第3章 7 切线长定理&解题技巧专题 圆中添加辅助线的方法-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

觉音器异 设AG=4n,则OA=OF=5m. :∠AG0=90°.∴0G=QA-AG=3m, .FG=OF-0G=5m-3m=2m. ￥∠AED=∠AGF=90°. .∠ADB=∠AFG=90°-∠DAE, Ag-0=2. :tan∠ADB=tan∠AFG-F元2m 5.解：(1)AC与⊙O相切.现由如下： 过点O作OD⊥AC于点D.如图. ∠ABC=90,∴.OB⊥CB. 又：OC平分∠ACB, ..OD=OB. .OD是⊙O的半径 .AC与⊙O相切. (2)在R△ABC中，AC=10,BC=6, ∴.AB=/AC-BC=8. :OD⊥AC,∠ODA=∠B=90 又∠A=∠A,∴△AOD∽△ACB, 器怨 设⊙0的半径为x,则后-8号。 解得x=3, 做⊙0的半径为3. 6.解：(1)证明：如图，过点O作(OE⊥AB于点E, AD⊥B0于点D.∠D=90, ∴.∠BAD+∠ABD=90°，∠AOD+ ∠OAD=90. ∠AOD=∠BAD ∴.∠ABD=∠OAD. ,BC为⊙O的切线，，AC⊥BC, .∠C=∠D=90. 又，∠BOC=∠AOD. .∠OBC=∠OAD=∠ABD, OC=OE.OE是⊙0的半径， AB是⊙O的切线. (2)在R△ABC中，a∠ABC=号，BC=6 ∴.AC=BC·mn∠ABC=8,∴AB=√AC+BC=10. 在R△BOC和R△BOE中.OC=OE, BO=BO. .Rt△BOC≌Rt△BOE(HL), .BC=BE=6...AE=4. :∠C=∠AE0=90°， ∴.∠ABC+∠BAC=90°，∠EOA+∠BAC=90, :∠EOA=∠ABC,∴tan∠EOA=tan∠ABC=3, 能=4,0c0E=3.∴0B=BE+0E=35 ∠OBC=∠ABD,∠OCB=∠D=90, .△OBC∽△ABD. OC OB335 “元那·脚D6 .AD=2/5 “7切线长定理 1.B2.125 3.52【解析】如图，设AB,BC,CD,AD与该 D G 圆的切点分别为E,F,G,H,则AE=AH, BE=BF.CF=CG.DG=DH. ..AD+BC=AH+DH+BF+CF=AE+ DG+BE+CG=AB+CD=26. ∴.四边形ABCD的周长为26+26=52. 4.证明：如图，连接CN :BC是⊙O的直径..∠BNC=90°， ·.∠NCM+∠NMC=90°，∠PNC+ ∠PVM=90°， ,PC,PN是⊙O的切线 .PC-PN,∴∠NCM-∠PNC, ∴.∠PNM=∠NMC, .PM-PN. 5.B【解析】由题意，得AF=AD,CF=CE,BD=BE.设AF =x..AD=x.CF=CE-6-x.BD-9-x:BE=5-(6- x)=x一1.∴9-x=x一1，解得x=5,.AF的长为5. 6.30【解析】AC,AB,BC是⊙O的切线，.AD=AF,BD =BE,CE=CF,:AF,BE是方程r2-13x+30=0的两 根，∴.可解得AF=3.BE=10.设CE=CF=x,则AC=3十 x,BC=10十x,AB=13,由勾股定理，得(3+x)2十(10十 x)=13,解得1=2.x1=-15(舍去).AC=5,BC=12. 1 S6m-zX5X12=30. 7.解：(1)PA.PB,CD都是⊙O的切线， ..CA=CE.DE=DB,PA=PB. .△PCD的周长=PD+PC+CD=PD+PC+CA+DB -PA+PB-2PA-12,..PA-6. (2):∠P=60°.∴∠PCE+∠PDE= 120°，.∠ACD+∠CDB-180°+180°- 120°=240°. 如图，连接OA,OE :PA,CD是⊙O的切线 .CA=CE.