3.5确定圆的条件 达标练习2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.5确定圆的条件 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设⊙O的半径为r，P到圆心的距离为d不大于r，则点P在(   ) A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．不在⊙O内 D．不在⊙O外 2．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（    ） A．4 B． C． D． 3．校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 4．三角形外心具有的性质是（  ）． A．到三个顶点距离相等 B．到三边距离相等 C．外心必在三角形外 D．到顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍 5．A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则(　　) A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上 B．可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内 C．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外 D．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内 6．课下小亮和小莹讨论一道题目：“已知点O是的外心，，求”．小亮的解答为：如图，画以及它的外接圆O，连接，由，得．而小莹说：“小亮考虑的不周全，应该还有另一个不同的值”．下列判断正确的是（    ） A．小亮求的结果不对，应该是 B．小莹说的不对，就是 C．小莹说的对，的另一个值是 D．两人说的都不对，的值有无数个 7．下列命题为真命题的是(　　) A．两点确定一个圆 B．度数相等的弧相等 C．垂直于弦的直径平分弦 D．相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等 8．下列命题中，正确的是（   ） ①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等 A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤ 9．过A，B，C三点能确定一个圆的条件是（ ） ①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3， BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC= 5． A．①② B．①②③ C．②③ D．①③ 10．如图，在等边△ABC中，AB＝12，点D在AB边上，AD＝4，E为AC中点，P为△ABC内一点，且∠BPD＝90°，则线段PE的最小值为（　　） A．3﹣2 B． C．2﹣4 D．4﹣8 11．如图，△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的三边分别记为a，b，c，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF=（　　） A．a：b：c B． C．cosA：cosB：cosC D．sinA：sinB：sinC 12．如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．两直角边分别为6、8，那么的外接圆的半径为 ． 14．如图，的三个顶点的坐标分别为，则的外接圆圆心的坐标为 ． 15．在平面直角坐标系中有，，三点，，，．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为 ． 16．如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为 ． 17．在中，，则的外接圆的半径为 ． 三、解答题 18．估计如图中三段弧的半径的大小关系，再用圆规检验你的结论． 19．如图，是的高，为的中点．试说明点在以点为圆心的同一个圆上． 20．如图△ABC，用圆规和没有刻度的直尺作出△ABC的外接圆．（用黑水笔描清楚作图痕迹） 21．如图，在中，，，O为的外心，为等边三角形，与相交于D点，连接． (1)求的度数； (2)求的度数． 22．图①，图②，图③均是正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上，仅用无刻度直尺；在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)如图①，已知经过点B，画出所在圆的圆心O． (2)在图②中找格点D，使（找出一个符合条件的格点即可）． (3)在图③中，正方形网格中的圆经过格点A、B，画出该圆的圆心O． (4)如图④，是半圆的直径，点C在半圆外，请仅用无刻度的直尺画出中边上的高． 23．图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD为直径作圆O，证明点C在圆O上； 24．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中． (1)外接圆的圆心坐标是__________；外接圆的半径是__________； (2)已知与（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是__________； (3)请在网格图中的空白处画一个格点，使，且相似比为． 《3.5确定圆的条件》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A A D C C B C C 题号 11 12 答案 C A 1．D 【分析】根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：已知点P到圆心O的距离d不大于r，当大于r时点P在圆外，因而则点P不在⊙O外． 故选D． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 2．C 【分析】根据题意可得能够完全覆盖这个三角形的最小圆为外接圆，圆心位于 和 的垂直平分线的交点处，求出，即可求解． 【详解】解：如图，点为外接圆的圆心，则为半径， 故能完全覆盖该三角形的最小圆面的半径是． 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，勾股定理，熟练掌握三角形的外接圆圆心就是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键． 3．A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形外心的性质，根据三角形外心的性质即可解答． 