4 圆周角和圆心角的关系-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

拔尖特训·数学（北师版）九年级下 4圆周角和圆心角的关系 第1课时圆周角定理及其推论1 ●“答案与解析”见P30 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·福州连江期中)下列图形中，∠α是 5.(2025·长沙)如图，AC,BC为⊙O的弦，连 圆周角的为 接OA,OB,OC.若∠AOB=40°，∠OCA= 30°，则∠BCO的度数为 ( ) A.40° B.45° A. B. D C.50° D.55 2.(2025·山西)如图，AB为⊙O的直径，C,D 是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD, CD.若AC=BC,则∠D的度数为( A.30° B.45 C.60°D.75 (第5题) (第6题) 6.(2024·广州)如图，在⊙O中，弦AB的长为 0 4√3，点C在⊙O上，OC⊥AB,∠ABC= 30°.若⊙O所在的平面内有一点P,OP=5, C (第2题) (第3题) 则点P与⊙O的位置关系是 () 3.(2025·宜宾)如图，∠BAC是⊙O的圆周 A点P在⊙O上 角，∠BAC=40°，则∠OBC= B.点P在⊙O内 4.如图，AD=BC,AC=1,∠D=30°. C.点P在⊙O外 (1)求证：CD=AB. D.无法确定 (2)求⊙O的半径. 7.转化思想如图，在由边长为1的小正方形组 成的网格中，点A,B,C都在格点上，以AB 为直径的圆经过，点C,D,则sin∠ADC的值 为 (第4题) B---C (第7题) (第8题) 8.简车是我国古代的一种水利灌溉工具.如图， 筒车（⊙O)与水面分别交于点A,B,简车上 均匀分布着若干个盛水简，点D是其中之一， DC是⊙O的直径，连接DA,DB,点M在AB 的延长线上.若∠ADC=16°，则∠DBM的度 数为 58 第三章圆 9.如图，点A,B,C,D在⊙O上，点E在AC 思维拓展 上，EC=BC=DC 11.如图，⊙O中两条互相垂直的弦 (1)若∠CBD=39°，求∠BAD的度数： AB,CD交于点E. (2)求证：∠1=∠2. (1)M是CD的中点，OM=3, CD=12,求⊙O的半径 .0 D (2)点F在CD上，且CE=EF,连接AF, 求证：AF⊥BD (第9题) (第11题) 10.如图，AB是⊙O的直径，弦CD AB于点G,F是CD上一点，且满 足品号准接AF并延长，交@0 于点E,连接AD,DE,其中CF=2,AF=3. (1)求证：△ADFp△AED (2)求FG的长， (3)求证：tanE-5 D (第10题) 59 拔尖特训·数学（北师版）九年级下 第2课时 圆周角定理的推论2,3 “答案与解析”见P31 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·青海)如图，AB是⊙O的直径， 5.(2024·济宁)如图，分别延长圆内接四边形 ∠CAB=40°，则∠ADC的度数是( ABCD的两组对边，延长线相交于点E,F. A.80° B.50°C.40° D.25° 若∠E=54°41'，∠F=4319,则∠A的度 数为 A.42° B.4120C.41° D.40°20 y (第1题) (第2题) (第3题) 2.(2025·甘肃)如图，四边形ABCD内接于 ⊙O,AB=BC,连接BD.若∠ABC=70°，则 (第5题) (第6题) ∠BDC的度数为 ( 6.如图，直径为10的⊙A经过点C,O,B是位 A.20° B.35° C.55° D.70° 于y轴右侧的⊙A的优弧上一点，∠OBC 3.如图，点A,B,C,D都在⊙O上，∠ABC=90°， 30°，则点C的坐标为 () AD=8,CD=6,则⊙O的半径为 A.