第3章 6 第2课时 切线的判定&培优专题12：圆的切线的证明方法-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

∴∠OCB=∠B,∠B=∠E,AE =AB.(2)解：AB为直径， 2BC.:0D=0B,0E=0E,△D0E≌△B0E ∴∠ACB=90°，.AC=√102-62= (SSS),∴∠ODE=∠ABC=90°，∴.OD⊥DE,.DE是 ⊙O的切线.(2)解：，∠ABC=90°，∴.∠ABD十 8..'AB=AE=10,ACLBE,..CE= ∠DBC=90°.由(1)知∠BDC=90°，BC=2DE,∴.∠C+ C=6:2CD·AE=专AC· ∠DBC=90°，BC=2DE=10,∴.∠C=∠ABD.在 CE,∴CD=8X6_24 10-5 R△Ac中Ac=C-里-要0A=0B,E= 5 15.(1)证明：连接OD,,CD是⊙O的切线，∠ODC=90°. AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.，OA=OD, CE,∴0E=2AC-5 ∴∠OAD=∠ODA.:∠DBC=∠ADB+∠OAD=90° 培优专题12：圆的切线的证明方法 +∠OAD.又，∠ADC=∠ODC+∠ODA=90°+ 1.证明：如图，连接OB.AC是⊙O的直径，∴∠ABC= ∠ODA,∴∠ADC=∠DBC.(2)解：由题意，得∠BDC 90°，∠C+∠BAC=90°.OA=OB,.∠BAC=∠OBA. =∠OAD,:tan∠BDC=4, an∠0AD=台0 :∠PBA=∠C,∴.∠PBA+∠OBA=∠C+∠BAC= 90°，即PB⊥OB.又：OB是⊙O的半径，∴.PB是⊙O的 =台（可得△CBD△CDA,是-瓷-职 切线 CD=2.4m,AC-3m,BC=1.92m,AB-AC -BC=1.08m,.⊙0的半径长0.54m. 第2课时切线的判定 1.证明：，BC平分∠ABD,∴∠OBC=∠DBC.OB=OC, ∠OBC=∠OCB,∴.∠OCB=∠DBC,.OC∥BD. 2.证明：如图，作直径AE,连接EC.AD是∠BAC的平分 BD⊥CD,∴.OC⊥CD.又点C为⊙O上一点，.CD 线，∠DAB=∠DAC.PA=PD,∴.∠PAD= 为⊙O的切线. ∠PDA,∴∠PDA=∠PAC+∠DAC.'∠PDA=∠B+ 2.证明：如图，连接OD,OA,过点O作 ∠DAB,∴∠PAC=∠B.∠B=∠E,∴∠PAC=∠E. OE⊥AC于点E.,AB切⊙O于点D, ,AE是⊙O的直径，.∠ACE=90°，.∠EAC十∠E= ∴.OD⊥AB,∴.∠ODB=∠OEC=90°. 90°.∴∠EAC+∠PAC=∠OAP=90°，.PA与⊙O 又，O是BC的中点，.OB=OC. 相切. .AB=AC,.∠B=∠C,△OBD≌ △OCE(AAS),'.OE=OD,OE是⊙O的半径，.AC与 ⊙O相切. 3.B4.C5.C6.A7.C8.B9.D10.< ‘D--1 E 11.(1)证明：如图，连接OD.:△ABC是等边三角形，∠C =∠A=60°.OC=OD,∴.△OCD是等边三角形， 3.(1)证明：如图，连接OD,OA,过点O作OE⊥AB于点E. :AB=AC,O为BC的中点，∴.∠CAO=∠BAO.OD ∴∠CDO=∠A=60°，∴.OD∥AB.DF⊥AB, ⊥AC,OE⊥AB,.OD=OE.∴.OE是⊙O的半径..AB ∴.∠FDO=∠AFD=90°，.OD⊥DF.OD为⊙O的 半径，.DF是⊙O的切线. 是半圆O所在圆的切线.(2)解：由cos∠ABC= 3.AB (2)解：：OD∥AB,OC=OB, =12,得OB=8.由勾股定理，得AO-√AB2-OB2= .OD是△ABC的中位线. ∠AFD=90°，∠A=60°， 45.SAm=合AB·0E=号OB·A0,0E= ∴∠ADF=30°.AF=1,.CD OB·AO85 =OD=AD=2AF=2.在 AB ,即半圆0所在圆的半径是85 31 D Rt△ADF中，由勾股定理，得DF =√AD一AFz=√5.在Rt△ODF中，由勾股定理，得 OF=√OD+DF=√2+3=√7，∴.线段OF的长为√7. 12.(1)证明：连接OD.,AB为⊙O的直径，.∠BDC= ∠ADB=90°.，点E为BC的中点，.DE=BE=CE=4.证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M.,∠ACB=90°， ·20·同行学案学练测 .OC⊥AC.又.AO平分∠CAB,∴.OM=OC,.OM为 培优专题13：圆中常见的辅助线 半圆O的半径，∴.AB为半圆O的切线. 1.B2.A3.6 4.45[解析]如图，连接OA,OB,OE.,四边形ABCD是 正方形，∴AD=BC,∠ADO=∠BCO=90°.，在 (OA=OB R△AD0和R△BC0中，AD=BC,R△ADO≌ Rt△BCO(HL),∴.OD=OC.:四边形 0 B ABCD是正方形，.AD=DC.设AD *7切线长定理 1.(1)A(2)C2.A3.A4.405.57i -acm,则0D=0C=号C=号AD 6.证明：如图，连接AO,OB.PA,PB 为⊙O的切线，.PA=PB,∠OAP= 2acm在Rt△AOD中，由勾股定理，得OA=OB=OE ∠OBP=90°.又.OA=OB, 6 .△OAP≌△OBP(SAS),∴.∠AOC Qcm.小正方形EF0G的面积为16cm2,EF= =∠BOC.又，OC=OC,OA=OB, PC=4m在R△0FE中，由勾股定理，得（气a)广=+ ∴.△ACO≌△BCO(SAS),∴.AC=BC. 7.B8.c9.B10.D11.212.3 (分a十4°，解得a=-4(舍去)或8，则5。 a=45,.该 13.解：(1)AB为⊙O的直径，∠DAB=∠ABC=90°， 半圆的半径是4v5cm. ∴.DA,CB都是⊙O的切线.，CD与⊙O相切于点E, 5.2√6 .'.DE=DA=2,CE=CB=6,..CD=DE+CE=8. 6.(1)证明：如图，连接AO.FE⊥BC,∠CEM=90°， (2)∠ABC=90°，EF⊥AB,.EG∥BC,∴.△DEG∽ .∠ECM+∠CME=90°.FA=FM,∴.∠FAM= △DCB,器-器即g-号解得G=是 ∠FMA=∠CME..'OA=OC,∴.∠ECM=∠OAC, (3)如图，过点D作DH⊥BC于H,则四边形DABH为 ∴∠FAM+∠OAC=90°，∠OAF=90°，.OA⊥AB. 矩形，∴.BH=AD=2,∴.CH=BC-BH=4,∴.DH= OA是半径，∴.直线BF与半圆O相切.(2)解：如图， √CD2-CH=4√5，∴.AB=DH=4√5.，∠DAB= 连接AD.CD是直径，∴∠DAC=90°，∠ACD+ ∠ABC=90,EFLAB,∴AD/EG/C器-器即 ∠ADC=90°.∠BAO=90°，∴.∠BAD+∠OAD=90°. OA=OD,∠OAD=∠ODA,∠BAD+∠ADC= 得-号e得0-38 90°，.∠BAD=∠ACD.∠B=∠B,.△BADn △BCA00BD:B-AB=8 B 7.(1)证明：方法一：如图①，连接BD,AB是⊙O的直径， 14.(1)证明：如图，连接OA,则OA⊥AP.,MN⊥AP, ∴∠ADB=90°.：∠ADC-∠BDC=∠ADB,∠BDC= ∴.MN∥OA.OM∥AP,∴.四边形ANMO是矩形， ∠BAC,∴.∠ADC-∠BAC=90°.方法二：如图②，连接 ∴.OM=AN.(2)解：如图，连接OB,则OB⊥BP. BC,,AB是⊙O的直径，.∠ACB=90°.∠PBC= .OA=MN,OA=OB,OM∥AP,∴.OB=MN,∠OMB ∠BAC+∠ACB,.∠PBC-∠BAC=90°.，四边形 =∠NPM,.△OBM≌△MNP(AAS),.OM=MP.设 ABCD为⊙O的内接四边形，∴.∠ADC+∠ABC=180° OM=x,则NP=9-x,在Rt△MNP中，有x2=32+(9 ,∠PBC+∠ABC=180°，.∠ADC=∠PBC,∴.∠ADC -x)2,.x=5,即OM=5. -∠BAC=90°.(2)解：如图②，由题(1)可得∠ADC= ∠PBC.:∠ACP=∠ADC,∠PBC=∠ACP. ∠BPC=∠CPA,APC△rCA,说-货 .PC2=PA·PB.⊙O的半径为3，AB=6,.PA= PB十6.，CP=4,∴.4=(PB+6)·PB,解得PB=2或第2课时 (教材P9 即基础闯关>>>>>>> 难度等级基础题 知识点一：圆的切线的判定方法一 1.(邵阳中考)如图所示，AB是⊙O的直径，点 C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD,垂足为 点D,连接BC,OC,此时恰有BC平分 ∠ABD.求证：CD为⊙O的切线。 