6 直线和圆的位置关系-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

方法归纳 确定圆弧或三角形 外接圆圆心的方法 确定圆弧的圆心，只需在圆弧 上找到三个点，确定这三个点所构 成的三角形的外心即可.此外，据 垂径定理的推论，可知圆孤上任意 两条孤所对的弦的垂直平分线的 交点即为圆心.特别地，在网格中 确定三角形的外接圆圆心时，可借 助网格的特点，快速找到两边的垂 直平分线的交点，即圆心 8.2√5解析：由题意可知，AB= BC=2,CF=CH=HG=4.如图，取 CH的中点O,连接OA,OF,G,则 OC=OH=2,OB=4.由勾股定理，可 得OA=√AB2+OB7=2√5.同理， 可得OF=OG=25.∴.OA=OF= OG,即点O为该圆的圆心..该圆的 半径为25. C(E)H (第8题) 9.103 3 解析：如图，能够将△ABC 完全覆盖的最小圆是△ABC的外接 圆.设△ABC外接圆的圆心为O,过 点O作OD⊥BC于点D,连接OB, OC..∠A=60°，..∠BOC= 2∠A=120°.，OD⊥BC,BC= 5 cm,ZODB=90',BD=2BC= 2cm.'OB=OC,∠BOD 5 ∠OD=3∠B0C-=60.在R△0BD BD 5√3 中，OB= sin/BOD 3 cm. ·△ABC外接圆的直径是105 3 cm, 即能够将△ABC完全覆盖的最小圆 形纸片的直径是103 3 cm. B (第9题) 10.(1)如图①，由DA=DB=DC可 知，点A,B,C在以点D为圆心，DA 的长为半径的圆上 ∴.∠ADB=2∠ACB. (2)如图②，点C1,C2即为所求 ② (第10题) 11.(1)由折叠的性质，可知△ADE≌2 △ADC, ∴.∠AED=∠ACD,AE=AC. ,∠ABD=∠AED, .∠ABD=∠ACD. ..AB=AC. .AE-AB (2)如图，过点A作AH⊥BE于点H. .AB=AE,BE=2, '.∠ABE=∠AEB,BH=EH=1. :∠AEB=∠ADB,cOs∠ADB=3, ·cOS∠ABE=co8∠ADB= 31 BH ·在R△ABH中，AB=COSABE-3 ..AC=AB=3. 又.·∠BAC=90° '.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 33 BC=√AB2+AC=32. (第11题) 12.(1).FA=FE, ∴.∠FAE=∠AEF ,'∠FAE=∠BCE,∠AEF=∠CEB, ∴.∠CEB=∠BCE. :CE平分∠ACD, ∴.∠ACE=∠DCE. AB是⊙O的直径， .∠ACB=90. ∴.∠CEB+∠DCE=∠BCE+ ∠ACE=∠ACB=90°， ∴.∠CDE=90°. .CD⊥AB. (2)OM=OE=1, ∴.ME=2. 由(I)知，∠BEC=∠BCE, .BE=BC. AF=EF,FM⊥AB, ∴.MA=ME=2,AE=4. ∴.OB=OA=AE-OE=3. .BC=BE=OB-OE=2. 在△ABC中，AB=6,BC=2, ∠ACB=90°， ∴.AC=V√AB-BC=√62-2= 4√2 6直线和圆的位置关系 第1课时直线与圆的位置关系 及切线的性质 1.C2.20°3.1或5 4.连接OD. ,以OA为半径的⊙O与边BC相切 于点D, .OD⊥BC. :∠ABC=90°，即AB⊥BC, '.OD∥AB. .∠ODA=∠BAD .OA=OD, ∴.∠ODA=∠OAD. ∴.∠BAD=∠OAD. .AD平分∠BAC. 5.D6.D 7.C解析：如图，连接OA,OB PA与⊙O相切于点A,.OA⊥ PA..∠AOP=90°-∠P=90° 30°=60°.AB∥PC,∴.∠OAB= ∠AOP=60°.OA=OB,∴.△AOB 为等边三角形..∠AOB=60°， ∴.∠BOC=180°-∠AOP-∠AOB= 60.OB=OC,∴.△BOC为等边 三角形.∴.∠BCP=60 (第7题) 解析：连接OA,OB,过，点A 作AD⊥OB于点D.,长边与⊙O 相切于点B,∴.OB⊥BC.,AC⊥ BC,AD⊥OB,∴.易得四边形ACBD 为矩形.∴.BD=AC=6cm,AD= BC=8cm.设⊙O的半径为rcm,则 OA=OB=rcm.∴.OD=OB BD=(r-6)cm.