第二章 二次函数 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

拔尖特训·数学（北师版）九年级下 第二章整合拔尖 ◆“答案与解析”见P25 知识体系构建 般地，若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx十c(a,b,c 定义 是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数 常见的几种 y=ax 表达式(a≠0) y=ax+k 四者之间通过图象的平移变换得到 y=a(x-h)2 (左加右减，上加下减) y=a(x-h)+h y=a成+x十e配方y=a(-hy十大 y=ax+bx+c b 4ac-b (a≠0)的图象 图象顶点 (-2a'4a b 和性质 图象对称轴 直线x=一 2a a>0 图象开口向上 当x>- 名时，)随x的增大而增大，当<一品勿 增减性时，y随x的增大而减小 最值 当x=一名时，有最小值 2a 一次函数 a<0 图象开口向下 当x>- 会时，y随x的增大而减小，当x< 2a 增减性时，y随x的增大而增大 最值 当x=一品 时，有最大值 用待定系数法 求二次函数的 般式y=ax2+bx十c,已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式 表达式 y=a(x一h}十飞，已知抛物线的顶点坐标及抛物线上另外 顶点式一点的坐标，通常选择顶点式 y=a(x一xx一x),已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标 交点式和抛物线上另外一点的坐标，通常选择交点式 二次函数的应用 求几何图形的最大面积 求最大利润 其他实际应用中的最值问题 抛物线y=ax+bx+c与x轴的交点的横坐标即为一元二次方程 二次函数 ax2+bx+c=0的根 与一元二次方程 抛物线与x轴的交点情况 有两个交点←→4>0 有一个交点→△=0 没有交点→△<0 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 48 第二章 二次函数 91高频考点突破 考点一二次函数的图象与性质 考点二二次函数的应用 典例1如图，抛物线y=ax2十 典例2(2024·新疆)某公司销售一批产品，经 c十ce的顶点坐标为-2m)小： 市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间 时，销售额y1(万元)与销售量x(吨)之间的函 与x轴的一个交点位于点(0,0) 数表达式为y1=5.x;成本y2(万元)与销售量 和点(1,0)之间.有下列结论： (典例1图) x(吨)的函数图象是如图所示的抛物线的一部 ①abc>0;②2b十c>0;③若抛物线经过点 (一3，y1),(3,y2),则y1>y2;④若关于x的一 分，其中号，)是其顶点。 元二次方程ax2十bx十c一3=0没有实数根，则 (1)求成本y2关于销售量x的函数表达式 m<3.其中，正确的个数是 ( (2)当成本最低时，销售产品所获得的利润是 A.1 B.2 C.3 D.4 多少？ [变式](2025·舟山模拟)已知一次函数y= (3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最 x一5的图象与x轴、y轴分别交于点A,B.将 大利润是多少（注：利润=销售额一成本）？ 点A向左平移4个单位长度，得到点A',且点 y/万元 A'恰好在二次函数y=a.x2+bx一3(a,b是常 数，a≠0)图象的对称轴上 (1)用含a的代数式表示b. (2,4) (2)求证：二次函数与一次函数图象交于一个定 点，并求出该点的坐标 2 3x/吨 (典例2图) (3)若二次函数图象与线段AB恰有一个公共 点，结合函数图象，求α的取值范围. 49 拔尖特训·数学（北师版）九年级下 [变式]如图①，市政灌溉车沿着平行于绿化带 算说明沿水柱上边缘喷出的水能否浇灌到绿化 底部边线的方向行驶，为绿化带浇水.