第3章 7 切线长定理-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

∴∠OCB=∠B,∠B=∠E,AE =AB.(2)解：AB为直径， 2BC.:0D=0B,0E=0E,△D0E≌△B0E ∴∠ACB=90°，.AC=√102-62= (SSS),∴∠ODE=∠ABC=90°，∴.OD⊥DE,.DE是 ⊙O的切线.(2)解：，∠ABC=90°，∴.∠ABD十 8..'AB=AE=10,ACLBE,..CE= ∠DBC=90°.由(1)知∠BDC=90°，BC=2DE,∴.∠C+ C=6:2CD·AE=专AC· ∠DBC=90°，BC=2DE=10,∴.∠C=∠ABD.在 CE,∴CD=8X6_24 10-5 R△Ac中Ac=C-里-要0A=0B,E= 5 15.(1)证明：连接OD,,CD是⊙O的切线，∠ODC=90°. AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.，OA=OD, CE,∴0E=2AC-5 ∴∠OAD=∠ODA.:∠DBC=∠ADB+∠OAD=90° 培优专题12：圆的切线的证明方法 +∠OAD.又，∠ADC=∠ODC+∠ODA=90°+ 1.证明：如图，连接OB.AC是⊙O的直径，∴∠ABC= ∠ODA,∴∠ADC=∠DBC.(2)解：由题意，得∠BDC 90°，∠C+∠BAC=90°.OA=OB,.∠BAC=∠OBA. =∠OAD,:tan∠BDC=4, an∠0AD=台0 :∠PBA=∠C,∴.∠PBA+∠OBA=∠C+∠BAC= 90°，即PB⊥OB.又：OB是⊙O的半径，∴.PB是⊙O的 =台（可得△CBD△CDA,是-瓷-职 切线 CD=2.4m,AC-3m,BC=1.92m,AB-AC -BC=1.08m,.⊙0的半径长0.54m. 第2课时切线的判定 1.证明：，BC平分∠ABD,∴∠OBC=∠DBC.OB=OC, ∠OBC=∠OCB,∴.∠OCB=∠DBC,.OC∥BD. 2.证明：如图，作直径AE,连接EC.AD是∠BAC的平分 BD⊥CD,∴.OC⊥CD.又点C为⊙O上一点，.CD 线，∠DAB=∠DAC.PA=PD,∴.∠PAD= 为⊙O的切线. ∠PDA,∴∠PDA=∠PAC+∠DAC.'∠PDA=∠B+ 2.证明：如图，连接OD,OA,过点O作 ∠DAB,∴∠PAC=∠B.∠B=∠E,∴∠PAC=∠E. OE⊥AC于点E.,AB切⊙O于点D, ,AE是⊙O的直径，.∠ACE=90°，.∠EAC十∠E= ∴.OD⊥AB,∴.∠ODB=∠OEC=90°. 90°.∴∠EAC+∠PAC=∠OAP=90°，.PA与⊙O 又，O是BC的中点，.OB=OC. 相切. .AB=AC,.∠B=∠C,△OBD≌ △OCE(AAS),'.OE=OD,OE是⊙O的半径，.AC与 ⊙O相切. 3.B4.C5.C6.A7.C8.B9.D10.< ‘D--1 E 11.(1)证明：如图，连接OD.:△ABC是等边三角形，∠C =∠A=60°.OC=OD,∴.△OCD是等边三角形， 3.(1)证明：如图，连接OD,OA,过点O作OE⊥AB于点E. :AB=AC,O为BC的中点，∴.∠CAO=∠BAO.OD ∴∠CDO=∠A=60°，∴.OD∥AB.DF⊥AB, ⊥AC,OE⊥AB,.OD=OE.∴.OE是⊙O的半径..AB ∴.∠FDO=∠AFD=90°，.OD⊥DF.OD为⊙O的 半径，.DF是⊙O的切线. 是半圆O所在圆的切线.(2)解：由cos∠ABC= 3.AB (2)解：：OD∥AB,OC=OB, =12,得OB=8.由勾股定理，得AO-√AB2-OB2= .OD是△ABC的中位线. ∠AFD=90°，∠A=60°， 45.SAm=合AB·0E=号OB·A0,0E= ∴∠ADF=30°.AF=1,.CD OB·AO85 =OD=AD=2AF=2.在 AB ,即半圆0所在圆的半径是85 31 D Rt△ADF中，由勾股定理，得DF =√AD一AFz=√5.在Rt△ODF中，由勾股定理，得 OF=√OD+DF=√2+3=√7，∴.