(0,10) B.(0,5) 4.(2025·安徽)如图，四边形ABCD的顶点都 C.(0,55) D.(0,5√2) 在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC, 7.如图，AB为半圆O的直径，等腰直角三角形 ∠DAB+2∠ABC=180°. 的一个锐角顶点P在半圆上，斜边过点B, (1)求证：OCAD 一条直角边交该半圆于点Q.若AB=2,则 (2)若AD=2,BC=23,求AB的长， 线段BQ的长为 (第4题) A 0 B (第7题) 8.(2025·长治沁县模拟)如图，在⊙O中，AB 是直径，点C,D,E都在圆周上，连接AE, CE,BD,CD.若∠E=50°，则∠D= 0 (第8题) 9.★如图，在正方形网格中，每个小正方形的边 长都是1，△ABC的三个顶点都在⊙O上，点 A,B,O在正方形网格的格点上，那么 60 第三章圆 sin∠ACB的值是 思维拓展 12.如图，AC,BD为⊙O的两条直径， 连接AB,BC,OE⊥AB于点E,F 是半径OC的中点，连接EF,BF, (第9题) DF. 10.易错题半径为5的圆内有一长为5√3的弦 (1)设⊙O的半径为1.若∠BAC=30°，求 则此弦所对的圆周角的度数为 线段EF的长， 11.(2024·浙江)如图，在圆内接四边 (2)设OB与EF交于点P. 形ABCD中，AD<AC,∠ADC< ①求证：PE=PF ∠BAD,延长AD至点E,使AE= ②若DF=EF,求∠BAC的度数， AC,延长BA至点F,连接EF,使∠AFE ∠ADC. (1)若∠AFE=60°，CD为直径，求∠ABD 的度数. (第12题) (2)求证： ①EFBC. ②EF=BD (第11题) 6.'MN=2EN=6 m. 6<7, ∴此渔船不能顺利通过这座拱桥。 (第9题) 10.(1)如图①，过点O作ON∥BC, 交AM于点N. O是AB的中点， ·A0=2AB. ON//BC, .易得△AON△ABM. …器铝 ON-7 BM. ,M为弦BC的中点， ∴.BM=CM. ON-7CM. .ON∥BC, .易得△NOE∽△MCE. 器器 (2)如图②，连接OM. ,M为弦BC的中点， .OM⊥BC. .∴.∠OME+∠CME=90°」 .AM⊥OC, ∴.∠OEM=∠MEC=90. .∠CME+∠C=90 ∴.∠OME=∠C. .'.△OMEc∽△MCE. 器' .ME2=OE·CE. 设OE=x. 由(1)，可知CE=2OE=2x. ∴.ME=√2x. 在Rt△MEC中，由勾股定理，得 MC=√ME+CE=√6x. :.在Rt△MDC中，sinC=MC ME 2x- V6x3· .OB=OC, '.∠ABC=∠C ·sin∠ABC=sinC= 3 0 0 M ① ② (第10题) 4圆周角和圆心角的关系 第1课时〔 圆周角定理及其推论1 1.A2.B3.50 4.(1)AD=BC, .'AD=BC. ∴.AD+AC=BC+AC,即CD AB. ∴.CD=AB. (2)如图，连接OA,OC,则OA=O℃. ∠D=30°， ∴.∠AOC=2∠D=60. .△AOC是等边三角形. ∴.OA=AC=1,即⊙0的半径为1. (第4题) 5.C 6.C解析：设AB与OC交于点D. 弦AB的长为4√5，OC⊥AB, :AD=BD=子AB=25. ∠ABC=30°，∴.∠AOD=2∠B= 60°..∠A=90°-60°=30° .OA=2OD.设OD=x,则OA 2.x.在Rt△AOD中，OD2+AD= OA,即x2+(2√5)2=(2x)2,解得 x=2(负值舍去).∴.OA=2x=4. OP=5,.OP>OA..点P在 ⊙0外. 7.2g 13 30 8.106°解析：如图，连接OA. .∠ADC=16°，.