3 垂径定理-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

拔尖特训·数学（北师版）九年级下 *3 垂径定理 >“答案与解析”见P29 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·宜宾)如图，AB是⊙O的弦，半径 4.(2025·莆田模拟)如图，将⊙O沿AB折叠， OC⊥AB于点D.若AB=8,OC=5,则OD 半径OC=12,且OC⊥AB,AB恰好经过OC 的长是 的中点D,则折痕AB的长为 () A.3 B.2 C.6 n A.3√15 B.6√/15 C.12 D.63 C 0 0 (第1题) (第2题) (第4题) (第5题) 2.如图，A,B是⊙O上的两点，AB=8,P是 5.★如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦AC于点 ⊙O上的动点（点P不与点A,B重合），连 D,D)的延长线交⊙O于点E.若AC= 接AP,BP,过点O分别作OE⊥AP于点 4√2，DE=4,则BC的长是 () E,OF⊥BP于点F,连接EF,则EF的长为 A.1 B.√2 C.2 D.4 3.如图①所示的圆形拱门屏风是我国古代常见 6.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点 的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素 F,OE⊥AC于点E.若OE=3,OB=5,则 的韵味.如图②所示为一款拱门的示意图，拱 CD的长是 () 门最下端AB=18分米，C为AB的中点，D A.9.6 B.4√5 为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD C.55 D.10 27分米，求拱门所在圆的半径， M AR (第6题) (第7题) ① 7.新考向·传统文化某同学通过观察家 (第3题) 中的蜀绣饰品，发现其是由圆形的 绣面和一段劣弧支架组成，蜀绣饰 品关于两圆心所在直线对称，其简易图如图 所示.通过查阅和测量得知，支点A,B之间 的距离为9.6cm,绣面（圆）的最高点E到 AB的距离EN为20.6cm,到劣弧AB的最 高点M的距离EM为17cm,则劣弧支架 AB所在圆的半径是 cm. 56 第三章圆 8.易错题已知⊙O的半径为l0cm,AB,CD 的思维拓展 是⊙O的两条弦，AB∥CD,AB=16cm, 10.如图，AB是⊙O的直径，AB=10, CD=12cm,则弦AB和CD之间的距离为 C为⊙O上异于点A,B的一点， M为弦BC的中点，AM交OC于 9.新情境·现实生活如图所示为根据某石拱桥 点E 的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆 弧形，设AB所在圆的圆心为O,拱顶为点 ①未罂的宜 C,OC⊥AB于点D,连接OB.当桥下水面宽 (2)若AM⊥OC,求∠ABC的正弦值， AB=8m时，CD=2m. (1)求这座石拱桥主桥拱的半径 (2)若有一条截面为矩形，且宽为7m,高出 水面1m的渔船，则此渔船能否顺利通过这 (第10题) 座拱桥？请说明理由. (第9题) 57⊙O的半径为2， .OC=0A=2,OP=20A=4. ∴.在Rt△POC中，由勾股定理，得 PC=√OP-OC=2√5. *3垂径定理 1.A 2.4解析：.OE⊥AP,OF⊥PB, .E为AP的中点，F为PB的中点 .EF为△APB的中位线.∴.EF= AB=号X8=4. 1 3.连接AO. CD过圆心，C为AB的中点， ∴.CD⊥AB,AC=BC AB=18分米， ∴.AC=BC=9分米. 设拱门所在圆的半径为x分米，则 OA=OD=x分米， ,CD=27分米， .OC=(27-x)分米. 在Rt△OAC中，AC2+OC2=OA2, 即92+(27-x)2=x2,解得x=15. ∴.拱门所在圆的半径是15分米. 4.B解析：延长CO交AB于点E, 连接OB..CE⊥AB,.E为AB的 中点.OC=12,D为OC的中点， .'CD=OD=6,OB=12..DE= 2×(12×2-6)=9.∴0E=9-6=3 在Rt△OEB中，根据勾股定理，可得 BE=√/OB2-OE2=3√J15..∴.AB= 6W15」 5.C解析：.OD⊥AC,AC=4W2, 六AD=CD=2AC=2w2. ∠ODA=90°.又OA=OB,.OD= BC.设OD=x,则BC=2x. 1 DE=4,.OE=4-x.∴.OA= 4-x.在Rt△AOD中，由勾股定理， 得OA2=AD2+OD2,即(4-x)2 (22)2+x2,解得x=1.∴.BC= 2x=2. 方法归纳 垂径定理基本图形计算中的 “四变量”“两关系” (1)四变量：如图，设弦长为 a,圆心到弦的距离（弦心距）为d, 半径为r,孤的中点到弦的距离( 形高)为h,已知这四个变量中的任 意两个即可求出其他两个 2②)两关系：0（）+ r2;②h+d=r. 提示：计算时，常通过连半径 或过圆心作弦的垂线段来构造直 角三角形 6.A解析：.OE⊥AC,∴.∠AEO 90°，AC=2AE..OE=3,AO= OB=5,∴.由勾股定理，得AE= √AO2-OE=4.∴.AC=8.CD AB,∴.∠AFC=90°，CD=2CF」 ∴.∠AEO=∠AFC.又∠A=∠A, :△Ao△Arc祀-g器 .CF=4.8.