2 圆的对称性-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

拔尖特训·数学（北师版）九年级下 2 圆的对称性 ◆“答案与解析”见P27 自基础进阶 素能攀升 1.下列说法中，正确的是 5.易错题如图，A,B,C是⊙O上的三个点， A.等弦所对的弧相等 ∠AOB是锐角，且∠AOB=2∠BOC.有下 B.等弧所对的弦相等 列结论：①AB=2BC;②AB=2BC: C.相等的圆心角所对的弦相等 ③∠OBA=∠OCA.其中，正确的个数是 D.相等的弦所对的圆心角相等 2.如图，在⊙O中，BC是直径，AB=DC,则下 A.0 B.1 C.2 D.3 列结论中，不一定成立的是 A.∠AOB=∠COD B.OA=OD=AB C.BD=AC (第5题) (第6题) (第7题) D.点O到AB,CD的距离相等 6.如图，⊙O的半径为5，弦AB,CD所对的圆 心角分别是∠AOB,∠COD.若∠AOB与 ∠COD互补，弦CD的长为6，则弦AB的 长为 () (第2题) (第3题) 3.(2025·周口淮阳期末)如图，AB,CD是⊙O A.6 B.8 C.5√2D.53 的直径，AE=BD,∠AOE=32°，则∠COE= 7.(2025·广州模拟)如图，在⊙O中，C是AB 的中点，CD垂直平分半径OA,BD=2√7， 4.如图，以□ABCD的顶，点A为圆心，AB的长 则该圆的半径为 为半径作圆，分别交AD,BC于点E,F,延长 8. 转化思想如图，AB,CD是⊙O的直径，弦 BA交⊙A于点G.求证：GE=EF BECD.BC,AD,DE有什么关系？请说明 理由. (第4题) D (第8题) 54 第三章圆 9.(2025·台州期中)如图，∠AOB=90°，C,D 思维拓展 是AB的三等分点，连接AB分别交OC,OD 11.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA= 于点E,F. 4,OB=6,以点O为圆心，3为半径的⊙O, (1)求∠AEC的度数： 与OB交于点C,过点C作CD⊥OB,交 (2)连接CD,求证：AE=BF=CD. AB于点D,P是边OA上的动点，则PC十 PD的最小值为 (第9题) (第11题) 12.如图，A,B是⊙O上的两点，∠AOB= 120°，C是劣弧AB的中点. (1)试判断四边形OACB的形状，并说明 理由， (2)延长OA至点P,使得AP=OA,连接 PC.若⊙O的半径为2，求PC的长， 10.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6, BC=8,点E在线段BC上，CE=5,以点C 为圆心，CE的长为半径作弧，交AC于点 D,交BC的延长线于点F,以点F为圆心， (第12题) DE的长为半径作弧，交DF于点G,连接 CG,过点G作GH⊥BF,垂足为H,求线段 GH的长 B E C (第10题) 55..MG=OG+OM=6,△MHG为等 腰直角三角形 易得MH-号G=3E. ∴.PF长的最小值为MH-PM= 3√2-2. ② (第7题) 第三章 圆 1圆 1.C2.B3.64.6<r<10 5.如图，涂色部分即为这匹马的活动 区域. CA P。 4m B A D (第5题) 6.B7.C 8.6.5cm或2.5cm解析：①当点 P在⊙O内时，如图①.点P到 ⊙O上的点的最小距离PB=4cm, 最大距离PA=9cm,∴.直径AB 4+9=13(cm).∴.半径为6.5cm. ②当点P在⊙O外时，如图②.：点 P到⊙O上的点的最小距离PB= 4cm,最大距离PA=9cm,∴.直径 AB=9-4=5(cm).∴.