如图②， 带最上方，使整个绿化带都被浇灌， 可以把灌溉车喷出的水柱的上下边缘抽象为平 +y/米 面直角坐标系中的两条抛物线的一部分，喷水 口H离地面的高度OH为1.6米，把绿化带横 OB D EC/米 截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=3米， ① ② 竖直高度EF=0.6米，水柱上边缘所在抛物线 y1的最高点A离喷水口的水平距离为2米，高 出喷水口0.2米，灌溉车到绿化带底部边线的距 离OD为d米. (1)求沿水柱上边缘喷出水的最大射程O℃. (2)当d=4时，灌溉车在行驶中，沿水柱下边缘 喷出的水保证能浇灌到绿化带最下方.请通过计 综合素能提升 1.(2025·枣庄)在水分、养料等条件一定的情 x轴的另一个交点是（一1,0）；⑤当1<x<4 况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照 时，y2<y1.其中，正确的个数是 强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光 A.2 B.3 C.4 D.5 照强度范围(200≤x<1000)内，y与x近似 3.(2024·泸州)已知二次函数y=ax2+(2a 成一次函数关系；在中高光照强度范围(x≥ 3)x十a-l(x是自变量)的图象经过第一、二 1000)内，y与x近似成二次函数关系，其部 四象限，则实数a的取值范围是 分图象如图所示.根据图象，下列结论中正确 4.(2024·成都)在平面直角坐标系中， 的是 C A(1y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是 A.当x≥1000时，y随x的增大而减小 二次函数y=一x2+4x一1图象上三 B.当x=2000时，y取得最大值 点.若0<x1<1,x2>4,则y1 y2(填 C.当y≥0.6时，x≥1000 “>”或“<”)；若对于m<x1<m+1,m十 D.当y=0.4时，x=600 1<x2<m十2，m十2<x3<m十3，存在y1< y3<y2,则m的取值范围是 0.6 5.（2024·广西)如图，壮壮同学投掷实心球，出 0.3 020010003000x 公y2 手（点P处）的高度OP是m,出手后实心 (第1题) (第2题) 球沿一段抛物线飞行，到达最高点时，水平距 2.如图所示为抛物线y1=ax2十bx十c(a≠0) 离是5m,高度是4m.若实心球落地点为M, 的一部分，抛物线的顶点坐标为A(1,3),与 则OM= m. x轴的一个交点为B(4,0),直线y2=mx十n (m≠0)与抛物线交于A,B两点.有下列结 4 m 论：①2a+b=0;②abc>0;③方程ax2+ 5m bx十c=3有两个相等的实数根；④抛物线与 (第5题) 50 第二章二次函数 6.(2025·南充)学校计划租用客车送师生到某7.(2025·甘肃)如图①，抛物线y= 红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我” ae+)x-4)(a≠0)分别与 的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关 问题 x轴、y轴交于A,B(0,一4)两点，M为OA 的中点 租车公司有A,B两种型号的客车可供租 (1)求抛物线对应的函数表达式 用，在每辆车满员的情况下，每辆A型客 (2)连接AB,过点M作OA的垂线，交AB 材料 车比每辆B型客车多载客15人；用A型 客车载客600人与用B型客车载客 于点C,交抛物线于点D,连接BD,求△BCD 450人的车辆数相同 的面积 A型客车的标准租车费用为3200元/辆； (3)E为线段AB上一动点（点A除外），将 B型客车的标准租车费用为3000元/辆. 线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得 材料二 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用 到OF. 