∠AOC= 2∠ADC=32°.∴.∠AOD=180° ∠AOC=148°.∴.∠ABD 2∠A0D=74.∠DBM=180- ∠ABD=106. M (第8题) 9.(1).'BC=DC,∠CBD=39°， ∴.∠CBD=∠CDB=39. ∴.∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD= ∠CBD=39°. ∴.∠BAD=∠BAC+∠CAD= 39°+39°=78 (2),EC=BC, '.∠CEB=∠CBE. .'∠CEB=∠2+∠BAE,∠CBE= ∠1+∠CBD, .∠2+∠BAE=∠1+∠CBD. .∠BAE=∠CBD=39°， .∠1=∠2. 10.(1),AB是⊙O的直径，CD AB, AC=AD. ∴.∠ADF=∠E. 又.∠FAD=∠DAE, ∴.△ADFc∽△AED. CF 1 (2)“FD=3,CF=2, .FD=6. .'CD=FD+CF=8. .·AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB, (G-DXG-7CD-4 .FG=CG-CF=2. (3)CD⊥AB, .∴.∠AGF=90°. .在Rt△AFG中，AF=3,FG=2, ∠AGF=90°， ,'.由勾股定理，得AG= √AF2-FG=√5. ..在Rt△ADG中，tan∠ADG= AG5 DG 4 ,∠E=∠ADG, ·tanE=tan∠ADG= 4 11.(1)如图，连接OD. M是CD的中点，CD=12, DM-2CD=6,OM LCD. ∴.∠OMD=90°. ,在Rt△OMD中，OM=3,DM=6, ∠OMD=90°， .由勾股定理，得OD= √OM+DM=35. ∴.⊙0的半径为35. (2)如图，连接AC,延长AF交BD 于点G. AB⊥CD,CE=EF, ∴.AF=AC,∠BED=90°」 ∴.∠FAE=∠CAE. :∠CAE=∠CDB ∴.∠FAE=∠CDB. ,∠BED=90°， ∴.∠CDB+∠B=90 ∴.∠FAE+∠B=90. ∴.∠AGB=90°，即AF⊥BD. (第11题) 第2课时圆周角定理的推论2,3 1.B2.C3.5 4.(1)·∠AOC=2∠ABC,∠DAB+ 2∠ABC=180°， ..∠DAB+∠AOC=180. .OC∥AD (2)如图，连接BD,交OC于点E. AB是半圆O的直径， ∴.∠ADB=90 OC//AD, 、OBEB ·OA-DE .OA=OB, .EB=DE. .'.OC⊥BD,且OE是△ABD的中 位线. ÷0E=7AD=1. 设半圆O的半径为r,则CE=r-1. 在Rt△OEB中，BE2=OB2-OE= x2-1. 在Rt△CEB中，BE2=BC2-CE= 12-(r-1)2 ∴.r2-1=12-(r-1)2,解得r1=3, r2=一2（不合题意，舍去） .∴.AB=2r=6. 0 (第4题)》 5.C 6.B解析：如图，设⊙A与x轴的另 一个交点为D,连接CD.,∠COD= 90°，..CD是⊙A的直径，即CD= 10..∠OBC=30°，..∠ODC=30. OC=2CD=5.点C的坐标为 (0,5). O D B (第6题) 7.√28.140 9.26 5 解析：如图，连接AO并延 长，交⊙O于点D,连接BD,则 ∠ABD=90°，AB=4,BD=2, ∠ACB=∠ADB.由勾股定理，得 AD=√4+2=2W5.∴.sim∠ACB= sin∠ADB=AB=4=25 AD 25 5 (第9题)》 31 方法归纳 利用直角与直径的相对关系 添加辅助线 圆中“直角”与“直径”相对，可 相互转换.一般地，如果题目中存 在直径，那么往往作出直径所对的 圆周角—直角；如果需要直角或 证明垂直，那么往往作出直径 10.60°或120° 解析：如图，在半径 为5的⊙O中，弦AB=53,∠ACB, ∠AEB是弦AB所对的圆周角.