊙O相切且点P在圆 心的左侧时，t有最小值.同理，可得 EN=2,∴.t=EQ=CE=CN- EN=2+22-2=2√2.∴.t的取值 范围是2√2≤t≤4十2√2. M FD OB ② A N E C FQM D B ② (第14题) 15,专解析：如图连接AC,OD, :AB是⊙O的直径，∴.∠ACB 90°.D是BC的中点，.CD BD.又.AO=BO,.OD∥AC. ∴.∠ODB=∠ACB=90.∴.易得点 D在以OB为直径的圆上运动.以OB 为直径作⊙K,易知当直线AE切 ⊙K于点D时，BE的长最大，连接 DK.AE是⊙K的切线，∴DK⊥ AE.∴.∠ADK=90°..AB是⊙O 的直径，.∠AEB=90°.，.∠ADK= ∠AEB..DK∥BE.∴.易得 △MDK△APB,:0-答由 63 题意，易得KD=1,AK=3,AB=4, (第15题) 三、16.(1)如图，直线BF即为所 求作 (2),·AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB. AB//CE, '.∠ABC=∠BCF. ∴.∠BCF=∠ACB,即CB平分 ∠ACE. ,点D在以AB为直径的圆上， .∠ADB=90 .BD⊥AC :BF为⊙O的切线， ∴.∠ABF=90° AB//CE, ∴.∠BFC+∠ABF=180°. ∴.∠BFC=90°，即BF⊥CE. 又，CB平分∠ACE,BD⊥AC, ∴.BD=BF」 B (第16题) 17.(1):∠BAC=∠BCD,∠B= ∠B, .△BACn△BCD. BC BA BD-BC :AB=4√2，D为AB的中点， .BD=AD=2√2. ∴.BC2=AB·BD=16. .BC=4. (2)如图，过点A作AE⊥CD于点 E,连接CO并延长，交⊙O于点F,连 接AF」 在Rt△AED中，coS∠ADC=DE AD 94D=2w8. .DE=1. ∴.AE=√AD2-DE=√7. ,△BACc∽△BCD, “部湖- 设CD=x,则AC=√2x,CE= x-1. 在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE, ∴.(W2x)2=(x-1)2+(7)2,解得 x=2或x=-4(不合题意，舍去). .CD=2,AC=22 易知∠AFC=∠ADC, sim∠AFC=sin∠ADC=AF √14 4 CF为⊙O的直径， ∴.∠CAF=90°. ∴.在Rt△ACF中，sin∠AFC= AC√14 CF 4 ·C℉=8 7 ·⊙0的半径为4 7 -0 D B (第17题) 18.(1)AB=AC, .∠B=∠C .OB=OD, .∠B=∠ODB. ∴.∠ODB=∠C. .OD//AC ,半圆与AC相切于点E, '.OE⊥AC ..OD⊥OE (2).·AB=AC,AB=BC, '.△ABC为等边三角形 ∴.∠A=60. 在Rt△AO中，OE=OD=OB=√3， ..OA= OE sin A =2,AE=0E-1. tanA ∴.AC=AB=OA+OB=2+√5. ∴.EC=AC-AE=1+√3. :四边形O0CE的面积为令× 5+1+)x5=3+号 19.(1)如图，连接H0并延长，交 AB于点G,连接OA. .∴.HG⊥AB 1 ∴AG=BG=2AB=9cm. ∴.OG=VOA2-AG=√/41-9= 40(cm). .汽车底盘E℉到地面的距离为 41+40-61=20(cm). (2)如图，延长BA交EQ于点K,过 点A作⊙O的切线交EQ于点M,则 OA⊥AM,EM的长即为EQ长的最 小值 ∴.∠OAM=90°，EK=20cm. ∴.∠MAK+∠OAG=90. ,∠KMA+∠MAK=90°， ∴.∠KMA=∠GAO. :∠MKA=∠AGO=90°， .∴.△KMAC∽△GAO. …警器 :点O到EQ的距离是59cm, .'.易得KG=59cm. KA=KG-GA =50 cm;GO= 40cm, .KM=11.25cm. .∴.EM=EK-KM=20-11.25= 8.75(cm). 64 '.挡泥板EQ至少要8.75cm长才 能挡住泥沙 车辆行驶方向 0 F M G (第19题) 20.(1)连接OA :BC是⊙O的直径， ∴.∠BAC=90°. ∴.∠ABE+∠OCA=90° .OA=OC, ∴.∠OCA=∠OAC. :∠ABE=∠CAE, ∴.∠OAE=∠CAE+∠OAC= ∠ABE+∠OCA=90. ∴.AE⊥OA OA是⊙O的半径， ∴.AE是⊙O的切线。 (2),S△A=3S△Ax, -8 CD⊥AE ∴.∠BAC=∠ADC=90°. ∠ABC=∠DAC, '.△ABCC∽△DAC. S△AC S△ANC .BC=3AC. ∴.AB=√BC2-AC= √J(J3AC)2-AC2=2AC. :∠ABE=∠CAE,∠E=∠E, ∴.△ABE∽△CAE. .AF-BA-AC-/2 CE AC AC ∴.AE=√2CE=12√2 21.(1)如图①，取格点T,连接AT 交⊙O于点P,点P即为所求作， 由作图，可知OM⊥AP,OM是⊙O 的半径， .PM=AM. (2)如图②，取格点I,连接MI交AB 于点P,点P即为所求作 解析：如图②，作直径AN,连接BM,MN, 取格点F,连接FA,FI.