【详解】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等， ∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点，即外心， 故选：A． 4．A 【分析】根据三角形外心的形成即可判断其具备的性质． 【详解】解：∵三角形的外心是任意两边垂直平分线的交点，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三个顶点距离相等． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的外心是任意两边垂直平分线的交点，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 5．D 【分析】由已知可得AB+BC=AC，故可知可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆内． 【详解】∵A，B，C是平面内的三点，AB=2，BC=3，AC=5， ∴AB+BC=AC， ∴可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆内． 故选D． 【点睛】本题主要考查确定圆的条件，正确确定A、B、C三点的位置关系是解决本题的关键． 6．C 【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案． 【详解】解：如图所示：还应有另一个不同的值与互补， 故． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，正确分类讨论是解题的关键． 7．C 【详解】A.不共线的三点确定一个圆，所以A错误； B.需要增加条件在同圆或等圆中，所以B错误； C.由垂径定理可知C正确； D.需要增加条件在同圆或等圆中，所以D错误. 故选C. 8．B 【详解】解：根据圆周角定理可知：①顶点在圆周上且角的两边与圆相交的角是圆周角，故此选项错误； ②同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，故此选项错误； ③90°的圆周角所对的弦是直径；根据圆周角定理推论可知，此选项正确； ④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；根据不在一条直线上的三点可确定一个圆，故此选项正确； ⑤同弧所对的圆周角相等，∵在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，故此选项正确； 故答案为③④⑤． 故选B． 9．C 【详解】经过不在同一直线上的三点可以确定圆，能构成三角形的三点一定可以确定一个圆,因为只有C选项中的三点能构成三角形，故选C. 10．C 【分析】以BD为直径作⊙O，连接OE交⊙O于点P，则OE的长度最小，即EP最小，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：以BD为直径作⊙O，连接OE交⊙O于点P，则OE的长度最小，即EP最小， 过点E作EF⊥AB于点F，在Rt△AEF中， ∠A＝60°，AE＝6， ∴AF＝3，EF＝， 在Rt△OEF中，EF＝，OF＝5， ∴OE＝， ∴PE＝﹣4， 即线段PE的最小值为﹣4， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的性质，等边三角形的性质，勾股定理，根据题意判断出EP最小的情况是解题关键． 11．C 【详解】设三角形的外接圆的半径是R． 连接OB，OC． ∵O是△ABC的外心，且OD⊥BC． ∴∠BOD=∠COD=∠A 在直角△OBD中，OD=OB•cos∠BOD=R•cosA． 同理，OE=R•cosB，OF=R•cosC． ∴OD：OE：OF=cosA：cosB：cosC． 故选C． 【点睛】设三角形的外接圆的半径是R，根据垂径定理，在直角△OBD中，利用三角函数即可用外接圆的半径表示出OD的长，同理可以表示出OE，OF的长，即可求解． 12．A 【分析】如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，证明B，E，G，F在以O为圆心的圆上，得点G在∠ABC的平分线上，当CG⊥BG时，CG最小，此时，画出图2，根据△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，证明△EGB≌△FGC，可得BE=CF，设AB=m，根据BE∶AB=1∶3，可得CF=BE=m，根据含30度角的直角三角形可得AD，进而可得结论． 【详解】解：如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90° ∵O是EF的中点， ∴OB=OE=OF ∵∠EGF=90°，O是EF的中点， ∴OG=OE=OF ∴OB=OG=OE=OF ∴B，E，G，在以O为圆心的圆上， ∴∠EBG=∠EFG, ∵∠EGF=90°， EG=FG， ∴∠GEF=∠GFE=45° ∴∠EBG=45° ∴BG平分∠ABC， ∴点G在∠ABC的平分线上， 当CG⊥BG时，CG最小， 此时，如图2， ∵BG平分∠ABC， ∴∠ABG=∠GBC=∠ABC=45°， ∵CG⊥BG ∴△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，∠BGC=90° ∴BG=CG ∵∠EGF=∠BGC=90° ∴∠EGF-∠BGF=∠BGC-∠BGF, ∴∠EGB=∠FGC, 在△EGB和△FGC中， ∴△EGB≌△FGC(SAS)， ∴BE=CF ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC 设AB=m ∵BE∶AB=1∶3 ∴CF=BE=m， 在Rt△ABC中，∠BAC=60°， ∴∠ACB =30° ∴AC =2AB= 2m   ∴BC= ， ∴AD=m， ∴ 故选∶A． 【点睛】本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了矩形的性质，四点共圆，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是准确作辅助线综合运用以上知识． 13．5 【分析】直角三角形外接圆的直径是斜边的长． 【详解】解：由勾股定理得：AB==10， ∵∠ACB=90°， ∴AB是⊙O的直径， ∴这个三角形的外接圆直径是10， ∴这个三角形的外接圆半径长为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，知道直角三角形外接圆的直径是斜边的长是关键；外心是三边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等． 14． 【分析】根据三角形的外心是三边中垂线的交点，由的坐标可知，圆心M必在直线上；由图知：的垂直平分线正好经过，由此可得到． 【详解】解：设的外心为M， ， ∴M必在直线上，由图知：的垂直平分线过，故， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握三角形的外心是三边中垂线的交点、确定圆心的位置是解题的关键． 15．