过点 O作OD⊥AB于点D,则AD= BD=5 2 .在Rt△AOD中，OA=5, 5w3 AD=53 ,simn∠AOD= 2 6 [9.∴∠A0D=60:0A=OB, OD⊥AB,∴.∠AOB=2∠AOD= 1 120.·∠ACB=2∠A0B=60 四边形ACBE是圆的内接四边形， ∴.∠AEB+∠ACB=180°. ∴.∠AEB=180°-∠ACB=120°. ∴.此弦所对的圆周角的度数为60 或120. (第10题) 易错警示 忽略弦所对的圆周角有 两种情况导致错误 在圆中，当弦不是直径时，弦 所对的弧有劣弧和优弧两种情况， 相应地，弦所对的圆周角也有锐 角和纯角两种情况，不能只考虑 一种情况。 11.(1)CD为直径 .∠CAD=90°. .∠AFE=∠ADC=60°， ∴.∠ACD=90°-60°=30°. .∠ABD=∠ACD=30°. (2)①如图，延长AB至点M. '.∠ABC+∠CBM=180°. 四边形ABCD是圆内接四边形， ∴.∠ABC+∠ADC=180 .∠CBM=∠ADC 又，∠AFE=∠ADC, ∴.∠AFE=∠CBM ∴.EF∥BC. ②如图，过点D作DG∥BC,交圆于 点G,连接AG,CG. .DG∥BC∥EF. .DG∥BC, .∠CDG=∠BCD .'CG=BD. ,四边形ACGD是圆内接四边形， .易得∠GDE=∠ACG. EF//DG, .∠DEF=∠GDE. ∴.∠DEF=∠ACG. '.∠AFE=∠ADC,∠AC=∠AG℃， ∴.∠AFE=∠AGC AE=AC, .'.△AEF≌△ACG ∴.EF=CG. .EF=BD. E D A (第11题) 12.(1).OE⊥AB, ∴.∠OEA=90°，AE=EB. .∠BAC=30°，OA=1, .在Rt△AOE中，AE=OA· c0s30°=5 .AB=2AE=√5.」 AC是⊙O的直径， ∴.∠ABC=90. ∴.∠C=90°-∠BAC=60. OC=OB, .△OCB是等边三角形. .'OB=CB 又，F是半径OC的中点，即OF= FC, ∴.BF⊥AC ∴.∠AFB=90. AE=EB, FR=号AB-9 2 (2)①如图，过点F作FG⊥AB于点 G,交OB于点H,连接EH」 ∴.∠FGA=90°. ∴.∠FGA=∠ABC. ∴.FGBC. .易得△OFH∽△OCB. “器咒 FH-BC. .·OA=OC,AE=EB OE=BC. .FH=OE. .OE⊥AB,FG⊥AB .OE∥FH. ∴.四边形OEHF是平行四边形 .PE=PF. ②由①，易得OE//FG//BC, “器咒 ∴.EG=GB. .FG⊥AB, ∴.EF=BF DF=EF. .DF=BE. DO=OB, .FO⊥BD. ∴.∠AOB=90°. .OA=OB, ∴.△AOB是等腰直角三角形. .∠BAC=45. (第12题) 32 5确定圆的条件 1.A2.D3.60 4.(1)如图，点O即为所求的圆心 (2)如图，连接OA,OB,OA交BC于 点D ,△ABC是等腰三角形， .'AB=AC. .AB=AC. ∴.易得BD=CD,OA⊥BC. .·BC=16cm, .BD=BC=8 cm. .·AB=10cm,OA⊥BC, ∴.在Rt△ABD中，由勾股定理，得 AD=√AB2-BD2=6cm. 设圆形玻璃碎片的半径为rcm,则 OA=OB=r cm,OD=(r-6)cm. 在Rt△BOD中，由勾股定理，得 OB2=BD2+OD2,r2=82+(r- 6,解得一 “圆形玻璃醉片的半径为号cm (第4题) 5.C6.C 7.√3解析：如图，作线段BC,AC 的垂直平分线，两垂直平分线交于点 M,连接BM.由作图，易知点M为 △ABC外接圆的圆心，且点M的坐标 为(1,0.∴.BM=√22+3=√3. ∴.△ABC的外接圆半径为√13. (第7题)》