在Rt△OAD中， AD2+OD2=OA2,即82+(r-6)2= ,解得r=三：⊙0的半径为 25 3 cm. 9.32贴解析：如图，设半圆O1,半 圆O2,半圆O3,…,半圆O,与直线1 分别相切于点A1,A2,A3,…,A,连 接O1A1,O2A2,O3A3,…,OnAm ∴.∠OA,O1=∠OA202 ∠OA3O3=·=∠OAO.=90°. tana=3,∠A,00,=a=30 在Rt△OA,O1中，O1A,=r1=1 3..O01=201A1=2r1=2.在 Rt△OA2O2中，O02=202A2,∴.2+ 1十r2=2r2..r2=3=3.同理，可得 r3=9=32.∴.依次类推，可得 T2026=32025. 0102 03 (第9题) 10.(1)如图，连接PC,PB,过点P 作PH⊥AB于点H. A(0,8),B(0,2), .AB=6. PH⊥AB, .'AH=BH=3. ..OH=5. ,⊙P与x轴相切于点C, .PC⊥x轴 ∴.易得PC=OH=5. .PB=5. 在Rt△PBH中，由勾股定理，得 PH=VPB2-BH2=4. '.点P的坐标为(4,5) (2)如图，连接AP并延长，交⊙P于 点M,连接BM,则∠ABM=90. 由(1)，得⊙P的半径为5，AB=6, ∴.AM=10. .BM=VAM2-AB2=8 ·cOS∠ACB=cs∠AMB=BY AM 8= 4 10-5· B (第10题) 1.号或3VE解析：在△A议 中，∠C=90°，AC=12,BC=BD+ CD=18,∴.由勾股定理，得AB= √AC+BC=√122+18=6√/13.在 Rt△ADC中，∠C=90°，AC=12, CD=5,∴.由勾股定理，得AD= √AC+CD=√122+5=13.当 34 ⊙P与边BC相切时，点P到边BC 的距离为6过点P作PH⊥BC于点 H,则PH=6.∠C=90°，∴.AC⊥ BC..PH∥AC..易得△PHD∽ △AD.-照即g=是 DP-AP=AD-DP 13-号-号当⊙P与边AB相切 时，点P到边AB的距离为6.过点P 作PG⊥AB于点G,则∠AGP=90°， PG=6.:AD=BD=13, ∴.∠PAG=∠B.:'∠AGP=∠C= 90,.△AGP∽△BCA.BA AP g,即AP-6 6v1312 .AP=3/13. CD=5<6,.半径为6的⊙P不 与△ABC的边AC相切.综上所述， AP的长为竖或3丽 12.(1)连接OC. AB与⊙O相切于点C, .OC⊥AB. .OA=OB,∠AOB=80, ·∠COB=∠CQ0A=2∠A0B=40. ÷∠CFD-号∠C08=20 (2)连接OC. DG是⊙O的直径，⊙O的半径 为3， ∴.∠DEG=90°，DG=6. EC//OA, ∴.∠EFG=∠AOB=80°. 由(1)，得∠CED=20°， ∴.∠EDG=∠EFG-∠CED=60. .∠G=90°-∠EDG=30°. ED=2DG=3. ∴.EG=V√DG2-ED2=√62-32= 33. 第2课时切线的判定 及三角形的内切圆 1.C2.130 3.(1)连接OC. ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°. ∴.∠A+∠ABC=90°. .OB=OC, ∴.∠ABC=∠OCB. ∠BCD=∠A, .∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD= 90°. .OC⊥CD, OC为⊙O的半径， ∴.CD是⊙O的切线. (2)B是AD的中点， .'BD=AB=20C. OB=OC, .'OD=OB+BD=30C. :BE⊥AD, '.∠DBE=90 ,∠DCO=90, &mD器品 ∴.DE=3BE=9. 在Rt△DBE中，BD=√DE一BE √/92-3=62. .OC=32,即⊙0的半径为3√2. 4.A5.A 6.B解析：如图.，AB为⊙O的直 径，.∠ADB=90°.∴.BD⊥AC. AB=CB,∴.AD=DC..①正 确.AB=CB,.∠1=∠2. :CD=ED,.∠3=∠4.：CF∥ AB,.∠1=∠3..∠1=∠2= ∠3=∠4.∴△CBA△CDE..② 正确.：△ABC不能确定为直角三 角形，∴.∠1不能确定等于45. .BD与AD不能确定相等..④不 一定正确.