知识点二：圆的切线的判定方法二 2.如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC,O是 底边BC的中点，⊙O与AB相切于点D.求 证：AC与⊙O相切. D B 0 第三章圆☑ 切线的判定 ~93练习) 知识点三：三角形的内切圆 3.如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是 △ABC的( ) A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 第3题图 第4题图 4.(聊城中考)如图，点O是△ABC外接圆的圆 心，点I是△ABC的内心，连接OB,IA.若 ∠CAI=35°，则∠OBC的度数为() A.15° B.17.5°C.20° D.25° 5.如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，D,E,F分 别为切点，∠ACB=90°，则∠EDF的度数 为( 思辨学习 A.25 B.30° C.45° D.60° 6.(云南中考)如图，△ABC的内切圆⊙O与 BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=5, BC=13,CA=12,则阴影部分（四边形AEOF) 的面积是( A.4 B.6.25 C.7.5 D.9 做神龙题得好成绩 83 ☑同行学案学练测九年级数学下BS 7.(烟台中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O, 点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在 AD的延长线上，则∠CDE的度数为() A.56° B.62 C.68° D.78 即能力提升 >>>>>>>>》>>>>>> 难度等级中等题 8.如图，在平面直角坐标系中，过格点A,B,C 作一圆弧，将点B与下列格点分别连线，当连 线与圆弧相切时，该格点的坐标是() A.(0,3) B.(5,1) C.(2,3) D.(6,1) 9.[运算能力]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=6,BC=8,⊙O为△ABC的内切圆，点 D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=() B v C.√3 D.2 10.如图，P是△ABC的内心，连接PA,PB, PC,△PAB,△PBC,△PAC的面积分别为 S1,S2,S3,则S1 S2+S3.(填“>” “<”或“=”) 84做神龙题得好成绩 11.(东营中考)如图，以等边三角形ABC的BC 边为直径画圆，交AC于点D,DF⊥AB于 点F,连接OF,且AF=1. (1)求证：DF是⊙O的切线， (2)求线段OF的长， 即培优创新 >>>>>>>难度等级综合题 12.[推理能力]（鄂尔多斯中考）如图，以AB为 直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B, 且与AC边交于点D,点E为BC的中点，连 接DE,BD (1)求证：DE是⊙O的切线. (2)若DE=5,cos∠ABD=号，求OE的长. 第三章圆 培优专题12：圆的切线的证明方法 我 素 类型一：直线与圆有交点 类型二：不确定直线与圆是否有交点 养 1.如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点 3.如图，在△ABC中，AB=AC,O为BC的中 P是⊙O外一点，连接PA,PB,AB,已知 点，AC与半圆O相切于点D ∠PBA=∠C.求证：PB是⊙O的切线. (1)求证：AB是半圆O所在圆的切线 抽 (②)若os∠ABC=号，AB-12,求半圆0所 2 能 在圆的半径 运算 数 念 棋型 2.如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC 线上的一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O 的平分线交BC于点O,以点O为圆心，以 相切. OC的长为半径作半圆.求证：AB为半圆O 意识 的切线。 创新 0 识 D 做神龙题得好成绩 85