在Rt△FMI 中，a∠FPM=子：在R△MA中， m∠NM= ,∴.tan∠FMW= tan∠MNA.∴.∠FMI=∠MNA. ,∠MBA=∠MNA,∴.∠AMP= ∠MBA..∠PAM=∠MAB &△PAK△MAB.智A￥ .AM=AP·AB 0 ① ② (第21题) 22.(1)连接OC. .AB是⊙O的直径 ∴.∠ACB=90 .∠BCO+∠OCA=90. .OB=OC, .∠B=∠BCO ,∠PCA=∠B, ∴.∠PCA=∠BCO. ∴.∠PCA+∠OCA=90° .OC⊥PC .OC是⊙O的半径， .PC是⊙O的切线， ②)：m月=司 .∠B=30 .∠PCA=∠B=30°. 由(1)，知∠ACB=90°， '.∠CAB=60 ∴.∠P=∠CAB-∠PCA=30. ∴.∠PCA=∠P ..AC=AP. (3)设AD=x. 易得△BCD∽△CAD. 器瑞 .CD2=AD·BD=6x. ∠P=∠P,∠PCA=∠B, ∴.△PACO△PCB. PA PC PCPB' '.PC2=PA·PB=4(6+4+x)= 4(10+x). 在Rt△PCD中，由勾股定理，得 PD2+CD2=PC2. ∴.(4十x)2十6.x=4(10十x),解得 x1=2,x2=-12(不合题意，舍去). .AD=2. 23.(1)四边形ABCD是边长为5 的正方形， ∴.AD=BC=5,∠ADC=90°. ,AE=3, .DE=2. ∴.DE=DF=2. OE=OF=2, ∴.DE=DF=OE=OF=2 ∠ADC=90, ∴.四边形OEDF为正方形 ∴.∠EOF=90° ·∠EMR=2∠BOF=45 (2)连接EF交BD于点H :四边形OEMF为菱形， ∴.OE=EM=OF=MF=2, EH⊥MD ,OM=2, ∴.△OEM,△OFM为等边三角形. 65 .'.∠OEM=∠OME=∠OMF= ∠OFM=60° .EH=EM·sin60°=2x5-5. 2 :四边形ABCD是边长为5的正 方形， .DB平分∠ADC. .∠ADB=45 ∴.△EDH为等腰直角三角形. ∴.DH=EH=5」 ∴.DE=√DH+EH=√6. (3)当∠E0F=150时，分两种情况 讨论： 如图①，此时EMF的长为150πX2 180 3 如图②，此时EMF的长为 (360-150)π×2_7 180 综上所述，当∠EOF=150°时，EMF 的长为号或号 7元 3 ① ② (第23题) 期末拔尖测评（一） -、1.A2.D3.D4.C5.B 6.B7.A8.D 9.B解析：·抛物线的开口向上， ∴.a>0.抛物线与y轴交于负半 轴，∴.c<0.又，抛物线与x轴交于 点(-1,0)，(x1,0),且2<x1<3, 、-b>0..b<0..abc>0.故①拔尖特训·数学（北师版）九年级下 第三章拔尖测评 ◎满分：120分○时间：120分钟 姓名： 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm.以，点C为圆心，2.4cm长为半径作⊙C,则⊙C 与△ABC的三边的交点个数为 () A.0 B.1 C.2 D.3 2.如图，四边形ABCD内接于⊙O.若∠BOD=130°，则∠ECD的度数是 A.50° B.55 C.659 D.70° B C (第2题) (第3题) (第4题) 3.如图，嘉嘉的一面圆形镜子摔碎了，想配一面与原来大小相同的镜子，她把透明三角尺的30°角 的顶，点A放在圆上，将两边与圆的交点分别记为B,C.经测量，弦BC的长为6c,则该镜子 的直径为 () A.6 cm B.9 cm C.12 cm D.15 cm 4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,BD为⊙O的直径.若AB=AC,∠ACB=70°，则∠CBD的 度数为 () A.40° B.50° C.609 D.709 5.如图，在△ABC中，BC=6,以BC为直径的⊙O交边AB于点D.若BD=3,则BD的长为 () A. 2π B.π C.1 D.2π 0 (第5题) (第6题) (第7题) 6.如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为() A.2√2cm2 B.3 cm2 C.2√/3cm D.4 cm2 7.如图，四边形ABCD内接于⊙O,BC∥AD,AC⊥BD.若∠AOD=120°，AD=√3，则∠CAO的 度数与BC的长分别为 () A.10°，1 B.10°，√2 C.15°，1 D.15°，√2 8.如图，AB为半圆O的直径，M,C是半圆弧的三等分点，AB=8,BD与半圆O相切于点B,P 为AM上一动点（不与点A,M重合），直线PC交BD于点D,BE⊥OC于点E,延长BE交 PC于点F,连接BP,BC.有下列结论：①PB=PD;②BC的长为：③∠DBE=45; ④△BCFp△PCB;⑤CF·CP为定值.其中，一定正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 M D D、O B B B (第8题) (第9题) (第10题) 9.