(2，0) 【分析】根据不在同一条直线上的三点能确定一个圆，该圆圆心在三点中任意两点连线的垂直平分线上，然后根据垂直平分线的性质和勾股定理即可求解． 【详解】∵，， ∴AB的垂直平分线为 设圆心为 ∵点O也在BC的垂直平分线上， ∴ 根据勾股定理得 解得 ∴圆心坐标为 故答案为：(2，0)． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质和勾股定理，掌握垂直平分线的性质和勾股定理是解题的关键． 16．（6，2） 【详解】试题分析：本题可先设圆心坐标为（x，y），再根据“三角形外接圆的圆心到三角形三顶点的距离相等”列出等式，化简即可得出圆心的坐标． 解：设圆心坐标为（x，y）； 依题意得， A（4，6），B（2，4），C（2，0） 则有 ==， 即（4﹣x）2+（6﹣y）2=（2﹣x）2+（4﹣y）2=（2﹣x）2+y2， 化简后得x=6，y=2， 因此圆心坐标为（6，2）． 点评：本题考查了三角形外接圆的性质和两点之间的距离公式．解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质． 17． 【分析】此题主要考查等腰三角形外接圆半径的求法，正确利用勾股定理以及等腰三角形的性质是解题关键．通过作辅助线，可将求外接圆的半径转化为求的斜边长，再利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】如图，作，垂足为D，则O一定在上， ∵， ∴， 所以； 设， ∵ ∴， 解得， ． 故答案为． 18．见解析 【分析】由已知弧连接出两条弦，根据垂径定理的推论，作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心，从而确定各段弧所在圆的半径的大小． 【详解】解：最上面的弧的半径最大，最下面的弧的半径最小． ①在较大的弧上取点A、B，连接AB，使线段AB同时过三条弧，再作AB的垂直平分线CD； ②连接DE，作DE的垂直平分线交CD与点O″，则此点即为 所在圆的圆心； ③连接GF，作GF的垂直平分线交CD与点O′，则O′即为中间的弧所在圆的圆心； ④连接BC，作BC的垂直平分线交CD与点O，则O即为较大的弧所在圆的圆心． 根据图形可知：最上面的弧的半径最大，最下面的弧的半径最小． 【点睛】本题考查的是作图，垂径定理的应用，只要熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧即可轻松作答． 19．见解析 【分析】先连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，即可证结论． 【详解】证明：连接，． 分别是的高，为的中点， ， ∴点在以点为圆心的同一圆上． 【点睛】本题主要考查了直角三角形和圆的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是关键． 20．见解析 【分析】作线段BC的垂直平分线MN，作线段AB的垂直平分线EF，直线EF交MN于点O，连接OB，以O为圆心，OB为半径作⊙O即可． 【详解】解：如图，⊙O即为所求． 【点睛】此题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是理解三角形的外心是三角形两边的垂直平分线的交点． 21．(1) (2) 【分析】此题主要考查了三角形的外心的性质以及等边三角形的性质等知识，得出是解题关键． （1）连接，通过证得，从而问题得解； （2）利用三角形外心的性质以及利用等腰三角形的性质得出，然后根据三角形内角和得出．再根据，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵O为的外心， ， ， ， ， ， （2）解：∵由（1）得，， ， ∴ 为正三角形， ， ． 22．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）利用网格特点，作出的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心； （2）根据轴对称的性质和平行四边形的性质找出格点、或作出的外接圆，根据圆周角定理找出格点即可得； （3）借助正方形网格，网格中通过特殊点连线可找到弦的垂直平分线的交点，即圆心，设过点A的网格线分别交圆于点M，N，过点B的网格线分别交圆于点P，Q，连接，，相交于点O，，得到和均为圆的直径，点O为该圆的圆心； （4）取与半圆的交点D，与半圆的交点E，连接，相交于点F，连接并延长，交于点G． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：如图，点即为所求（画出一个即可）． （3）解：如图，设过点A的网格线分别交圆于点M，N，过点B的网格线分别交圆于点P，Q，连接，，相交于点O， （4）解：如图，取与半圆的交点D，与半圆的交点E，连接，相交于点F，连接并延长，交于点G，则即为所求． 证明：∵为直径， , ∴和为的高， ∵三角形的三条高相交于一点， ∴为边上的高． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，作三角形边上的高以及找圆的圆心，及轴对称的性质，平行四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质和几何图形的基本特征，并巧妙利用网格或半圆等条件来完成作图． 23．证明见解析 【分析】连接CO；由勾股定理求出AC，利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，得出∠ACD=90°；再根据斜边上中线的性质和圆的对称性分析，即可完成证明． 【详解】图，连接CO ∵AB=6，BC=8，∠B=90°， ∴ ∵CD=24，AD=26 ∴ ∴△ACD是直角三角形， ∴∠ACD=90° ∵AD为⊙O的直径 ∴AO=OD ∴OC为Rt△ACD斜边上的中线 ∴ ∴点C在圆O上． 【点睛】本题考查了圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、勾股定理及其逆定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解． 24．(1)； (2) (3)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和三角形的外接圆的概念即可求出圆心坐标，然后勾股定理即可求出半径的长度； （2）根据位似变换和位似中心的概念解答； （3）根据相似三角形的对应边的比相等，都等于相似比解答． 【详解】（1）解：如图，根据网格的特点分别作的垂直平分线，交于点G，连接， 根据网格的特点可得圆心； ∴半径， 故答案为：；； （2）解：如图，连接，交于点，即位似中心， 根据网格的特点可知， 故答案为：； （3）解： ，且相似比为． 根据网格的特点作出，如图， 即为所求作的三角形． 【点睛】本题考查的是格点正方形、位似变换与位似中心与相似三角形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段互相平行，这两个图形是位似图形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $