5 确定圆的条件-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

拔尖特训·数学（北师版）九年级下 5 确定圆的条件 “答案与解析”见P32 自基础进阶 幻素能攀升 1.有下列说法：①三点确定一个圆；②三角形 5.根据下列条件，A,B,C三点能确定一个圆 有且只有一个外接圆；③圆有且只有一个内 的是 () 接三角形；④三角形的外心到三角形三边的 A.AB=2,BC=2,AC=4 距离相等.其中，正确的有 B.AB=4.5,BC=5.5,AC=10 A.1个B.2个C.3个D.4个 C.AB=4,BC=3,AC=5 2.(2025·大理期中)若三角形的三边长为6,8， D.AB=√2-1，BC=√2+1，AC=22 10,则此三角形的外接圆的半径为( 6.如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，D A.2B.3 C.4 D.5 是AC上一动点（不与点A,C重合）.有下列 3.(2025·鞍山期末)如图，△ABC是⊙O的内 结论：①∠ADB=∠BDC;②AD=CD; 接三角形，连接OA并延长，以点A为圆心， ③当DB最长时，DB=2DC;④DA+ 任意长为半径画弧，交射线OA于两点，分别 DC=DB.其中，一定正确的有 () 以这两个交点为圆心，任意长为半径画弧，两 A.1个B.2个 C.3个D.4个 弧交于点D(点D在点A的右边)，作射线 AD.若∠B=45°，∠BAD=75°，则∠BAC 的度数是 (第6题) (第7题) 7.★如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为 A(-1,3),B(-2,-2),C(4,-2),则 (第3题) △ABC的外接圆半径为 4.如图所示为破损的圆形玻璃碎片，A,B,C是 8.将边长为2的小正方形ABCD和边长为4 弧上三点 的大正方形EFGH按如图所示的方式摆放， (1)画出该圆形玻璃碎片的圆心 使得C,E两点刚好重合，且B,C,H三点共 (2)若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm, 线，此时经过A,F,G三点作一个圆，则该圆 腰AB=10cm,求圆形玻璃碎片的半径， 的半径为 C(E)H (第4题) (第8题) (第9题) 9.如图，在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm,能 够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直 径是 cm. 62 第三章圆 10.新考法·阅读理解阅读材料，解决问题： (1)求证：AE=AB 辅助线是几何题中沟通条件与结论的桥梁 (2)若∠BAC=90.os∠ADB=号，BE= 在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲 线型辅助线，显得独特而隐蔽， 2,求BC的长， 性质：如图①，若∠ACB=∠ADB=90°，则 点D在经过A,B,C三点的⊙O上 (1)如图②，DA=DB=DC.求证：∠ADB= 2∠ACB, (2)如图③，点A,B位于直线两侧.用尺 (第11题) 规在直线l上作出点C,使得∠ACB=90° (保留作图痕迹，不要求写出作法). ① 思维拓展 12.(2024·安徽)如图，⊙O是△ABC 的外接圆，D是直径AB上一点， ③ (第10题) ∠ACD的平分线交AB于点E,交 ⊙O于另一点F,FA=FE (1)求证：CD⊥AB. (2)FM⊥AB,垂足为M.若OM=OE=1, 求AC的长. (第12题) 11.如图，D是△ABC的边BC上 点，连接AD,作△ABD的外接圆， 将△ADC沿AD所在直线进行折 叠，点C的对应点E落在BD上. 63∴.∠ACD=90°-60°=30°. .∠ABD=∠ACD=30°. (2)①如图，延长AB至点M. '.∠ABC+∠CBM=180°. 四边形ABCD是圆内接四边形， ∴.∠ABC+∠ADC=180 .∠CBM=∠ADC 又，∠AFE=∠ADC, ∴.∠AFE=∠CBM ∴.EF∥BC. ②如图，过点D作DG∥BC,交圆于 点G,连接AG,CG. .DG∥BC∥EF. .DG∥BC, .∠CDG=∠BCD .'CG=BD. ,四边形ACGD是圆内接四边形， .易得∠GDE=∠ACG. EF//DG, .∠DEF=∠GDE. ∴.∠DEF=∠ACG. '.∠AFE=∠ADC,∠AC=∠AG℃， ∴.∠AFE=∠AGC AE=AC, .'.△AEF≌△ACG ∴.EF=CG. .EF=BD. E D A (第11题) 12.(1).OE⊥AB, ∴.∠OEA=90°，AE=EB. .∠BAC=30°，OA=1, .在Rt△AOE中，AE=OA· c0s30°=5 .AB=2AE=√5.」 AC是⊙O的直径， ∴.∠ABC=90. ∴.∠C=90°-∠BAC=60. OC=OB, .△OCB是等边三角形. .'OB=CB 又，F是半径OC的中点，即OF= FC, ∴.BF⊥AC ∴.∠AFB=90. AE=EB, FR=号AB-9 2 (2)①如图，过点F作FG⊥AB于点 G,交OB于点H,连接EH」 ∴.∠FGA=90°. ∴.∠FGA=∠ABC. ∴.FGBC. .易得△OFH∽△OCB. “器咒 FH-BC. .·OA=OC,AE=EB OE=BC. .FH=OE. .OE⊥AB,FG⊥AB .OE∥FH. ∴.四边形OEHF是平行四边形 .PE=PF. ②由①，易得OE//FG//BC, “器咒 ∴.EG=GB. .FG⊥AB, ∴.EF=BF DF=EF. .DF=BE. DO=OB, .FO⊥BD. ∴.∠AOB=90°. .OA=OB, ∴.△AOB是等腰直角三角形. .∠BAC=45. (第12题) 32 5确定圆的条件 1.A2.D3.60 4.(1)如图，点O即为所求的圆心 (2)如图，连接OA,OB,OA交BC于 点D ,△ABC是等腰三角形， .'AB=AC. .AB=AC. ∴.易得BD=CD,OA⊥BC. .·BC=16cm, .BD=BC=8 cm. .·AB=10cm,OA⊥BC, ∴.在Rt△ABD中，由勾股定理，得 AD=√AB2-BD2=6cm. 设圆形玻璃碎片的半径为rcm,则 OA=OB=r cm,OD=(r-6)cm. 在Rt△BOD中，由勾股定理，得 OB2=BD2+OD2,r2=82+(r- 6,解得一 “圆形玻璃醉片的半径为号cm (第4题) 5.C6.C 7.√3解析：如图，作线段BC,AC 的垂直平分线，两垂直平分线交于点 M,连接BM.由作图，易知点M为 △ABC外接圆的圆心，且点M的坐标 为(1,0.∴.BM=√22+3=√3. ∴.△ABC的外接圆半径为√13. (第7题)》 方法归纳 确定圆弧或三角形 外接圆圆心的方法 确定圆弧的圆心，只需在圆弧 上找到三个点，确定这三个点所构 成的三角形的外心即可.此外，据 垂径定理的推论，可知圆孤上任意 两条孤所对的弦的垂直平分线的 交点即为圆心.特别地，在网格中 确定三角形的外接圆圆心时，可借 助网格的特点，快速找到两边的垂 直平分线的交点，即圆心 8.2√5解析：由题意可知，AB= BC=2,CF=CH=HG=4.如图，取 CH的中点O,连接OA,OF,G,则 OC=OH=2,OB=4.由勾股定理，可 得OA=√AB2+OB7=2√5.同理， 可得OF=OG=25.∴.OA=OF= OG,即点O为该圆的圆心..该圆的 半径为25. C(E)H (第8题) 9.103 3 解析：如图，能够将△ABC 完全覆盖的最小圆是△ABC的外接 圆.设△ABC外接圆的圆心为O,过 点O作OD⊥BC于点D,连接OB, OC..∠A=60°，..∠BOC= 2∠A=120°.，OD⊥BC,BC= 5 cm,ZODB=90',BD=2BC= 2cm.'OB=OC,∠BOD 5 ∠OD=3∠B0C-=60.在R△0BD BD 5√3 中，OB= sin/BOD 3 cm. ·△ABC外接圆的直径是105 3 cm, 即能够将△ABC完全覆盖的最小圆 形纸片的直径是103 3 cm. B (第9题) 10.(1)如图①，由DA=DB=DC可 知，点A,B,C在以点D为圆心，DA 的长为半径的圆上 ∴.∠ADB=2∠ACB. (2)如图②，点C1,C2即为所求 ② (第10题) 11.(1)由折叠的性质，可知△ADE≌2 △ADC, ∴.∠AED=∠ACD,AE=AC. ,∠ABD=∠AED, .∠ABD=∠ACD. ..AB=AC. .AE-AB (2)如图，过点A作AH⊥BE于点H. .AB=AE,BE=2, '.∠ABE=∠AEB,BH=EH=1. :∠AEB=∠ADB,cOs∠ADB=3, ·cOS∠ABE=co8∠ADB= 31 BH ·在R△ABH中，AB=COSABE-3 ..AC=AB=3. 又.·∠BAC=90° '.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 33 BC=√AB2+AC=32. (第11题) 12.(1).FA=FE, ∴.∠FAE=∠AEF ,'∠FAE=∠BCE,∠AEF=∠CEB, ∴.∠CEB=∠BCE. :CE平分∠ACD, ∴.∠ACE=∠DCE. AB是⊙O的直径， .∠ACB=90. ∴.∠CEB+∠DCE=∠BCE+ ∠ACE=∠ACB=90°， ∴.∠CDE=90°. .CD⊥AB. (2)OM=OE=1, ∴.ME=2. 由(I)知，∠BEC=∠BCE, .BE=BC. AF=EF,FM⊥AB, ∴.MA=ME=2,AE=4. ∴.OB=OA=AE-OE=3. .BC=BE=OB-OE=2. 在△ABC中，AB=6,BC=2, ∠ACB=90°， ∴.AC=V√AB-BC=√62-2= 4√2 6直线和圆的位置关系 第1课时直线与圆的位置关系 及切线的性质 1.C2.20°3.1或5 4.连接OD. ,以OA为半径的⊙O与边BC相切 于点D, .OD⊥BC. :∠ABC=90°，即AB⊥BC, '.OD∥AB.