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，将BC沿BC翻折交AB于点D,将BD沿AB翻折 交BC于点E.若BE=DE,设∠ABC=a,则a的取值范围是 () A.21.9°<a22.3° B.22.3°<a<22.7° C.22.7°<a<23.1 D.23.1°<a<23.5 10.如图，在四边形材料ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，AD=9cm,AB=20cm,BC=24cm.现 用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆形模板的半径是 () A得m B.8cm C.6√2cm D.10 cm 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.如图，AB为⊙O的直径，BC=BD,∠CDB=24°，则∠ACD的度数为 0 B B (第11题) (第12题) (第13题) 12.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，⊙O的半径为6，则BD的长为 13.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=2,C为OB上一点，将扇形AOB沿AC折叠，使点 B的对应点B落在射线AO上，则图中涂色部分的面积为 14.如图，∠ACB=45°，半径为2的⊙O与角的两边相切，P是⊙O上任意一点，过点P向角的 两边作垂线，垂足分别为E,F.设t=PE十√2PF,则t的取值范围是 0。 (第14题) (第15题) 15.如图，⊙O的直径AB为4，C是⊙O上的动点，D是BC的中点，AD的延长线交⊙O于点 E,连接BE,则BE长的最大值为 7 三、解答题（共75分） 16.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O交边AC于点D,连接BD,过点C 作CE∥AB: (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F(不写作法，保留作 图痕迹，标明字母F). (2)在(1)的条件下，求证：BD=BF. B (第16题) 17.(8分)如图，在△ABC中，AB=4E,D为AB的中点，∠BAC=∠BCD,os∠ADC-2 4 ⊙O是△ACD的外接圆.求： (1)BC的长 (2)⊙O的半径. 0 D (第17题) 18.(9分)如图，在△ABC中，AB=AC,点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的半圆， 交BC于点D,与AC相切于点E,连接OD,OE. (1)求证：OD⊥OE. (2)若AB=BC,OB=√3，求四边形ODCE的面积. (第18题) 19.(10分)如图所示为某汽车前轮的截面示意图，已知轮胎的半径为41cm,轮胎的最高点H比 汽车底盘EF高61cm,轮胎与地面接触的长度AB=18cm. (1)求汽车底盘EF到地面的距离. (2)现计划在点E处加装挡泥板EQ(EQ⊥EF).当汽车行驶时，泥沙会从点A处沿切线向 后甩出.若轮胎中心O到EQ的距离是59cm,求挡泥板EQ至少要多长才能挡住泥沙. 车辆行驶方向 (第19题) 20.(10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，点E在BC的延长线上，连接AE, ∠ABE=∠CAE. (1)求证：AE是⊙O的切线. (2)过点C作CD⊥AE,垂足为D.若△ABC的面积是△ADC的面积的3倍，CE=12,求 AE的长 0 (第20题) 21.(10分) (1)如图①所示为以格点O为圆心，AB长为直径的圆，M为圆上一点，请用无刻度的直尺， 在BM上找出一点P,使PM=AM,写出作法，并给出证明. (2)如图②示为以格点O为圆心的圆，M为AB上一点，请你只用无刻度的直尺，在弦AB 上找出一点P,使AM=AP·AB,写出作法，不必证明 ① ② (第21题) 22.(10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，P是BA的延长线上一点，连接 PC,∠PCA=∠B. (1)求证：PC是⊙O的切线. (2)若sinB=2,求证：AC=AP. (3)若CD⊥AB于点D,PA=4,BD=6,求AD的长. (第22题) 23.(10分)如图①②，正方形ABCD的边长为5，扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且 不与点D重合，半径OE=2,点E,F分别在边AD,CD上，DE=DF(DE≥2)，扇形OEF的 弧交线段OB于点M,记为EMF,连接EM,FM. (1)如图①，当AE=3时，求∠EMF的度数. (2)如图②，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长. (3)当∠EOF=150时，求EMF的长. (① ② (第23题)