∴.CD=2CF=9.6. 7.5解析：如图，设劣弧支架AB所 在圆的圆心为O,连接OA.设OA= OM=r cm..EN=20.6 cm,EM= 17cm,.MN=20.6-17=3.6(cm). .'ON=OM-MN=(r-3.6)cm. OM⊥AB,∴.AN=BN= 合AB=号×96=48m.在 Rt△OAN中，OA2=ON2+AN2. .r2=(r-3.6)2+4.82,解得r=5. ∴.劣弧支架AB所在圆的半径是 5 cm. M (第7题) 29 8.2cm或14cm解析：过点O作 OE⊥AB于点E,OF⊥CD于点F,连 接OA,OC.AB=16cm,CD= 1 12 cm,AE=2AB=8 cm,CF= CD=6 cm.OA =OC=10 cm, ∴.易得OE=6cm,OF=8cm.如图 ①，当弦AB和CD在圆心的同侧时， ABCD,.易得点E,O,F在同 一条直线上.∴.EF的长即为弦AB和 CD之间的距离.∴.EF=OF-OE= 2cm.如图②，当弦AB和CD在圆心 的异侧时，ABCD,∴.易得点E O,F在同一条直线上..EF的长即 为弦AB和CD之间的距离.∴.EF= OF+OE=14cm.综上所述，弦AB 和CD之间的距离为2cm或14cm. 、D 0 ① (第8题) 易错警示 忽略弦的位置而导致错误 求圆中两条平行弦之间的距 离时，要注意这两条弦相对于圆心 的位置，两条弦可能在圆心的同 侧，也可能在圆心的异侧.本题容 易因考虑不全而出错 9.(1)OC⊥AB,AB=8m, .∴.AD=BD=4m,∠ODB=90°. 设主桥拱的半径为Rm,则OD= (R-2)m. .'OD2+BD2=OB2, .(R-2)2+4=R2,解得R=5. ∴.这座石拱桥主桥拱的半径为5m. (2)此渔船不能顺利通过这座拱桥. 理由：如图，设MN为该渔船的上端， MN与CD交于点E,连接ON. 由题意，得CE=2-1=1(m). .0E=5-1=4(m). 在Rt△OEN中，由勾股定理，得EN √ON2-OE=√5-4=3(m). .'MN=2EN=6 m. 6<7, ∴此渔船不能顺利通过这座拱桥。 (第9题) 10.(1)如图①，过点O作ON∥BC, 交AM于点N. O是AB的中点， ·A0=2AB. ON//BC, .易得△AON△ABM. …器铝 ON-7 BM. ,M为弦BC的中点， ∴.BM=CM. ON-7CM. .ON∥BC, .易得△NOE∽△MCE. 器器 (2)如图②，连接OM. ,M为弦BC的中点， .OM⊥BC. .∴.∠OME+∠CME=90°」 .AM⊥OC, ∴.∠OEM=∠MEC=90. .∠CME+∠C=90 ∴.∠OME=∠C. .'.△OMEc∽△MCE. 器' .ME2=OE·CE. 设OE=x. 由(1)，可知CE=2OE=2x. ∴.ME=√2x. 在Rt△MEC中，由勾股定理，得 MC=√ME+CE=√6x. :.在Rt△MDC中，sinC=MC ME 2x- V6x3· .OB=OC, '.∠ABC=∠C ·sin∠ABC=sinC= 3 0 0 M ① ② (第10题) 4圆周角和圆心角的关系 第1课时〔 圆周角定理及其推论1 1.A2.B3.50 4.(1)AD=BC, .'AD=BC. ∴.AD+AC=BC+AC,即CD AB. ∴.CD=AB. (2)如图，连接OA,OC,则OA=O℃. ∠D=30°， ∴.∠AOC=2∠D=60. .△AOC是等边三角形. ∴.OA=AC=1,即⊙0的半径为1. (第4题) 5.C 6.C解析：设AB与OC交于点D. 弦AB的长为4√5，OC⊥AB, :AD=BD=子AB=25. ∠ABC=30°，∴.∠AOD=2∠B= 60°..∠A=90°-60°=30° .OA=2OD.设OD=x,则OA 2.x.在Rt△AOD中，OD2+AD= OA,即x2+(2√5)2=(2x)2,解得 x=2(负值舍去).∴.OA=2x=4. OP=5,.OP>OA..点P在 ⊙0外. 7.2g 13 30 8.106°解析：如图，连接OA. .∠ADC=16°，.∠AOC= 2∠ADC=32°.∴.∠AOD=180° ∠AOC=148°.∴.∠ABD 2∠A0D=74.∠DBM=180- ∠ABD=106. M (第8题) 9.(1).'BC=DC,∠CBD=39°， ∴.∠CBD=∠CDB=39. ∴.∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD= ∠CBD=39°. ∴.∠BAD=∠BAC+∠CAD= 39°+39°=78 (2),EC=BC, '.∠CEB=∠CBE. .'∠CEB=∠2+∠BAE,∠CBE= ∠1+∠CBD, .∠2+∠BAE=∠1+∠CBD. .∠BAE=∠CBD=39°， .∠1=∠2. 10.(1),AB是⊙O的直径，CD AB, AC=AD. ∴.∠ADF=∠E. 又.∠FAD=∠DAE, ∴.△ADFc∽△AED. CF 1 (2)“FD=3,CF=2, .FD=6. .'CD=FD+CF=8. .·AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB, (G-DXG-7CD-4 .FG=CG-CF=2. (3)CD⊥AB, .∴.∠AGF=90°. .在Rt△AFG中，AF=3,FG=2, ∠AGF=90°， ,'.由勾股定理，得AG= √AF2-FG=√5.