半径为 2.5cm.综上所述，⊙O的半径是 6.5cm或2.5cm. ① B ② (第8题) 易错警示 解决点到圆上的点的距离 最值问题时注意分类讨论 求不在圆上的点A和圆上动 点间距离的最大值与最小值，方法 是过点A与圆心画直线，则直线与 圆会有两个交点，这两个交点与 点A之间的线段的长即为最大值 或最小值.若点不在圆上，则点可 能在圆内，也可能在圆外，要注意 分类讨论 9.点P在⊙O内 10.4<r≤5解析：连接AC.四 边形ABCD为矩形，AD=4,.∠B= 90,BC=AD=4.AB=3,.在 Rt△ABC中，由勾股定理，得AC= √JAB+BC=5.要使点B,C,D 中只有两点在⊙A内，∴.点C一定在 ⊙A上或⊙A外，点B,D一定在⊙A 内.∴.⊙A的半径r的取值范围是 4<r5. 11.28°解析：如图，连接OD. OB=DE,OB=OD,∴.OD= DE.∴.∠DOE=∠E..∠1= ∠DOE+∠E=2∠E.,OC=OD, .∠C=∠1.∠C=2∠E ∴.∠AOC=∠C+∠E=3∠E :∠E=3∠A0C 3×84°=28 B (第11题) 12.到，点A的距离不小于3cm的点 应在以点A为圆心，3cm的长为半径 的⊙A上及⊙A外，到点B的距离小 于2cm的点应在以点B为圆心， 2cm的长为半径的⊙B内. 如图，阴影部分即为所求 I cm (第12题) 27 13.(1)点A的坐标为(8,0)，点B 的坐标为(0,6)， ∴.AB=√(0-8)+(6-0)7=10. .⊙M的半径为5. AB为直径，点M为圆心， ∴.M是AB的中点. :点M的横坐标为8=4，纵坐标 2 为6=3. 2 .点M的坐标为(4,3). (2)点C在⊙M上. 理由：：点C的坐标为(1,7)，点M 的坐标为(4,3)， '.CM=/(1-4)2+(7-3)2=5. ∴.点C在⊙M上. 14.取AB的中点E,连接EM,EC, AD. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=8,BC=6, ∴.由勾股定理，得AB= √AC+BC=√82+6=10. E为AB的中点，M为BD的中 点，AD=4, CE-ZAB-5,ME-AD-2. ∴.CE-ME≤CM≤CE+ME,即 3≤CM7. .CM长的最大值为7. 2圆的对称性 1.B2.B3.64 4.连接AF,则AB=AF .∠ABF=∠AFB. ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.ADBC. ∴.∠GAE=∠ABF,∠EAF=∠AFB. ∴.∠GAE=∠EAF. ∴.GE=EF 5.B解析：取AB的中点E,连接 OE,AE,BE,AE=EB..AE= EB,∠AOE=∠BOE.'∠AOB= 2∠BOC=∠AOE+∠BOE, ∴.∠AOE=∠BOE=∠BOC. .AE=BE=BC,AE=BE=BC. 在△AEB中，：AB<AE+BE, .AB<2BC.故①错误.AB AE+BE,∴.AB=2BC.故②正确。 ,OA=OB=OC,.∠OBA= 3180-∠A0B)=90-∠B0C. ∠0CA=2180°-∠A0C)=90°- 号∠0C∠0A≠∠0A.故@ 错误.综上所述，正确的个数是1. 易错警示 由圆心角、弧、弦之间的 相等关系误得倍数关系 在同圆或等圆中，如果两个圆 心角、两条孤、两条弦中有一组量 相等，那么它们所对应的其余各组 量都分别相等.但应注意的是，在 同圆或等圆中，当两个圆心角或两 条弧存在倍数(1倍除外)关系时， 对应的两条弦不存在相应的倍数 关系 6.B解析：延长AO交⊙O于点E 连接BE,则∠AOB+∠BOE=180° .∠AOB+∠COD=180°， ∴.