为(3200-50m)元/辆；租用B型客车，租 ①当AE=√2时，请在图②中画出线段OF 车费用按标准费用打八折 后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物 租车公司最多提供8辆A型客车； 线上 材料三 学校参加研学活动的师生共有530人，租 ②如图③，P是第四象限的一动点，∠OPA 用A,B两种型号客车共10辆 90°，连接PF,当点E运动时，求PF长的最 (1)A,B两种型号的客车每辆的载客量分别 小值 是多少？ YA (2)本次研学活动学校的最少租车费用是 多少？ ① ② ③ (第7题) 5第二章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1C解析：对于①，·抛物线 y=a.x2十bx十c的顶点坐标为 b.∴.ab>0.由图象，知当x=0时， y=c>0.∴.abc>0.故①正确.对于 ②，由图象，可得当x=1时，y=a十 b+c<0.a=b,∴.2b+c<0.故② 错误.对于③，设(-3，y1),(3,y2)两 点到对称轴的距离分别为d1,d :直线x=一号是抛物线的对称轴， d,=-3-（-2)=2,d, 3-(-2)=.d<d 由图象，得a<0,∴易得y1>y2. 故③正确.对于④，，关于x的一元 二次方程a.x2+bx十c-3=0没有实 数根，∴.抛物线y=a.x2十bx十c与 直线y=3没有交点..m<3.故④ 正确.综上所述，正确的个数是3. [变式](1)对于y=x-5,令y= 0,则x=5, .A(5,0). .将点A向左平移4个单位长度，得 到点A'(1,0) ,点A'恰好在二次函数y=a.x2十 bx一3(a,b是常数，a≠0)图象的对称 轴上， =1,即b=-2a. (2):二次函数必过点(0，一3)，二次 函数图象的对称轴是直线x=1, ∴二次函数的图象也过点(2，一3). :当x=2时，一次函数的函数值恰 好也是一3， .二次函数与一次函数图象交于 个定点，该点的坐标为(2，一3) (3)①当a0时， ,二次函数的图象与y轴交于点 (0,一3)，一次函数的图象与y轴交 于点(0，一5)， 又两函数的图象交于定点(2，一3)， ∴.结合图象（图略），可得当a<0时， 均符合题意， ②当a>0时，结合图象（图略），可得 当x=5时，y<0,或者当二次函数图 象与线段AB只有一个交点(2，-3) 时，符合题意， 当x=5时，y=25a-10a-3<0,解 .1 得a<5 当二次函数图象与线段AB只有一个 y=ax2+b-3, 交点(2，一3)时，由 y=x-5, 得a.x2+(-2a-1)x+2=0. △=0， ∴.(-2a-1)2-8a=0,解得a1= 1 ag-21 综上所述，a的取值范围是a<0或 0a<或a=2 1 典例2(1)：抛物线的顶点为 (侵) 4可设%a(-)+子 ,抛物线过点(2,4)， ,917 ∴a×4+4 =4 .'a=1. (2)由题意，得当x=2时，成本最低 为子万元 :当销售量在0.4吨至3.5吨之间 时，销售额y,(万元)与销售量x(吨) 之间的函数表达式为y1=5x, “当x=号时，1=5x=5×司 2.5. 7 、此时利润为25一 =0.75(万元). ∴当成本最低时，销售产品所获得的 利润是0.75万元. (3)设利润为W万元. 25 ∴.W=y1-y2=5.x- [(x-)°+ 7]=-x2+6x-2=-(x-32+7. 4 .-10, ∴当x=3时，W有最大值，最大值 为7. ∴.当销售量是3吨时，可获得最大利 润，最大利润是7万元 [变式](1)由题意，得水柱上边缘所 在抛物线的顶点A的坐标为(2,1.8. 设水柱上边缘所在抛物线对应的函数 表达式为y=a(x-2)2+1.8(a≠0). 该抛物线经过点H(0,1.6), .1.6=aX(0-2)2+1.8,解得a= -0.05. '.水柱上边缘所在抛物线对应的函 数表达式为y=-0.05(x-2)2+1.8. 