∠OAC=∠OEC=90. ,OC=OC,∴.Rt△AC≌Rt△EOC(Hl.), i∠0E=∠0A=号∠AcD. 同理，得∠ODE=宁∠CDB. ∴.∠OCE+∠ODE=2(∠ACD+∠CDB)=120 ∴.∠C0D=180°-（∠OCE+∠0DE)=180°-120°=60. 解题技巧专题圆中添加辅助线的方法 1.D【解析】如图，过点O作OC⊥AB于点C,连接OB,则OB =7, PA-4.PB-6...AB-PA+PB-10. OCLAB.AC-BC-7AB-5.PC= PB-BC1. 在R1△OBC中，根据勾股定理，得OC=OB一BC=72- 52-24.在Rt△OPC中，根据勾股定理，得OP /0C+PC=/24+T=5. 2.3【解析】如图，连接OD 31 下册参考答案 直径AB=12,OA=OD=6. cD1AB.∴0=A0=D, BD=CD.:'.BD=CD. 即BD=2AD..∠BOD=2∠AOD :∠BOD+∠AOD=180, ·∠AOD=60'. .OE=0D·cos60=3, AE=0A-OE=3. 3.C【解析】如图，连接BD,,CD是⊙O的 直径，.∠DBC=90. :∠DBA=∠DCA=4I°， ∴∠ABC=90°-∠DBA=49 430 10 【解析】如图，连接AC,BC。 :AB为⊙O的直径， .∠ACB=90°， AB =/AC+BCT= G6+2 210, AC sin∠ABC 6310 AB2/10 10 F∠ADC=∠ABC.∴sin∠ADC=sin∠ABC=3 10 5,解：(1)证明：如图，连接AE :AC为⊙O的直径，∴∠AC=90°， ∴，AE⊥BC.又，AB=AC,∴，BE=CE (2)连接DE,如图， .BE=CE=2...BC=4. ,四边形ADEC是圆内接四边形， ·∠BAC+∠DC=180 .∠DEC+∠BED=180 ,∠BED=∠BAC,而∠DBE=∠CBA. △ED△BAC货-股脚品-M=8 ∴AC=BA=8. 6.解：(1)∠DCE(或∠AEO) (2)证明：如图.连接OC ,PC与半圆相切于点C, ,∴∠0CD=90°， ,∴.∠DCE+∠ACO=90°. OA=OC.∴.∠OAC=∠AC0 :∠DCE=∠DEC=∠AO..∠OAC+∠AEO=90°， .∠AOE=90°，.OD⊥AB (3)i OE=..OA=20E,..AO=2. ∴，EF=OF一OE=x,OD=2x+2,.DE=DC=x+2. :OC+CD=OD. .(2x)2+(x+2)3=(2x+2)2, x1=4,x:=0(不合题意，舍去) .OD=10.OC=OB=8,CD=6. :∠OCD=∠DOP=90°， '.∠D+∠DC=∠DC+∠COP=90 .∠D=∠COP,.△CDO∽△COP, 0器…品g 16 六OP0,BP=OP-OB会3 432 九年级数学BS版 8圆内接正多边形 1.C2.D 3.解：(1)如图所示，正方形ABCD,正六边形 AEFCGH即为所求. (2)证明：连接OE,DE ∠A0D=360°÷4=90°，∠A0E=360°÷ 6=60°. .∠DOE=∠AOD-∠AOE=90°-60 =30°. :360°÷30°=12， .DE为⊙O的内接正十二边形的一边， 4号 【解析】如图①，0C-2,∠0CD-∠ACB=30°， 0D=20C=1: 图D 图3 如图@.：0B=2,∠0BE=宁∠AC=45,0E=BE.在 R1△OBE中.OE+BE2=OB,∴.2OE=OB=4,OE =2: 如图③，0A=2,∠AOD=2∠A0B=30°..OD=OA· c0s∠AOD=2c0s30°=√月 故该三角形的三边长分别为1，厄，3. :12十(2)=(5)产，该三角形是直角三角形，∴该三角 形的面积为日×1x厅-号 5.解：(1)如图，连接OB,OC. ,正三角形ABC内接于⊙O, ·∠BOC=120°，OB=(0C,.