专题特训五 抛物线的几何变換规律-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

拔尖特训·数学（北师版）九年级下 专题特训五 抛物线的几何变换规律 )“答案与解析见P22 类型一 抛物线的平移变换 5.(2025·榆林模拟)把二次函数y=x2+4x+ m的图象先向上平移1个单位长度，再向右 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化.抛 平移3个单位长度.如果平移后所得抛物线 物线的平移规律：左加右减，上加下减 与坐标轴有且只有一个公共点，那么实数 1.(2025·长沙期末)将抛物线y=2x经过平 的取值范围是 移可得到抛物线y=2(x十3)十4，其步骤为 6.(2025·铜陵枞阳模拟)如图，点A在x轴的 正半轴上，且OA=4,点B在y轴的正半轴 A.先向左平移3个单位长度，再向上平移 上，且OB=6,直线AB与抛物线y=a.x2一1 4个单位长度 在第一象限内相交于点P,连接OP,已知 B.先向左平移3个单位长度，再向下平移 S△04p=6. 4个单位长度 (1)求a的值 C.先向右平移3个单位长度，再向上平移 (2)若将抛物线y=a.x2-1先向右平移2个 4个单位长度 单位长度，再向下平移t(t>0)个单位长度， D.先向右平移3个单位长度，再向下平移 恰好经过点A,试确定t的值. 4个单位长度 2.将抛物线y=一2x2+4x+1先向左平移 2个单位长度，再向上平移3个单位长度后 得到的新抛物线的顶点坐标为 () A A.(3,6) B.(-3,6) (第6题) C.(1,0) D.(-1,6) 3.把抛物线y=x2+bx+2先向右平移3个单 位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的 新抛物线对应的函数表达式为y=x2一4x十 7,则b的值为 A.2B.4 C.6 D.8 4.如图，抛物线的顶点为P(一2,2)，与y轴交 于点A(0,3).若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P'(2,一2)处，点A的对应 点为A',则抛物线上PA段扫过的区域（涂 色部分)的面积为 (第4题) 44 第二章二次函数 类型二抛物线的轴对称变换 10.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x 1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位长 将抛物线y=a.x2十bx十c沿x轴翻折，x的值不 度，所得到的抛物线的顶点坐标是 变，y的值变为原来的相反数，得-y=ax2十bx十c. 11.如图，在平面直角坐标系中，M为 整理，得y=一a.x2-bx-c.将抛物线y=ax2十bx+ 抛物线y=-x2+2n.x-n2十2m c沿y轴翻折，y的值不变，x的值变为原来的相反 的顶点，过点(0,4)作x轴的平行 数，得y=ax2-bx十c. 线，交抛物线于点P,Q(点P在点Q的左 7.将二次函数y=一x2+2x十3的图 侧)，PQ=4. 象在x轴上方的部分沿x轴翻折 (1)求抛物线对应的函数表达式，并写出点 后，所得新函数的图象如图所示.当 P的坐标 直线y=x十b与新函数的图象恰有3个公 (2)小丽发现：将抛物线y=一x2十2nx一 共点时，b的值为 n2+2n绕点P旋转180°，所得新抛物线的 顶点恰为坐标原点O.她的发现正确吗？请 说明理由. (第7题) A.- 2 4或-3 1 B.- 4或-3 0 n- (第11题) 8.在平面直角坐标系中，先将抛物线y=2x2 4x十8关于x轴作轴对称变换，再将所得的 抛物线关于y轴作轴对称变换，所得抛物线 对应的函数表达式为 类型三抛物线的旋转变换 抛物线y=a.x2+bx十c绕原点旋转180°，x,y 的值同时变为原来的相反数，得一y=ax2一bx十c. 整理，得y=-a.x2十bx-c. 9.(2025·朔州朔城期中)在平面直角坐标系 中，抛物线y=x2一4x十5与y轴交于点C, 则该抛物线绕点C旋转180°，所得抛物线对 应的函数表达式为 A.y=-x2-4x-5 B.y=x2+4x+5 C.y=-x2+4x-5 D.y=-x2-4x+5 45BC上，即1<x2时，AC+CD= 2x..BD=4-2x.同理①，易得 BE=2-x,DE=√5(2-x), 1 .AE=2-(2-x）=x.y=2 AEE5g=号+ 5x.∴.当1<x≤2时，是开口向下的 抛物线的一部分.∴选项C符合题意 ① ② (第10题) 专题特训五抛物线的几何 变换规律 1.A 2.D 解析：y=-2x2+4x十1= -2(x-1)2+3,∴.将抛物线y= -2.x2+4x十1先向左平移2个单位 长度，再向上平移3个单位长度后得 到的新抛物线对应的函数表达式为 y=-2(x-1+2)2+3+3,即y= 一2(x十1)+6.∴.新抛物线的顶点 坐标为(-1,6). 3.A解析：y=x2-4x十7= (x一2)2十3，原抛物线先向右平移 3个单位长度，再向上平移2个单位 长度，得到抛物线y=x2一4x十7， ∴.原抛物线对应的函数表达式为 y=(x-2+3)2+3-2=(.x+1)2+ 1=x2+2x+2..b=2. 