专题特训七 圆中辅助线的添加-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

拔尖特训·数学（北师版）九年级下 专题特训七 圆中辅助线的添加 ◆“答案与解析”见P37 类型一作（找）垂径，构造直角三角形 于点E.若∠DBA=40°，则∠BAC的度数是 3 () 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90,sinA=亏 A.40° B.30° C.15°D.10° O是边AC上一点，以OA的长为半径的⊙O 交AB于点D.若BD=2,AD=AC,则线段 OB的长为 (第4题)》 (第5题) 5.(2025·绥化模拟)如图，在△ABC中，∠ACB 90°，AB=5,BC=3,点D在AB的延长线 (第1题) 上，且BD=3,过点D作DE⊥AD,交AC 的延长线于点E,以DE为直径的⊙O交AE A.2W5B.3√/5 C.2/10D. 4√10 3 于点F,连接BE.圆心O到EF的距离是 2.如图，⊙P与x轴交于点A(-5,0),B(1, O),与y轴的正半轴交于点C.若∠ACB= 6.如图，AB是⊙O的直径，C为BD 60°，则点C的纵坐标为 的中点，CF为⊙O的弦，且CF1 AB,垂足为E,连接BD交CF于点 G,连接CD,AD,BF, (1)求证：△BFG≌△CDG. 0 R (2)若AD=BE=2,求BF的长 (第2题) A.13+3 B.2√2+3 C.4√2 D.22+2 3.(2025·泉州模拟)如图，AB是⊙O的直径， 弦CD交AB于点P.若P为OA的中点， (第6题) ⊙O的半径为4，∠APC=30°，则CD的长 为 P A (第3题) 类型二遇直径，构造直径所对的圆周角 4.(2025·苏州模拟)如图，在⊙O中，AB是直 径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交 70 第三章圆 类型三遇切线一连半径，得垂直 类型五证切线一作垂直，证半径 7.(2025·眉山)如图，AB为⊙O的直径，C为9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC, ⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交AB AE⊥BC于点E,∠ADC的平分线 的延长线于点D,过点B作BEDC,交⊙O 交AE于点O,以点O为圆心，OA 于点E,连接AE,AC 的长为半径的圆经过点B,交BC于另一 (1)求证：CE=CB 点F. (2)若∠BAE=60°，⊙O的半径为2，求AC (1)求证：CD与⊙O相切. 的长 (2)若BF=24,OE=5,求tan∠ABC的值. (第7题) (第9题) 类型四证切线一连半径，证垂直 8.(2024·威海)如图，AB是⊙O的直径，点C, D在⊙O上，且BC=CD.E是AB的延长线 上一点，连接EC并延长，交射线AD于点 F.∠FEG的平分线EH交射线AC于点H, ∠H=45°. (1)求证：EF是⊙O的切线. (2)若BE=2,CE=4,求AF的长 BE G (第8题) 71.四边形OHND是矩形 .OH=DN. '.OH=OE,即OH是⊙O的半径 .OH⊥MN, .MN是⊙O的切线. B (第10题)》 11.如图，过点D作DG⊥BC于点 G,延长CO交DA的延长线于点H. ·AM,BN是⊙O的两条切线，DE 与⊙O相切于点E, ,.AD=DE,BC=CE,∠DAB= ∠ABC=90 DG⊥BC, ..∠DGB=90° .四边形ABGD为矩形 .∴.AD=BG,DG=AB=8. .在Rt△DGC中，CD=10, ∴.G℃=√CD-G=√10-82=6. .AD=DE,BC=CE,CD=10, .AD+BG+GC=AD+BC= DE+CE=CD=10. 4AD=BG=号X10-6)=2 .'BC=BG+CG=8. .∠DAB+∠ABC=180°， .AD∥BC. .'.∠AHO=∠BCO,∠HAO= ∠CBO,易得△DHFc∽△BCF. .OA=OB, ..△AHO≌△BCO .'.AH=BC=8. ·AD=2, .DH=AH+AD=10. 在Rt△ABD中，AD=2,AB=8, ∴.BD=WAB+AD'=√82+2= 217. .△DHFC∽△BCF, F,即0 DF 2√17-BF C BE .BF=8/17 91 H E 0 B G CN (第11题) 专题特训七圆中辅助线的 添加 1.B 2.B解析：如图，连接PA,PB, PC,过点P作PD⊥AB于点D, PE⊥OC于点E..∠ACB=60° .∠APB=120.PA=PB, .∠PAB=∠PBA=30°.A(-5, 0),B(1,0),∴.OB=1,OA=5,AB= 6.5AD=BD=号AB=8&OD BD-OB=2.'.在Rt△ADP中， PD=AD,tam30°=3X5=5, 3 AD PA=PB=PC=- 0s30° =2B. √3 2 PD⊥AB,PE⊥OC,DO⊥OE, .