线段OF的长为√7. 12.(1)证明：连接OD.,AB为⊙O的直径，.∠BDC= ∠ADB=90°.，点E为BC的中点，.DE=BE=CE=4.证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M.,∠ACB=90°， ·20·同行学案学练测 .OC⊥AC.又.AO平分∠CAB,∴.OM=OC,.OM为 培优专题13：圆中常见的辅助线 半圆O的半径，∴.AB为半圆O的切线. 1.B2.A3.6 4.45[解析]如图，连接OA,OB,OE.,四边形ABCD是 正方形，∴AD=BC,∠ADO=∠BCO=90°.，在 (OA=OB R△AD0和R△BC0中，AD=BC,R△ADO≌ Rt△BCO(HL),∴.OD=OC.:四边形 0 B ABCD是正方形，.AD=DC.设AD *7切线长定理 1.(1)A(2)C2.A3.A4.405.57i -acm,则0D=0C=号C=号AD 6.证明：如图，连接AO,OB.PA,PB 为⊙O的切线，.PA=PB,∠OAP= 2acm在Rt△AOD中，由勾股定理，得OA=OB=OE ∠OBP=90°.又.OA=OB, 6 .△OAP≌△OBP(SAS),∴.∠AOC Qcm.小正方形EF0G的面积为16cm2,EF= =∠BOC.又，OC=OC,OA=OB, PC=4m在R△0FE中，由勾股定理，得（气a)广=+ ∴.△ACO≌△BCO(SAS),∴.AC=BC. 7.B8.c9.B10.D11.212.3 (分a十4°，解得a=-4(舍去)或8，则5。 a=45,.该 13.解：(1)AB为⊙O的直径，∠DAB=∠ABC=90°， 半圆的半径是4v5cm. ∴.DA,CB都是⊙O的切线.，CD与⊙O相切于点E, 5.2√6 .'.DE=DA=2,CE=CB=6,..CD=DE+CE=8. 6.(1)证明：如图，连接AO.FE⊥BC,∠CEM=90°， (2)∠ABC=90°，EF⊥AB,.EG∥BC,∴.△DEG∽ .∠ECM+∠CME=90°.FA=FM,∴.∠FAM= △DCB,器-器即g-号解得G=是 ∠FMA=∠CME..'OA=OC,∴.∠ECM=∠OAC, (3)如图，过点D作DH⊥BC于H,则四边形DABH为 ∴∠FAM+∠OAC=90°，∠OAF=90°，.OA⊥AB. 矩形，∴.BH=AD=2,∴.CH=BC-BH=4,∴.DH= OA是半径，∴.直线BF与半圆O相切.(2)解：如图， √CD2-CH=4√5，∴.AB=DH=4√5.，∠DAB= 连接AD.CD是直径，∴∠DAC=90°，∠ACD+ ∠ABC=90,EFLAB,∴AD/EG/C器-器即 ∠ADC=90°.∠BAO=90°，∴.∠BAD+∠OAD=90°. OA=OD,∠OAD=∠ODA,∠BAD+∠ADC= 得-号e得0-38 90°，.∠BAD=∠ACD.∠B=∠B,.△BADn △BCA00BD:B-AB=8 B 7.(1)证明：方法一：如图①，连接BD,AB是⊙O的直径， 14.(1)证明：如图，连接OA,则OA⊥AP.,MN⊥AP, ∴∠ADB=90°.：∠ADC-∠BDC=∠ADB,∠BDC= ∴.MN∥OA.OM∥AP,∴.四边形ANMO是矩形， ∠BAC,∴.∠ADC-∠BAC=90°.方法二：如图②，连接 ∴.OM=AN.(2)解：如图，连接OB,则OB⊥BP. BC,,AB是⊙O的直径，.∠ACB=90°.∠PBC= .OA=MN,OA=OB,OM∥AP,∴.OB=MN,∠OMB ∠BAC+∠ACB,.∠PBC-∠BAC=90°.，四边形 =∠NPM,.△OBM≌△MNP(AAS),.OM=MP.设 ABCD为⊙O的内接四边形，∴.∠ADC+∠ABC=180° OM=x,则NP=9-x,在Rt△MNP中，有x2=32+(9 ,∠PBC+∠ABC=180°，.∠ADC=∠PBC,∴.∠ADC -x)2,.x=5,即OM=5. -∠BAC=90°.(2)解：如图②，由题(1)可得∠ADC= ∠PBC.:∠ACP=∠ADC,∠PBC=∠ACP. ∠BPC=∠CPA,APC△rCA,说-货 .PC2=PA·PB.