5 二次函数与一元二次方程-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

拔尖特训·数学（北师版）九年级下 5二次函数与 自基础进阶 1.对于二次函数y=x2一2x+3的图象，下列 说法中正确的是 () A.开口向下 B.对称轴是直线x=一1 C.顶点坐标是(1,2)D.与x轴有两个交点 2.如图所示为二次函数y=ax2+bx一c(a≠0) 的部分图象，则关于x的一元二次方程 a.x2+bx=c(a≠0)的两个根可能是 (结果精确到0.1) yA x-2 3 1 -2-101234x (第2题) 3.易错题(2025·青岛模拟)若函数y=mx2十 x+1的图象与x轴只有一个公共点，则m 的值是 4.二次函数y=x2十x的图象如图所示 (1)根据方程的根与函数图象之间的关系， 将方程x2十x=1的根在图上近似地表示出 来（描点），并观察图象，写出方程x2+x=1 的近似根（结果精确到0.1）. (2)在同一平面直角坐标系中，画出一次函数 y十的图象，观察图象，求一次函数的 值小于二次函数的值时自变量x的取值范围。 20.2x (第4题) 40 元二次方程 ●“答案与解析”见P19 幻素能攀升 (2025·陕西)在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2-2a.x十a-3(a≠0)的图象与x轴有 两个交点，且这两个交，点分别位于y轴两侧， 则下列关于该函数的结论，正确的是() A图象的开口向下 B.当x>0时，y的值随x值的增大而增大 C.函数的最小值小于一3 D.当x=2时，y<0 *二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0) 的部分图象如图所示，其对称轴为 直线x=,且与x轴的一个交点 的坐标为（一2,0）.有下列结论：①abc>0: ②a=b;③2a+c=0;④关于x的一元二 次方程ax2+bx十c一1=0有两个相等的实 数根.其中，正确的是 () A.①③B.②④C.③④D.②③ (第6题) (第7题) 函数y=x2十bx十c与y=x的图象如图所示， 有下列结论：①b2一4c>0;②b十c+1=0: ③3b+c+6=0;④当1<x<3时，x2+(b 1)x十c<0.其中，正确的有 个 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数， a≠0)中的x与y的部分对应值如表所示： 0 -3 -3 … 有下列结论：①c=一3：②若m<一是，则该 函数的图象与x轴没有交点；③当a>0时， 若x>3,则y的值随x值的增大而增大； ④当n=一6时，关于x的一元二次方程 a.x2+(b一1)x+4=0的解是x1=1,x2=4. 其中，正确的是 (填序号) 9.在平面直角坐标系中，设二次函数y=ax2一 (a一1)x-2a+1(a为常数，且a<0), (1)当a=一1时，求该二次函数图象与x轴 的交点坐标 (2)若二次函数的图象与直线y=一2a十3 有且仅有一个交点，求代数式a十的值. 10.已知抛物线y=ax2-2ax十3(a≠0). (1)求抛物线的对称轴， (2)若把抛物线沿y轴向下平移3|a|个单 位长度后，其顶点落在x轴上，求a的值. (3)设点P(a,y1),Q(2,y2)在抛物线上， 若y1>y2,求实数a的取值范围. 第二章二次函数 思维拓展 11.新考法·探究题(2025·苏州)如图 二次函数y=一x2+2x+3的图象 与x轴交于A,B两点（点A在点 B的左侧)，与y轴交于点C,作直线BC, M(m,y1),N(m十2，y2)为二次函数y= 一x2十2x十3图象上的两点 (1)求直线BC对应的函数表达式， (2)试判断是否存在实数m,使得y1十 2y2=10.若存在，求出m的值；若不存在， 请说明理由， (3)已知P是二次函数y=-x2+2x十3 图象上一点（不与点M,N重合），且点P的 横坐标为1-m,作△MNP.若直线BC与 线段MN,MP分别交于点D,E,且△MDE 与△MNP的面积之比为1：4，请直接写出 所有满足条件的m的值. (第11题) 41装，17名工人加工“风”服装，34名工 人加工“正”服装，即可每天获得最大 总利润. 7.