易得四边形PEOD是矩形 ∴.OE=PD=5,PE=OD=2 ∴.CE=√PC-PE=√(2W5)2-22 22.∴.OC=CE+OE=22+5, 即点C的纵坐标为2√2+√. DOB花 (第2题) 3.2√15解析：如图，过点O作 OH⊥CD于点H,连接OD.P为 OA的中点，⊙0的半径为4， .OP=2,OD=4.在Rt△OPH中， :∠OPH=∠APC=30°，∴.OH= 2OP=1.在Rt△OPH中，DH √OD-OH=√4-下=√15. 37 :OH⊥CD,.CH=DH=⑤. ∴.CD=2DH=2w√15. 0 D B 0 (第3题) 4.D 12 5. 解析：如图，连接DF,过点O 作OH⊥EP于点H.DE是⊙O 的直径，∴.∠EFD=∠AFD=90°， OE=OD..∠ACB=90°，AB=5, BC=3,BD=3,'.∠ACB= ∠AFD=90°，AD=AB+BD=8. ∴.BCDF.∴.易得△ABCC∽△ADF. 8器DF华：oHL 5 EF,∴.∠EHO=∠EFD=90° .OH∥DF.:OE=OD,∴.易得 OH是△EFD的中位线..∴.OH= Dr=×华圆心0到 BF的距离是号 B D (第5题) 6.(1)C为BD的中点， ∴.CD=BC. :AB是⊙O的直径，且CF⊥AB, .BC=BF .BF=CD ∴.BF=CD. 在△BFG和△CDG中， ∠FGB=∠DGC, ∠F=∠CDG BF=CD, ∴.△BFG≌△CDG (2)如图，过点C作CH⊥AD,交AD 的延长线于点H,连接AC,BC. CD=BC, '.∠HAC=∠BAC,CD=CB .AC为∠HAB的平分线. .CH⊥AD,CE⊥AB, .CH=CE. 在Rt△AHC和Rt△AEC中， AC=AC, CH=CE, '.Rt△AHC≌Rt△AEC. .'AH=AE. 在Rt△CDH和Rt△CBE中， CD=CB, CH=CE, .Rt△CDH≌Rt△CBE. ∴.DH=BE=2. ∴.AE=AH=AD+DH=4. .AB=AE+BE=6. AB是⊙O的直径， ..∠BCA=90°. .·∠BEC=∠BCA=90°，∠EBC= ∠CBA, ∴.△BECc∽△BCA. BC BE BABC' .∴.BC2=BA·BE=6X2=12. .BC=25. BF=BC, '.BF=BC=25. H F (第6题) 7.(1)如图，连接OC. .CD是⊙O的切线， .OC⊥CD BE//DC, .OC⊥BE .CE-CB. (2)如图，过，点O作OH⊥AC于点H. .∴.AH=HC. AB为⊙O的直径， ∴.∠AEB=90 ∴.∠ABE=90°-∠BAE=90°- 60°=30°. BE∥DC, ∴.∠D=∠ABE=30°. ∴.∠AOC=∠OCD+∠D=120°. .OA=OC, .∠0AC=2×180°-120)=30° ∴.在Rt△AOH中，AH=OA· o∠01C=2x95 ∴.AC=2AH=2√3. 0 B (第7题) 8.(1)连接OC. .OA=OC, ∴.∠OAC=∠OCA. BC=CD, ∴.∠BAC=∠DAC= 2∠BAF. ∴.∠OCA=∠DAC. ∴.OC∥AF. ∴.∠OCE=∠F. EH平分∠FEG, ∴.∠FEG=2∠GEH. ,∠GEH=∠H+∠BAC,∠FEG ∠F+∠BAF, ∴.2∠H+2∠BAC=∠F+∠BAF. :∠BAF=2∠BAC, ∴.∠F=2∠H=90 ∴.∠OCE=∠F=90°，即OC⊥EF. .·OC是⊙O的半径， .EF是⊙O的切线， (2).AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90. ∴.∠OBC+∠BAC=90. 又.OB=OC, '.∠OBC=∠OCB. OC⊥EF, ∴.∠OCB+∠BCE=90° ∴.∠BCE=∠EAC. ∠CEB=∠AEC, ∴.△BCEC∽△CAE 器器器 .CE2=BE·AE 38 .AE=8. ∴.AB=8-2=6. BC 1 在R△ABC中，AB=6,AC =2 AC=125 5 :∠F=∠ACB=90°，∠FAC= ∠CAB, '.△FACc∽△CAB. 装器 AC224 ·AF=AB=5: 9.(1)如图，过点O作OG⊥DC,垂 足为G .∠OGD=90 .ADBC,AE⊥BC, .OA⊥AD .DO平分∠ADC,OA⊥AD,OG⊥ DC, ∴.易得OA=OG,即OG为⊙O的 半径. OG⊥CD, .CD与⊙O相切. (2)如图，连接OB,OF. :OB=OF,OE⊥BC, &BE=EP=专BF=12 在Rt△OEF中，OE=5,EF=12, .OF=√OE2+EF=13. .AE=OA+OE=OF+OE=13+ 5=18. ∴.在Rt△ABE中，tan∠ABC= AE183 BE122· (第9题) 专题特训八隐圆问题 1.A 2.2√10-2解析：E为AB的中 点，∴.AE=EB=2.由翻折知，A'E AE=EB=2.如图，以点E为圆心，