当y=0时，0=-0.05(x-2)2+1.8, 解得x1=8,2=一4（不合题意，舍去）. .点C的坐标为(8,0) '.O℃=8米 ∴.沿水柱上边缘喷出水的最大射程 OC为8米. (2)OD=4米，DE=3米， .OE=7米 在y=-0.05(x-2)2+1.8中，当 x=7时，y=-0.05×(7-2)2+ 1.8=0.55. 0.55<0.6, '·沿水柱上边缘喷出的水不能浇灌 到绿化带最上方. [综合素能提升] 1.B 2.B解析：由题意，易得抛物线的对称 轴为直线x=1a<0,6>0品 1..2a十b=0,b>0.故①正确.易知 abc<0.故②错误.根据抛物线的对称 性，得抛物线与x轴的另一个交点是 (一2,0).故④错误.：抛物线的顶点 坐标为A(1,3),.抛物线与直线 y=3只有一个交点..方程ax2十 bx十c一3有两个相等的实数根.故③ 正确.由题图，得当1<x<4时，y2< y1.故⑤正确.∴.正确的个数是3. 31<号 解析：·二次函数的图 象经过第一、二四象限24二3 2a 0,且a-1≥0，a>0,△=(2a-3)2- 4ua-1)>01<a<号.实数 u的取值范固是1a<号 4.>- 2<m<1 解析：如图，以O为坐标原 点，OM所在直线为x轴，OP所在直 线为y轴，建立平面直角坐标系.由 题意可知，P(0,）,B(5,4,其中B 为抛物线的顶点.设抛物线对应的函 数表达式为y=a(x-5)2+4.将 P(o.)代入，得25u十4=子，解得 9 a=一10…抛物线对应的函数表达 9 式为y=一100x-5)2+4.令y=0, 9 则-1x-5)+4=0,解得 =-号（不合题意，舍去） 35 M(5o∴OM=m B 4m A M 5m (第5题) 6.(1)设A型客车每辆的载客量为 x人，则B型客车每辆的载客量为 (x-15)人. 根据题意，得600=450 xx-15,解得x= 60. 经检验，x=60是所列方程的解，且符 合题意 .x-15=60-15=45. ∴A型客车每辆的载客量为60人， B型客车每辆的载客量为45人. (2)设租用A型客车m(m≤8)辆，则 租用B型客车(10一m)辆. 根据题意，得60m十45(10一m)≥ 530,解得m≥5 3 9<m8 设本次研学活动学校的租车，总费用为 心元，则)=(3200一50m)m+ 3000×0.8(10-m)=-50m2+ 800m+24000. ,一50<0，函数图象的对称轴为直 线m=一 800 2×(-50) 8, ∴.当m≤8时，随着m的增大而 增大. :m取正整数，且 ∠m≤8， ∴.当m=6时，取得最小值，最小 值为一50×62+800×6+24000= 27000. ∴.本次研学活动学校的最少租车费 用是27000元 7.(1)把B(0,-4)代入y=a（x+ 号)x-4a≠0)，得-10a=-4, 2 解得a=5 ∴.抛物线对应的函数表达式为y= 5x4 2)当y=号(+)x-4)=0 5 时，解得x1=一2x2=4, .A(4,0). M是OA的中点， .M(2,0). ..OM=2. B(0,-4), '.可设直线AB对应的函数表达式 为y=kx一4. 把A(4,0)代人，得4k一4=0，解得 k=1. ∴.直线AB对应的函数表达式为y= x-4. ·易知C(2,-2),D(2,-) 26 ∴.CD=-2+s=2、 1 ∴.△BCD的面积=2CD·OM= 8×2=5 8 (3)①由题意，作图如图①所示. 连接BF,过点F作FQ⊥OB于点Q. 由(2)可知，OA=OB=4, .∠OAB=∠OBA=45. ·将线段OE绕点O按顺时针方向 旋转90得到OF, '.OE=OF,∠EOF=90°=∠BOA. ..∠AOE=∠BOF 又OA=OB,OE=OF, .△AOE≌△BOF. ∴.∠OAE=∠OBF=45°，AE= BF=√2. FQ⊥OB, ∴.△FQB为等腰直角三角形 :易得0=0-号F=1 ..OQ=OB-BQ=3. .F(-1,-3). 对于y一5 23 2 5 x一4， 当x=-1时y=号+号-4=-3 .