(1)(-2x+52). (2)根据题意，可得y1=（-2x十 52)(10.x+10)-745=-20x2+ 500x-225, ∴A樱桃园第x天的利润y1(元)与 x之间的函数表达式为y1=一20x2+ 500.x-225. (3)①y2=-30.x2+500.x+25. 解析：由题图可知，二次函数y2= a.x2十bx十25的图象经过点(1,495)， a+b+25=495, (2,905),.. 解得 (4a+2b+25=905, a=-30, ∴.y2=-30.x2+500.x+ b=500. 25. ②y1+y2=（-20.x2+500.x 225)+(-30.x2+500.x+25)= -50x2+1000.x-200=-50(x 10)2+4800. .-50<0, .当x=10时，y1十y2取得最大值， 为4800. ∴.第10天两处樱桃园的利润之和最 大，最大是4800元： (4)4.解析：由题意可知，一30x2十 500x+25>-20x2+500.x-225, 即-10x2>-250.∴.-5<x<5. x取正整数，∴.x=1或2或3或 4..∴.这15天中，共有4天B樱桃园 的利润y2比A樱桃园的利润y,大. 5二次函数与一元二次方程 1.C2.答案不唯一，如x1=0.8, x2=3.2 3.0或4 解析：①当m=0时，一 次函数y=x十1的图象与x轴只有 一个交点.②当m≠0时，令y=0,得 mx2+x+1=0.:二次函数y= mx2+x+1的图象与x轴只有一个 交点，∴.△=1-4m=0,解得m=4: 综上所述，满足条件的m的值为0 或 一易错警示 判断函数图象与坐标轴的 交点时注意分类讨论 判断函数图象与坐标轴的交 点，要考虑两种情况：(1)若函数是 一次函数，则函数图象与坐标轴必 有交点；(2)若函数是二次函数，要 分与x轴、y轴相交两种情况进行 讨论.抛物线与y轴必有一个交 点，与x轴的交点个数由b2一4a 决定，注意不要忽略抛物线与y轴 必有交点的情况 4.(1)如图，作直线y=1,交抛物线 于A,B两点，分别过A,B两点，作 AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为 C,D 观察图形，得点C和点D的横坐标分 别在一1.6和0.6附近， .方程x2十x=1的近似根为x1= 一1.6，x2=0.6(合理即可)： (2)如图，在平面直角坐标系中，过点 (0,号)，1,2)画出直线y=2x+ 1 3 观察图形，得直线y=7?十子与抛 1 物线的两个交点的横坐标分别为 -1.5和1. 由函数图象知，当一次函数的值小于 二次函数的值时，x的取值范围是 x<-1.5或x>1. y本 2x+2 y=1 -2C OD1 2% (第4题) 5.D 6.D解析：①由题图可知，a>0, 2<0,b>0.·a<0. c<0,-2a1 故①错误.②，图象的对称轴为直 19 b.故②正确.③将（一2,0）代入y ax2+bx+c,4a-26+c=0. a=b,∴2a十c=0.故③正确. ④由题图知，抛物线与直线y=1有 两个不同的交点，易得关于x的一 元二次方程a.x2+bx十c-1=0有两 个不相等的实数根.故④错误.综上所 述，正确的是②③. 方法归纳 二次函数与一元二次方程 及不等式的关系 当y=m(m为常数)时，二次 函数y=a.x2十bx十c(a≠0)就成 为关于x的一元二次方程ax2十 bx+c=m(a≠0).若方程有解，其 解就是抛物线y=ax2十bx+c与 直线y=m的交，点的横坐标.同样 地，关于x的不等式ax2十bx+ c>m或a.x2+bx+c<m的解集 为抛物线在直线y=m上方或下方 部分的点的横坐标的取值范围.此 外，抛物线与直线y=m(直线y= 0为x轴)的两交，点关于抛物线的 对称轴对称，这两点的横坐标的和 等于一么，即对应的一元二次方程 a 的两根之和等于一么」 7.2解析：由题图可知，函数y= x2+bx+c的图象与x轴无交点， ∴.b2一4c<0.故①错误.由题图知， 抛物线y=x2十bx十c与直线y=x 的交点坐标为(1,1)和(3,3)，∴.当 x=1时，y=1十b十c=1.故②错误 :当x=3时，y=9+3b十c=3, ∴.3b十c十6=0.故③正确..当1< x<3时，二次函数的图象在一次函数 图象的下方，.x2+bx十c<x. ∴.x2十(b一1)x十c<0.故④正确. .正确的有2个 8.