专题特训六 抛物线与几何图形的最值问题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

拔尖特训·数学（北师版）九年级下 专题特训六 抛物线与几何图形的最值问题 >“答案与解析”见P23 类型一抛物线与线段的最值问题 2.如图，抛物线过点O(0,0),A(5,5), 1.(2025·德阳)如图①，在平面直角坐标系中， 且它的对称轴为直线x=2. 二次函数y=一x2+bx+c的图象与x轴交 (1)求抛物线对应的函数表达式， 于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C. (2)若B是抛物线对称轴上的一点，且点B (1)求抛物线对应的函数表达式 在第一象限，当△OAB的面积为15时，求点 (2)如图②，连接BC,过点C作CD⊥BC与 B的坐标. 抛物线相交于另一点D. (3)在(2)的条件下，P是抛物线上的动点， ①求点D的坐标， 当PA一PB的值最大时，求点P的坐标以 ②如图③，E,F为线段BC上的两个动点 及PA一PB的最大值. (点E在点F的右侧)，且EF=√2，连接 OF,DE.求OF+DE的最小值 y D 0 ① ② ③ (第2题) (第1题) 46 第二章二次函数 类型二抛物线与面积的最值问题 4.已知y关于x的函数y=(a一2)· 3.(2024·遂宁)如图，二次函数y=a.x2+bx十 x2+(a+1)x+b. c(a≠0)的图象与x轴分别交于点A(一1， (1)若函数的图象与坐标轴有两个 0),B(3,0),与y轴交于点C(0,-3),P,Q 公共点，且a=4b,则a的值是 为抛物线上的两点. (2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴交 (1)求二次函数的表达式 于点A(一2,0)，B(4,0),与y轴交于点C,并 (2)当P,C两点关于抛物线的对称轴对称， 与动直线l:x=m(0<m<4)交于点P,连接 且△OPQ是以P为直角顶点的直角三角形 PA,PB,PC,BC,其中PA交y轴于点D, 时，求点Q的坐标 交BC于点E.设△PBE的面积为S1, (3)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为 △CDE的面积为S2· m+1,试探究△OPQ的面积S是否存在最 ①当P为抛物线的顶点时，求△PBC的 小值.若存在，请求出最小值；若不存在，请说 面积. 明理由. ②在直线l运动的过程中，S1一S2是否存在 最大值？若存在，求出这个最大值；若不存 在，请说明理由， (第3题) A B (第4题) 479.D解析：由抛物线y=x2一4x十 5=(x一2)2十1知，抛物线的顶，点坐 标是(2,1)，C(0,5).'.该抛物线绕点 C旋转180°所得的抛物线的顶，点坐标 是（一2,9）.∴.所得抛物线对应的函 数表达式为y=一(x+2)2+9= -x2-4x+5. 10.（1,一3)解析：将抛物线y= x2+2x一1先绕原点旋转180°所得的 抛物线为一y=(一x)2十2（一x)一1， 即y=一x2+2x十1.再将抛物线y 一x2+2x十1向下平移5个单位长度， 得抛物线y=一x2+2x+1-5= -x2+2x-4=-(x-1)2-3.∴.所 得到的抛物线的顶，点坐标是(1，一3). 11.(1),抛物线y=一x2+2x一 n2+21过点P,Q,点P,Q的纵坐标 为4， ∴.4=-x2十21.x-n2+21,解得 x1=n十√2-4，x2=n-w√2-4 PQ=|x1-x2=4, .'.2√21一4=4，解得n=4. '.抛物线对应的函数表达式为y= -x2+8x-8,x1=6,x2=2. 点P在点Q的左侧， .点P的坐标为(2,4) (2)正确： 理由：由(1)，得P(2,4),Q(6,4). 设点Q绕点P旋转180°后的对应点 为Q. .Q'(-2,4). .点P与点Q正好关于y轴对称. ∴.所得新抛物线的对称轴是y轴。 y=-x2十8x-8=-(x 4)2+8, .原抛物线的顶点M的坐标为(4,8). ∴.顶点M到直线PQ的距离为4. '.所得新抛物线的顶点到直线PQ 的距离为4 '.易得所得新抛物线的顶点恰为坐 标原点O. 专题特训六抛物线与几何 图形的最值问题 1.(1)A(1,0),B(3,0)在二次 函数y=一x2+bx十c的图象上， ∴抛物线对应的函数表达式为y= -(x+1)(x-3)=-x2+2x+3. (2)①把x=0代人y=-x2+2x+ 3,得y=3, .C(0,3). 如图①，延长DC与x轴相交于点G. B(3,0),C(0,3) ∴.OB=OC=3. :∠COB=90, ∴.∠CB0=45. :∠DCB=90°=∠BCG, ∴.∠CGB=90°-∠CBO=90° 45°=45°. ∴.∠G00=180°-∠C0G-∠CGB= 180°-90°-45°=45° .0G=OC=3. .G(-3,0) 设直线CG对应的函数表达式为y= kx十m(k≠0). 把C(0,3),G(-3,0)代入，得 3=m, k=1, 解得 0=-3k+m, m=3, ∴.直线CG对应的函数表达式为y= x+3. .·D是直线CG与抛物线的交点， y=x+3, {x=0, .