，DA=DC=DE,.点 E在以AC为直径的圆上.，易得 ∠AEC=90,.CE⊥AE.:CF∥ AB,∴.AB⊥AE.,AB为⊙O的直 径，∴.AE为⊙O的切线.∴③正确. 综上所述，一定正确的是①②③ 0 E A (第6题) 7.135°解析：连接EC.:CD⊥ AB,.∠ADC=90°..⊙E是 △ACD的内切圆，∴.点E是△ACD 的内心..∠ECA=∠ECD,∠EAC= ∠EAB.,'.∠EAC+∠ECA= 2∠DAc+∠cA)=21s ∠ADC)=45°.∴.在△ACE中， ∠AEC=180°-（∠EAC+∠ECA)= 180°-45°=135°.在△AEB和△AEC AE-AE, 中，∠EAB=∠EAC,.∴.△AEB≌ AB-AC, △AEC.∴.∠AEB=∠AEC=135. 8.(1)如图，连接OC. AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°，即∠1+∠2=90. OA=OC, .∠A=∠1. :∠BCD=∠A, .∠BCD=∠1. ∴.∠BCD+∠2=90°，即∠OCD 90°. .OC⊥CD ,OC是⊙O的半径， .CD是⊙O的切线 (2)如图，连接EC :∠BCD=∠A,∠D=∠D, ∴.△BCDn△CAD. “器答器 BD=2,CD=4, 4 BC 2 AD-AC-4 BC 1 .AD=8,AC=2 '.AB=AD-BD=8-2=6. 35 设BC=a,则AC=2a. .AC2+BC2=AB2, ∴.(2a)2+a2=62. a=6 51 ·BC=65 51 E是AC的中点， .AE=EC. ∴.∠3=∠4. :∠CEB=∠A, ∴.△CEBn△FAB. 器-器周E·=AB· BC. EH⊥AB, ∴.AB垂直平分EH. .BE=BH. ∴.BH·BF=AB·BC BF·BH=6x65365 5 5 D (第8题) 方法归纳 与切线有关的问题的 辅助线添加技巧 解决与圆的切线有关的问题 时，常常需要作出过切，点的半径 证明圆的切线时，若已知切点，则 可连半径，证垂直：若切点未知，则 作垂直，证半径」 9.(1)如图，连接D0并延长，交⊙O 于点G,连接BG. 点E是△ABC的内心， ∴.AD平分∠BAC. ∴.∠BAD=∠CAD :∠G=∠BAD,∠BDM=∠CAD, '.∠BDM=∠G. DG为⊙O的直径， ∴.∠GBD=90°. .∠G+∠BDG=90° '.∠BDM+∠BDG=90°. .∠ODM=90°，即OD⊥DM .OD是⊙O的半径， ∴.直线DM是⊙O的切线 (2)如图，连接BE. 点E是△ABC的内心， ,'.∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠CAD ∠CAD=∠CBD, ·∠CBD=∠BAD ∴.∠EBD=∠CBE+∠CBD= ∠ABE+∠BAD 又∠BED=∠ABE+∠BAD, .∴.∠EBD=∠BED .'DB=DE. .∠FBD=∠BAD,∠BDF=∠ADB ∴.△DBFc∽△DAB. DB DE DA=DB· .DB2=DF·DA. .DE2=DF·DA. G A O1-E B C M D (第9题) *7切线长定理 1.D2.70 3.(1)ADOE. 理由：，CE,BE是⊙O的切线， ∴.∠ODE=∠OBE=90. 在Rt△DOE和Rt△BOE中， OD=OB, OE=OE. .Rt△DOE≌Rt△BOE. .∠DOE=∠BOE. .'OA=OD, .∠ODA=∠OAD. ,·∠DOB =∠DOE+∠BOE= ∠ODA+∠OAD, ∴.∠DOE=∠ODA. ∴.AD∥OE. (2).CE,BE是⊙O的切线， '.DE=BE=6, ..CE=DE+CE=6+4=10, ∴.BC=√CE2-BE=8. 设OB=OD=r,则OC=8-r. CD2+OD2=0C2, .4+r2=(8-r)2,解得r=3,即 ⊙O的半径为3. 4.B5.D 6.B解析：如图，连接DB,DE.设 AB=m:2部=子，D 3AB=31.:AD是AE所在圆的半 径，AD⊥AB,∴.AB是AE所在圆的 切线.AE所在圆与BC相切于点 E,DE是AE所在圆的半径，∴.BC⊥ DE,EB=AB=m.∴.易得∠CBD= ∠ABD.AB∥CD,∴.∠ABD= ∠CDB...∠CBD=∠CDB. ∴.CB=CD=3m.