∠OBC ∠0CN=30 :∠ABC=60°， ∴.∠OBM=∠OBC=∠OCN=30 又，BM=CN, ∴.△OBM≌△OCN(SAS)..∠BO)M=∠CON, ∴.∠BOM+∠BON=∠CON+∠BON, .∠MON=∠B0C=120°， (2)90°72 3)∠M0N=360 9弧长及扇形的面积 1.B变式题1C变式题2B2.π3.4π4.2元 5.B变式题1C变式题2B 6.C【解析】绳子控在Q桩时牛的活动面积：之x×20+x ×8+子x×]2=252x(m):绳子拴在P桩时牛的话动面 积：7x×20+宁×华+宁×16=268x(m):能子抢在 3 N柱时牛的活动面积：子x×20=300x(m):绳子拴在M*7 切线长定理 已课内基础闯关 已课外拓展提高 知识点切线长定理 5.(教材变式)如图，若△ABC的三边长分别为 1.如图，P为⊙O外一点，PA,PB分别切⊙O AB=9,BC=5,CA=6,△ABC的内切圆 于A,B两点.若PA=3,则PB等于( ⊙O分别切AB,BC,AC于点D,E,F,则 A.2 B.3 C.4 D.5 AF的长为 () A.4 B.5 C.7.5 D.10 601B 第1题图 第2题图 D 第5题图 第6题图 2.(2025蚌埠二模)为了测量一个光盘的直径， 6.如图，⊙O是R1△ABC的内切圆，切点是 小明把直尺、光盘和三角板按如图所示放置 D,E,F.若AF,BE的长是方程x2一13.x十 于桌面上，其中光盘与直尺、三角板均相切， 30=0的两根，则S△Ac= 点A是三角板的一个顶点，B是光盘与直尺 7.如下图，PA,PB是⊙O的切线，CD切⊙O于 的切点，测量得AB=6cm,则这张光盘的直 点E.若△PCD的周长为12，∠P=60°，求： 径是 cm. (1)PA的长. 3.(教材变式)如图，一圆内切于四 (2)∠O的度数 边形ABCD,且AB=16,CD= 10,则四边形ABCD的周长为 第3题图 4.如右图，BC是⊙O的直径， 直线！是过点C的切线，N 是⊙O上的一点，直线BN交 l于点M,过点N的切线交l 于点P.求证：PM=PN. 知识要点归纳 1.过圆外一点可画圆的两条切线，这点和切点之 间的线段长叫做这点到圆的切线长。 2.切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线，它 们的切线长相等】 九年级数学BS版 解题技巧专题 圆中添加辅助线的方法 题型① 遇弦添加弦心距或半径 (2)若BD=1,BE=2,求AC的长. 1.已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P 在弦AB上.若PA=4,PB=6,则OP的长 为 ) A.14 B.4 C.√/23D.5 2.如图，⊙O的直径AB=12,弦CD⊥AB于 点E,连接BD.若BD=CD,则AE的长是 题型③遇切线连接圆心和切点 6.如下图，AB为半圆O的直径，点F在半圆 上，点P在AB的延长线上，PC与半圆相切 第2题图 第3题图 于点C,与OF的延长线相交于点D,AC与 题型②遇直径添加直径所对的圆周角 OF相交于点E,DC=DE (1)写出图中一个与∠DEC相等的角： 3.如图，△ABC内接于⊙O,CD是⊙O的直 径.若∠DCA=41°，则∠ABC的度数是 (2)求证：OD⊥AB. ( A.41° B.45° (3)若OA=2OE,DF=2,求PB的长. C.49 D.59 4.如图，在正方形网格中，每个 小正方形的边长都是1，以 AB为直径的⊙O上有C,D 两点，连接AD,CD.点A, B,C在网格线的交点上，则 第4题图 sin∠ADC的值是 5.如下图，在△ABC中，AB=AC,以AC为直 径的⊙O交AB于点D,交BC于点E (1)求证：BE=CE. 下册第三章 9△