联立 解得 y=-x2+2x+3, (y=3 x=1, 或 y=4. .D(1,4). ②如图②，过点O作OH∥EF,且 OH=EF=√2，连接HE,DH,设 DH与x轴的交点为M. .·OH∥EF,且OH=EF .四边形OFEH是平行四边形 .OF=EH. :∠CB0=45, .∠BOH=45. ∴.△OMH为等腰直角三角形 .'OM=MH. .·OH=EF=√2，OM+MH2= OH, '.OM=MH=1. 23 '.H(1,-1). .DE+EH≥DH .当DE+EH=DH时，DE+EH 的值最小 D(1,4),H(1,-1) ∴.DH=5,此时D,E,H三点共线 且DH⊥x轴 ∴点F的坐标为(0,3)，与点C重 合，满足EF在线段BC上. .OF+DE的最小值为5. yt D D C A/VM: B 0 H ① ① (第1题) 2.(1)抛物线过点O(0,0),且它 的对称轴为直线x=2, ∴.抛物线与x轴的另一个交点的坐 标为(4,0) 设抛物线对应的函数表达式为y= ax(x一4)(a≠0) 把A(5,5)代入，得5a=5,解得a=1. .y=x(x-4)=x2-4x. ∴.抛物线对应的函数表达式为y= x2-4x. (2)由B是抛物线对称轴上的一点， 且点B在第一象限，可设B(2,m) (m>0). 设直线OA对应的函数表达式为y= kx(k≠0) 把A(5,5)代入，得5k=5,解得k=1. ∴.直线OA对应的函数表达式为 y=I. 设直线OA与抛物线的对称轴交于点 H,则易得H(2,2). ∴.BH=m-2. S△04B=15, 2×m-2引X5=15,解得m,= 8,m2=一4（不合题意，舍去）. ∴.点B的坐标为(2,8). (3)由PA一PBAB可知，当点P 在线段AB的延长线上时，PA一PB 取得最大值，最大值为AB的长. 设直线AB对应的函数表达式为y= n.x+d(n≠0) 把A(5,5),B(2,8)分别代人，得 /5n+d=5, 2=-1, 解得 2n+d=8, d=10. ∴.直线AB对应的函数表达式为y= -x+10. 令x2一4x=一x十10，解得x1=一2， x2=5(不合题意，舍去) 对于y=一x+10,当x=一2时， y=12. .P(-2,12). A(5,5),B(2,8), .易得AB=√(5-2)+(5-8)= 3√2. ∴.点P的坐标为(-2,12)，PA-PB 的最大值为3√2】 3.(1)由题意，得y=a(x+1)(x- 3)=a(x2-2x-3). 把C(0,-3)代人，得-3a=-3,解得 a=1. .二次函数的表达式为y=x2 2x-3. (2):抛物线的对称轴为直线x=1, 点P,C关于抛物线的对称轴对称， .P(2,-3) 设Q(n,n2-2-3). 当△OPQ是以P为直角顶点的直角 三角形时，∠OPQ=90°， ..OP2+PQ2=0Q2, .[(0-2)2+(0+3)2]+[(2 n)2+(-3-n2+21+3)2]=n2+ (n2-21-3)2. 整理，得3n2-81十4=0，解得11= 2 1,=2(不合题意，舍去). n2-2m-3=-9 35 (3)存在 设P(m,m2-2m一3)，则易得Q(m+ 1,m2-4). 当m=时，P(分，)，Q 1 4: s=2×1 1515 4=8 当m≠号时，设直线PQ交x轴于 点H. 由点P,Q的坐标，易得直线PQ对应 的函数表达式为y=(2m-1)(x一 m)+m2-2m-3. 令y=0,得r=m2m3十m,则 1-2m OH= m2-2m-3+m 1-2m .S= 2OH·lyQ-yp=2 m2-2m-3+m ·m2-4-m 1-2m 2m+31=2m+m+3 (m+号)+号 :S的最小值为8 .11 1115 :8<81 1 ∴.△OPQ的面积S的最小值为 81 4.(1)2或0或-4： 1 (2)①如图，设直线（与BC交于 点F. 4(a-2)-2(a+1)+b=0, 根据题意，得 16(a-2)+4(a+1)+b=0, 解得二1， b=8. ∴.抛物线对应的函数表达式为y= -x2+2x+8. 当x=0时，y=8, .C(0,8). y=-x2+2x+8=-(x-1)2+ 9,P为抛物线的顶，点， P(1,9). 设直线BC对应的函数表达式为y= kxn. 把B(4,0),C(0,8)代人，得 4k+n=0, k=一2， 解得 n=8, n=8. 24 '.直线BC对应的函数表达式为 y=-2x+8. 当x=1时，y=6, .F(1,6). ∴.PF=9-6=3. :△PC的面积=合OB·PP= 1 ×4X3=6. ②S,一S2存在最大值. 如图，设直线1交x轴于点H,则 H(m,0). A(-2,0),B(4,0), .OB=4,AO=2,AH=m+2, AB=6. 由①，得y=-x2+2x+8,C(0,8), .OC=8,P(m,-m2+2m+8). .PH=-m2+2m+8. 由题意，得OD∥PH, ∴.∠ADO=∠APH,∠AOD=∠AHP. .△AOD∽△AHP. “品器 即、2 OD m+2-m2+2m+8 ∴.OD=8-2m. ,S1-S2=S△PAB-S△A0D一 S四边形OBm-S△CDE=S△PAB一S△AOD S△ox, S,-S=6-m2+2m+8) 2 28-2m)_4X8=-3m2+8m= 9 2 -sa)》'+导 .-3<0,0<m<4 当m=专时，S,一5：取得最大值， 最大值为3· 16 AOHB (第4题)