∴.CE=CB EB=3m-m=2m..∠CED=90°， ∴.DE=√CD-CE= √(3m)2-(2m)7=√5m.∴.sinC= DE5m 5 CD 3m 3 A B D (第6题) 7.110解析：四边形ABCD是 ⊙O的外切四边形，'.易得AD+ BC=AB+CD=22.,∴.四边形ABCD 的周长=AD+BC+AB+CD=44. ,⊙0的半径r=5,∴.易得四边形 ABCD的面积=2×四边形ABCD 1 的周长×r=2X44X5=110, 8.219°解析：连接AB.PA,PB 是⊙O的切线，∴.PA=PB.在 △APB中，∠P=102°，∴.∠PAB= ∠PBA= 2×(180-102)=39 :∠DAB+∠C=180,.∠PAD+ 36 ∠C=∠PAB+(∠DAB+∠C)= 39°+180°=219° 9.4解析：.AB=5,BC=13, CA =12,.AB2+CA2=BC2. ∴.△ABC为直角三角形，∠A=90°. :AB,AC与⊙O分别相切于点F, E,.OF⊥AB,OE⊥AC,AE=AF. ∴.易得四边形OFAE为正方形.设 OE=r,则AE=AF=r.△ABC 的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相 切于点D,E,F,.BD=BF=5一r, CD=CE=12-r.∴.5-r+12-r= 13..r=2..阴影部分（即四边形 AEOF)的面积是2×2=4. 方法归纳 与切线长定理有关的几个结论 (1)如果直角三角形的两条直 角边的长分别为a,b,斜边长为c, 那么此直角三角形内切圆的半径 1 r=2u+b-c). (2)圆外切四边形的两组对边 之和相等 (3)圆外切平行四边形是菱 形，圆外切矩形是正方形. (4)若一个四边形的两组对边 之和相等，则这个四边形是圆外切四 边形，即这个四边形有一个内切圆. 10.(1)AD;BE:1. (2)如图，过点O作OH⊥MN于点 H,连接OD,OE,OF. ,∠ANM=∠ACB=90°，∠A= ∠A,AM=AB, ∴.△AMN≌△ABC. ..AN=AC. :AD,AF为⊙O的切钱， ∴.AD=AF. '.AN-AD=AC-AF,即DN= CF. 易得四边形OECF为正方形， .CF=OE. .DN=OE. .∠ANM=∠ODN=∠OHN=90°，拔尖特训·数学（北师版）九年级下 6 直线和圆的位置关系 第1课时 直线与圆的位置关系及切线的性质丶“答案与解析"见33 ☑基础进阶 淘素能攀升 1.(2025·三明模拟)三个半径均为6的圆与直 5.已知同一平面内有⊙0和点A,B.如果⊙O 线！的位置关系如图所示.若点P在其中的 的半径为6cm,线段OA=10cm,线段OB= 某个圆上，且点P到直线1的距离为8，则这 6cm,那么直线AB与⊙O的交，点个数为 个圆只能是 () A.⊙O B.⊙O3 A.0 B.1 C.2 D.1或2 C.⊙O2或⊙O3 D.⊙O1或⊙O2 6.在△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=5,以 点C为圆心，r为半径作圆.若⊙C与边AB 0 只有一个公共点，则r的取值范围是() '0 (第1题) (第2题) A号 B.3≤r≤4 2.(2025·安徽)如图，AB是⊙O的弦，PB与 ⊙O相切于点B,圆心O在线段PA上.已知 C0<3或，>4D3<r≤4或，=12 5 ∠P=50°，则∠PAB的度数为 7.(2025·福建)如图，PA与⊙O相切于点A, 3.分类讨论思想在平面直角坐标系中，⊙P的半 PO的延长线交⊙O于点C.AB∥PC,且交 径为2，圆心P的坐标为（一3,0），将⊙P沿 ⊙O于点B.若∠P=30°，则∠BCP的度 x轴的正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平 数为 移的距离为 A.30° B.45°C.60° D.75 4.(2025·广东)如图，O是Rt△ABC的斜边 AC上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC 相切于点D,连接AD.求证：AD平分∠BAC (第7题) (第8题) 8.