点F在抛物线上， ②如图②，连接BF并延长，交x轴 于点G,连接PM,MF,过点M作 MH⊥BG于点H. :∠OPA=90°，M为OA的中点， PM=20A=2 PF≥MF-PM, ∴当M,P,F三点共线时，PF的长 最小 同①，可得∠OBF=∠OAE=45, .点F在射线BG上运动. '.当MF⊥BG,即，点F与点H重合 时，MF的长最小，此时PF的长最 小，为MH一PM. '∠0BG=45, ∴.△OBG为等腰直角三角形 '.OG=OB=4,∠BGO=45. ..MG=OG+OM=6,△MHG为等 腰直角三角形 易得MH-号G=3E. ∴.PF长的最小值为MH-PM= 3√2-2. ② (第7题) 第三章 圆 1圆 1.C2.B3.64.6<r<10 5.如图，涂色部分即为这匹马的活动 区域. CA P。 4m B A D (第5题) 6.B7.C 8.6.5cm或2.5cm解析：①当点 P在⊙O内时，如图①.点P到 ⊙O上的点的最小距离PB=4cm, 最大距离PA=9cm,∴.直径AB 4+9=13(cm).∴.半径为6.5cm. ②当点P在⊙O外时，如图②.：点 P到⊙O上的点的最小距离PB= 4cm,最大距离PA=9cm,∴.直径 AB=9-4=5(cm).∴.半径为 2.5cm.综上所述，⊙O的半径是 6.5cm或2.5cm. ① B ② (第8题) 易错警示 解决点到圆上的点的距离 最值问题时注意分类讨论 求不在圆上的点A和圆上动 点间距离的最大值与最小值，方法 是过点A与圆心画直线，则直线与 圆会有两个交点，这两个交点与 点A之间的线段的长即为最大值 或最小值.若点不在圆上，则点可 能在圆内，也可能在圆外，要注意 分类讨论 9.点P在⊙O内 10.4<r≤5解析：连接AC.四 边形ABCD为矩形，AD=4,.∠B= 90,BC=AD=4.AB=3,.在 Rt△ABC中，由勾股定理，得AC= √JAB+BC=5.要使点B,C,D 中只有两点在⊙A内，∴.点C一定在 ⊙A上或⊙A外，点B,D一定在⊙A 内.∴.⊙A的半径r的取值范围是 4<r5. 11.28°解析：如图，连接OD. OB=DE,OB=OD,∴.OD= DE.∴.∠DOE=∠E..∠1= ∠DOE+∠E=2∠E.,OC=OD, .∠C=∠1.∠C=2∠E ∴.∠AOC=∠C+∠E=3∠E :∠E=3∠A0C 3×84°=28 B (第11题) 12.到，点A的距离不小于3cm的点 应在以点A为圆心，3cm的长为半径 的⊙A上及⊙A外，到点B的距离小 于2cm的点应在以点B为圆心， 2cm的长为半径的⊙B内. 如图，阴影部分即为所求 I cm (第12题) 27 13.(1)点A的坐标为(8,0)，点B 的坐标为(0,6)， ∴.AB=√(0-8)+(6-0)7=10. .⊙M的半径为5. AB为直径，点M为圆心， ∴.M是AB的中点. :点M的横坐标为8=4，纵坐标 2 为6=3. 2 .点M的坐标为(4,3). (2)点C在⊙M上. 理由：：点C的坐标为(1,7)，点M 的坐标为(4,3)， '.CM=/(1-4)2+(7-3)2=5. ∴.点C在⊙M上. 14.取AB的中点E,连接EM,EC, AD. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=8,BC=6, ∴.由勾股定理，得AB= √AC+BC=√82+6=10. E为AB的中点，M为BD的中 点，AD=4, CE-ZAB-5,ME-AD-2. ∴.CE-ME≤CM≤CE+ME,即 3≤CM7. .CM长的最大值为7. 2圆的对称性 1.B2.B3.64 4.连接AF,则AB=AF .∠ABF=∠AFB. ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.ADBC. ∴.∠GAE=∠ABF,∠EAF=∠AFB. ∴.∠GAE=∠EAF. ∴.GE=EF 5.B解析：取AB的中点E,连接 OE,AE,BE,AE=EB..AE= EB,∠AOE=∠BOE.'∠AOB= 2∠BOC=∠AOE+∠BOE, ∴.∠AOE=∠BOE=∠BOC. .AE=BE=BC,AE=BE=BC.