⊙O的半径为3，AB=6,.PA= PB十6.，CP=4,∴.4=(PB+6)·PB,解得PB=2或了同行学案学练测九年级数学 下BS *7 切线长定理 (教材P94~95练习) 即基础闯关 >>>>》>>> 难度等级基础题 4.如图，AE,AD,BC分别切⊙O于点E,D,F, 知识点一：切线长定理及其应用 若AD=20,则△ABC的周长为 1.[一题多辨](1)如图①，PA,PB分别与⊙O相 切于A,B两点，点C为⊙O上一点，连接AC, BC,若∠P=50°，则∠ACB的度数为() A.115 B.130° C.65° D.75° 第4题图 第5题图 A 5.(温州中考)如图，⊙O分别切∠BAC的两边 AB,AC于点E,F,点P在EDF上，若 ∠BAC=66°，则∠EPF= ① ② 6.如图，PA,PB分别切⊙O于点A,B,连接 (2)如图②，AB是⊙O的直径，点C为⊙O PO与⊙O相交于点C,连接AC,BC.求证： 外一点，CA,CD分别与⊙O相切于点A,D, AC=BC. 连接BD,AD.若∠DBA=65°，则∠ACD的 度数是( ) A.70° B.60° C.50° D.40° 2.如图，∠A=60°，BC=6,△ABC的周长为 16.若⊙O与BC,AC,AB三边分别切于点 E,F,D,则DF的长为() A.2 B.3 C.4 D.6 知识点二：四边形的内切圆 7.[推理能力]如图，⊙O是四边形ABCD的内 切圆，下列结论一定正确的有() B 第2题图 第3题图 3.如图是用一把直尺、一个含60°角的直角三角 尺和圆盘摆放而成的，点A为60°角与直尺交 点，点B为圆盘与直尺唯一交点，若AB=3, 则圆盘的直径是() ①AF=BG;②CG=CH;③AB+CD= A.6√3 B.33 AD+BC;④BG<CG. C.6 D.3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 86】做神龙题得好成绩 第三章圆☑ 8.如图，AB,AC,BD都是⊙O 13.如图，AB为⊙O的直径，∠DAB=∠ABC 的切线，切点分别是P,C,D. =90°，CD与⊙O相切于点E,EF⊥AB于 若AB=5,AC=3,则BD的 点F,EF交BD于点G,若AD=2,BC=6. 长是( (1)求CD的长. A.4 B.3 C.2 D.1 (2)求EG的长， 即能力提升 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级中等题 (3)求FB的长. 9.[创新意识]如图，△ABC是一张周长为 17cm的三角形的纸片，BC=5cm,⊙O是它 的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿 B 着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下 △AMN,则剪下的三角形的周长为( A.12 cm B.7cm C.6 cm D.随着直线MN的变化而 变化 10.(广州中考)如图，△ABC的内切圆⊙I与 即培优创新 >>>》>》>》>难度等级综合题 BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,若⊙I 14.如图，PA,PB分别与⊙O相切于点A,B, 的半径为r,∠A=a,则BF十CE一BC的值 点M在PB上，且OM∥AP,MN⊥AP,垂 和∠FDE的大小分别为() 足为点N, A.2r,90°-a B.0,90°-a (1)求证：OM=AN. C.2r,90°-0 D.0,90°- (2)若⊙O的半径R=3,PA=9,求OM 2 2 的长. B 第10题图 第11题图 11.如图，⊙O与△ABC中AB,AC的延长线及 BC边相切，且∠ACB=90°，∠A,∠ABC, ∠ACB所对的边长依次为3,4,5，则⊙O的 半径是 12.[运算能力]（常州中考）如 图，半径为√3的⊙O与边 长为8的等边三角形ABC 的两边AB,BC都相切，连 接OC,则tan∠OCB= 做神龙题得好成绩87