如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A,长 (第4题) 边与⊙O相切于点B,角尺的直角顶点为C. 已知AC=6cm,CB=8cm,则⊙O的半径为 cm. 9.如图，圆心都在x轴的正半轴上的半圆O1, 半圆O2,半圆O3,…,半圆Om与直线1相 切.设半圆O1,半圆O2,半圆O3,…,半圆 On的半径分别是r1,r2,r3,…,r,则当直线 l与x轴所成锐角为a,tana= ,且1=] 64 第三章圆 时，r2026的值是 12.(2025·天津)已知AB与⊙O相 切于点C,OA=OB,∠AOB=80°， OB与⊙O相交于点D,E为⊙O 010 03 上一点，连接CE,ED (第9题) (1)如图①，求∠CED的度数 10.如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象 (2)如图②，当ECOA时，EC与OB相交 限内，⊙P与x轴相切于点C,与y轴相交 于点F,延长BO与⊙O相交于点G,连接 于点A(0,8),B(0,2),连接AC,BC.求： GE.若⊙O的半径为3，求ED和EG的长. (1)点P的坐标 (2)cos∠ACB的值， B ① ② (第12题) (第10题) 筋思维拓展 11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12, 点D在边BC上，CD=5,BD=13,P是线 段AD上一动点.当半径为6的⊙P与 △ABC的一边相切时，AP的长为 (第11题) 65 拔尖特训·数学（北师版）九年级下 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆“答案与解析”见34 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上 4.如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D, (不与点A,B重合)，DE⊥AB于点D,交 DE⊥AC于点E,连接OD,要使DE所在直 BC于点F,连接CE.下列条件中，能判定 线是⊙O的切线，还需补充一个条件.下列条 CE所在直线是半圆O的切线的为( 件中，不符合的是 () A.∠E=∠EF℃ B.∠E=∠ECF A.DE=DO B.AB=AC C.∠ECF=∠EFCD.∠ECF=60 C.CD=DB D.AC//OD (第1题) (第2题) 2.如图，点I是△ABC的内心，点O是△ABC (第4题) (第5题) 的外心.若∠BOA=160°，则∠BIA的度数 5.如图，⊙O是△ABC的内切圆.若△ABC的 是 周长为18，面积为9，则⊙0的半径是() 3.(2025·齐齐哈尔)如图，△ABC内接于⊙O, A.1 B.√2 AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上， C.1.5 D.2 连接CD,∠BCD=∠A,过点B作BE⊥ 6.(2025·周口太康期末)如图，在△ABC中， AD,交CD于点E. AB=CB,以AB为直径的⊙O交AC于点 (1)求证：CD是⊙O的切线 D.过点C作CFAB,在CF上取一点E,使 (2)若B是AD的中点，且BE=3,求⊙O的 DE=CD,连接AE.有下列结论：①AD= 半径. DC;②△CBA∽△CDE;③AE为⊙O的 切线；④BD=AD.其中，一定正确的是 ( A.①② B.①②③ (第3题) C.①②④ D.①③④ 0 A (第6题) (第7题) 7.如图，在扇形CAB中，CD⊥AB,垂足为D, ⊙E是△ACD的内切圆，连接AE,BE,则 ∠AEB的度数为 66 第三章圆 8.*(2025·遂宁)如图，AB是⊙O的 思维拓展 直径，C是⊙O上的一点，连接AC, 9.如图，点E是△ABC的内心，AE的 BC,延长AB至点D,连接CD,使 延长线交BC于点F,交△ABC的 ∠BCD=∠A 外接圆⊙O于点D.连接BD,过点 (1)求证：CD是⊙O的切线 D作直线DM,使∠BDM=∠DAC.求证： (2)E是AC的中点，连接BE,交AC于点 (1)直线DM是⊙O的切线. F,过点E作EH⊥AB,交⊙O于点H,交 (2)DE2=DF·DA. AB于点G,连接BH.若BD=2,CD=4,求 BF·BH的值 0 (第9题) (第8题) 67