∠BOE=∠COD..BE=CD= 6.OA=OB=OE=5,∴.∠A= ∠OBA,∠OBE=∠E,AE=10. .易得∠ABE=90.∴.由勾股定理， 得AB=√AE-BE=√102-6=8. 7.4解析：如图，连接AC,O℃，OB, 过点B作BH⊥AO,交AO的延长线 于点H.设⊙O的半径是r.CD垂 直平分半径OA,.AC=OC,OD= 20A=7.0A=0C.△0AC 是等边三角形..∠AOC=60.C 是AB的中点，∴.∠BOC=∠AOC= 60°..∴.∠BOH=180°-60°-60°= 60°..∠OBH=90°-60°=30. 0H=20B=7BH= 1 2r, DH=OD+OH=r.BH2+ DH=BD2,∴. )+2 (2√7)2.∴.r=4..该圆的半径为4. (第7题) 8.BC=AD=DE」 理由：连接OE. :∠BOC=∠AOD, .BC=AD. BE//CD, ∴.∠BOC=∠B,∠DOE=∠E. .OB=OE .∠B=∠E. ∴.∠BOC=∠DOE. ∴.BC=DE .'BC=AD=DE. 9.(1)如图，连接AC,DB. :C,D是AB的三等分点， .'AC=CD=DB 又∠AOB=90°， ∴.∠AOC=∠COD=∠DOB=30. .OA=OB,∠AOB=90°， .'.∠OAB=∠OBA=45. ∴.∠AEC=∠AOC+∠OAB=30°+ 45°=75 (2).·∠AOC=∠COD=∠DOB= 30°，OA=OC, ·∠AC0=2(180-∠A0C)= 2(180°-309=75 .∴.∠AEC=∠ACO. .AE=AC. 同理，可得BF=DB .AC=CD=BD, .AE=BF=CD. (第9题) 10.连接DE,FG. :以点F为圆心，DE长为半径作 弧，交DF于点G, 28 ∴.FG=DE. .FG=DE .∠GCH=∠ACB. .GH⊥BF, .'.∠GHC=90° '.∠GHC=∠B=90. '.△GHCc∽△ABC. “器是 .在Rt△ABC中，∠B=90°，AB= 6,BC=8, ∴.AC=/AB2+BC2=√/62+82= 10. GC=CE=5, .GH=5X6=3. 10 11.2√10解析：延长C0交⊙O于 点E,连接ED,交AO于点P,则此时 PC+PD的值最小，最小值为线段 DE的长.CD⊥OB,..∠DCB= 90°.：∠AOB=90°，∴.∠DCB= ∠AOB.∴.CD∥AO.∴.△BCDn △0A.8黑-%即9-6 6 .CD=2.CE=2×3=6,.在 Rt△CDE中，DE=√CD+CE= √22+6=2√0，即PC+PD的最 小值为2√10 12.(1)四边形OACB是菱形. 理由：连接OC. ∠AOB=120°，C是劣弧AB的 中点， ∴.∠AOC=∠BOC= 7∠A0B=6 OA=OC=OB, .△AOC与△BOC都是等边三角形. .AC=OA=OB=BC. ∴.四边形OACB是菱形 (2)由(1)，知△AOC是等边三角形， ∴.∠OAC=∠0CA=60°. .AP=OA,AC=OA, .'AP=AC. ·∠P=∠ACP=2∠0AC=30. '.∠OCP=∠OCA+∠ACP=90°. ⊙O的半径为2， .OC=0A=2,OP=20A=4. ∴.在Rt△POC中，由勾股定理，得 PC=√OP-OC=2√5. *3垂径定理 1.A 2.4解析：.OE⊥AP,OF⊥PB, .E为AP的中点，F为PB的中点 .EF为△APB的中位线.∴.EF= AB=号X8=4. 1 3.连接AO. CD过圆心，C为AB的中点， ∴.CD⊥AB,AC=BC AB=18分米， ∴.AC=BC=9分米. 