①③④解析：，抛物线经过点 (0,一3)，.c=一3.故①正确.，抛 物线经过点(0，一3)，(4，一3)，∴.抛 物线的对称错为直线x=一会-2 ∴.b=-4a.∴.当x=1时，y=n a+b+c=a-4a-3=-3a-3. -3a-3<-是，解 n<-3 得a>-三.：△=b2-4ac= 4 (-4a)2-4a×(-3)=16a2+12a= 16a(a+）当-子<a<0时， △<0：当a>0时，△>0..抛物线与 x轴可能无交点，可能有两个交点.故 ②错误.·抛物线的对称轴为直线 x=2,∴.当a>0时，若x>2,则y的 值随x值的增大而增大.故③正确. 当1=-6时，-3a-3=-6,解得 a=1,则b=一4，关于x的一元二次 方程a.x2+(b-1)x+4=0为x2 5x十4=0，解方程，得x1=1,x2=4 故④正确.∴.正确的是①③④. 9.(1)当a=-1时，y=-x2+2x十3. 令y=0,则-x2十2x+3=0,解得 x1=3,x2=-1. .该二次函数图象与x轴的交点坐 标为(3,0)，（一1,0）. (2):二次函数y=a.x2-(a-1)· x-2a+1(a为常数，且a<0)的图象 与直线y=-2a+3有且仅有一个 交点， .a.x2-(a-1)x-2a+1=-2a+ 3,即a.x2-(a-1)x-2=0有两个相 等的实数根」 ∴.△=(a-1)2+8a=0,即a2+6a+ 1=0. a为常数，且a<0, ·两边同时除以a,得a十6+1 =0, a 即a+=-6， 10.(1)由题意，得抛物线的对称轴为 直线=之-1 (2)抛物线y=a.x2-2a.x+3沿y轴 向下平移3a个单位长度后，可得抛 物线y=a.x2-2a.x十3-3a1. :其顶点落在x轴上，令y=0,即 a.x2-2a.x+3-3a=0, ∴.△=(-2a)2-4a(3-3a1)=0, 解得a,=圣a:=一号a=0(不合 题意，舍去) ∴0的值为子或-是 3 (3)当x=2时，y2=3, 令y=3,得a.x2-2a.x十3=3. a≠0， ∴.可得方程的解为x1=0,x2=2. 若a<0,结合图象（图略）可知，当0< a<2时，y1>y2,不合题意，舍去； 若a>0,结合图象（图略）可知，当 a<0或a>2时，y1>y2. ∴.a>2. 综上所述，实数a的取值范围是a>2. 11.(1)在y=-x2+2x+3中，令 x=0,得y=3, '.点C的坐标为(0,3) 令y=0,得-x2+2x十3=0，解得 x=一1或x=3. '.易得点B的坐标为(3,0) 设直线BC对应的函数表达式为y= kx+b. 将B(3,0),C(0,3)代入，得 b=3, 解得 k=一1， 3k+b=0, =3. ∴.直线BC对应的函数表达式为 y=-x+3. (2)不存在实数m,使得y1+2y2= 10. 理由：把M(m,y1),N(m+2,y2)代 人二次函数y=一x2+2x十3，可得 y1=-m2+2m+3,y2=-(m+ 2)2+2(m+2)+3=-m2-2m+3, .y1+2y2=-m2+2m+3+ 2(-m2-2m+3)=-3m2-2m+ g=-3(m+)+9 当m=一 时9，十2取得最大 值，为93 93<10, ∴.不存在实数m,使得y1十2y2=10. 20 (3)如图，过点N作NH∥y轴，交 x轴于点H,交BC于点N',过点P 作PQ⊥NH,交NH的延长线于点 Q,过点M作MM'∥y轴，交BC于点 M,则MM'∥NN' 当x=1-m时，y=-(1-m)2十 2(1-m)+3=-m2+4. .点P的坐标为(1一m,一m2+4). 点N的坐标为(m+2,-m2 2m+3), ∴.点Q的坐标为(m+2,一m2+4), 点H的坐标为(m+2,0),点N'的坐 标为(m十2，-m十1). .易得NQ=PQ=|2m+1|,BH= HN'=|-m+1. .∠PNQ=∠BN'H=45. .PN//BC, '.△MDEp△MNP &MD=2MN,即MD=ND. MM∥NN', '.△MM'Dc∽△NN'D ·怨子即aM=NN NN'ND :点M的坐标为(m,-m2+2m十3)， '.点M的坐标为(m,一m十3). ∴.m2-3m=-m2-m+2,即 m2-m-1=0或-4m=-2,解得 m小5成a或a不 合题意，舍去) 3溯足条作的加的值为或 1-√5 2 0 (第11题) 专题特训四二次函数的 图象信息题 1.A2.C3.B