设拱门所在圆的半径为x分米，则 OA=OD=x分米， ,CD=27分米， .OC=(27-x)分米. 在Rt△OAC中，AC2+OC2=OA2, 即92+(27-x)2=x2,解得x=15. ∴.拱门所在圆的半径是15分米. 4.B解析：延长CO交AB于点E, 连接OB..CE⊥AB,.E为AB的 中点.OC=12,D为OC的中点， .'CD=OD=6,OB=12..DE= 2×(12×2-6)=9.∴0E=9-6=3 在Rt△OEB中，根据勾股定理，可得 BE=√/OB2-OE2=3√J15..∴.AB= 6W15」 5.C解析：.OD⊥AC,AC=4W2, 六AD=CD=2AC=2w2. ∠ODA=90°.又OA=OB,.OD= BC.设OD=x,则BC=2x. 1 DE=4,.OE=4-x.∴.OA= 4-x.在Rt△AOD中，由勾股定理， 得OA2=AD2+OD2,即(4-x)2 (22)2+x2,解得x=1.∴.BC= 2x=2. 方法归纳 垂径定理基本图形计算中的 “四变量”“两关系” (1)四变量：如图，设弦长为 a,圆心到弦的距离（弦心距）为d, 半径为r,孤的中点到弦的距离( 形高)为h,已知这四个变量中的任 意两个即可求出其他两个 2②)两关系：0（）+ r2;②h+d=r. 提示：计算时，常通过连半径 或过圆心作弦的垂线段来构造直 角三角形 6.A解析：.OE⊥AC,∴.∠AEO 90°，AC=2AE..OE=3,AO= OB=5,∴.由勾股定理，得AE= √AO2-OE=4.∴.AC=8.CD AB,∴.∠AFC=90°，CD=2CF」 ∴.∠AEO=∠AFC.又∠A=∠A, :△Ao△Arc祀-g器 .CF=4.8.∴.CD=2CF=9.6. 7.5解析：如图，设劣弧支架AB所 在圆的圆心为O,连接OA.设OA= OM=r cm..EN=20.6 cm,EM= 17cm,.MN=20.6-17=3.6(cm). .'ON=OM-MN=(r-3.6)cm. OM⊥AB,∴.AN=BN= 合AB=号×96=48m.在 Rt△OAN中，OA2=ON2+AN2. .r2=(r-3.6)2+4.82,解得r=5. ∴.劣弧支架AB所在圆的半径是 5 cm. M (第7题) 29 8.2cm或14cm解析：过点O作 OE⊥AB于点E,OF⊥CD于点F,连 接OA,OC.AB=16cm,CD= 1 12 cm,AE=2AB=8 cm,CF= CD=6 cm.OA =OC=10 cm, ∴.易得OE=6cm,OF=8cm.如图 ①，当弦AB和CD在圆心的同侧时， ABCD,.易得点E,O,F在同 一条直线上.∴.EF的长即为弦AB和 CD之间的距离.∴.EF=OF-OE= 2cm.如图②，当弦AB和CD在圆心 的异侧时，ABCD,∴.易得点E O,F在同一条直线上..EF的长即 为弦AB和CD之间的距离.∴.EF= OF+OE=14cm.综上所述，弦AB 和CD之间的距离为2cm或14cm. 、D 0 ① (第8题) 易错警示 忽略弦的位置而导致错误 求圆中两条平行弦之间的距 离时，要注意这两条弦相对于圆心 的位置，两条弦可能在圆心的同 侧，也可能在圆心的异侧.本题容 易因考虑不全而出错 9.(1)OC⊥AB,AB=8m, .∴.AD=BD=4m,∠ODB=90°. 设主桥拱的半径为Rm,则OD= (R-2)m. .'OD2+BD2=OB2, .(R-2)2+4=R2,解得R=5. ∴.这座石拱桥主桥拱的半径为5m. (2)此渔船不能顺利通过这座拱桥. 理由：如图，设MN为该渔船的上端， MN与CD交于点E,连接ON. 由题意，得CE=2-1=1(m). .0E=5-1=4(m). 在Rt△OEN中，由勾股定理，得EN √ON2-OE=√5-4=3(m).