4.12解析：如图，连接AP,A'P', 过点A作AD⊥PP'于点D,过点P 作PG⊥x轴于点G.由题意，得AP∥ A'P',AP=AP',∴.四边形APP'A' 是平行四边形.易知抛物线上PA段 扫过的区域（涂色部分）的面积即为 □APP'A'的面积.，抛物线的顶点 为P(-2,2),.PG=OG=2..在 Rt△POG中，由勾股定理，得PO= √22+22=2√2.，P'(2,-2),∴.同 理，可得OP'=2W2.∴.PP=OP+ OP'=4√2.PG=OG,∠PGO= 90,∠P0G=∠0G=3×18r- 90)=45°.∴.∠AOP=45°.又 ,AD⊥PP',∴.易得△AOD是等腰 直角三角形.A(0,3),∴AO=3. 在R△AOD中，易得AD二号AO 「32二抛物线上PA段扫过的区域 (涂色部分)的面积为42×32-=12. 2 (第4题) 5.m>3解析：：y=x2+4x十 m=(x+2)2-4十m,∴.平移后的抛 物线对应的函数表达式为y=(x+ 2-3)2-4+m+1=(x-1)2+m 3.、平移后所得抛物线与坐标轴有 且只有一个公共点，∴.平移后的抛物 线与x轴无交点.∴.m-3>0,解得 m>3. 6.(1).0A=4,OB=6, ∴.A(4,0),B(0,6) 设直线AB对应的函数表达式为y= kx十b(k≠0). 把A(4,0),B(0,6)代入，得 3 4k+b=0, 解得 k=一2 b=6, b=6, ∴.直线AB对应的函数表达式为 3 y=-2x+6 根据题意，可设P(D,一受p+6) (p>O),则点P到x轴的距离hp= 3 -2b+6. :Snw=6,即20A·hp=6, 1212 3 ∴.hp=OA4 =3,即-之p+6 3,解得p=2 .P(2,3) '.4a一1=3，解得a=1. 22 (2)由(1)，可得抛物线对应的函数表 达式为y=x2一1， ∴.经过平移后得到的新抛物线对应 的函数表达式为y=(x一2)2-1-1. ·平移后的抛物线经过点A(4,0), ∴.(4-2)2-1-t=0,解得t=3. 7.A解析：设二次函数y=一x2十 2x十3的图象与x轴交于点A,B(,点 A在点B的左侧).：二次函数的表 达式为y=一x2+2x+3=-(x一 1)2+4,∴.抛物线y=-x2+2x十3 的顶点坐标为(1,4).当y=0时， x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2= 3.抛物线y=一x2+2x+3与 x轴的交点为A(一1,0)，B(3,0).将 二次函数y=-x2十2x十3的图象在 x轴上方的部分沿x轴翻折后，易得 翻折后的部分的抛物线对应的函数表 达式为y=(.x-1)2-4(-1≤x≤ 3).如图，当直线y=x十b过点B时， 直线y=x十b与该新函数的图象恰 好有三个公共点，.3十b=0,解得 b=一3.当直线y=x十b与抛物线 y=(x-1)2-4(-1≤x≤3)只有一 个交点时，直线y=x十b与该新函数 的图象恰好有三个公共点，即(x 1)2一4=x十b有两个相等的实数根. 整理，得x2一3.x一b一3=0，∴.△= (一3)2-4（一b-3)=0,解得b= ,符合题意.综上所述，b的值 21 为或- (第7题) 8.y=一2x2一4x一8解析：先将抛 物线y=2x2一4x十8关于x轴作轴 对称变换，可得新抛物线y=一2x2+ 4x一8：再将所得的抛物线y=一2x2+ 4x一8关于y轴作轴对称变换，可得 新抛物线y=一2x2一4x-8. 9.D解析：由抛物线y=x2一4x十 5=(x一2)2十1知，抛物线的顶，点坐 标是(2,1)，C(0,5).'.该抛物线绕点 C旋转180°所得的抛物线的顶，点坐标 是（一2,9）.∴.所得抛物线对应的函 数表达式为y=一(x+2)2+9= -x2-4x+5. 10.（1,一3)解析：将抛物线y= x2+2x一1先绕原点旋转180°所得的 抛物线为一y=(一x)2十2（一x)一1， 即y=一x2+2x十1.再将抛物线y 一x2+2x十1向下平移5个单位长度， 得抛物线y=一x2+2x+1-5= -x2+2x-4=-(x-1)2-3.∴.所 得到的抛物线的顶，点坐标是(1，一3). 11.(1),抛物线y=一x2+2x一 n2+21过点P,Q,点P,Q的纵坐标 为4， ∴.4=-x2十21.x-n2+21,解得 x1=n十√2-4，x2=n-w√2-4 PQ=|x1-x2=4, .'.2√21一4=4，解得n=4. '.抛物线对应的函数表达式为y= -x2+8x-8,x1=6,x2=2. 点P在点Q的左侧， .点P的坐标为(2,4) (2)正确： 理由：由(1)，得P(2,4),Q(6,4). 设点Q绕点P旋转180°后的对应点 为Q. .Q'(-2,4). .点P与点Q正好关于y轴对称. ∴.所得新抛物线的对称轴是y轴。 y=-x2十8x-8=-(x 4)2+8, .原抛物线的顶点M的坐标为(4,8). ∴.顶点M到直线PQ的距离为4. '.所得新抛物线的顶点到直线PQ 的距离为4 '.易得所得新抛物线的顶点恰为坐 标原点O. 专题特训六抛物线与几何 图形的最值问题 1.(1)A(1,0),B(3,0)在二次 函数y=一x2+bx十c的图象上， ∴抛物线对应的函数表达式为y= -(x+1)(x-3)=-x2+2x+3. (2)①把x=0代人y=-x2+2x+ 3,得y=3, .C(0,3). 如图①，延长DC与x轴相交于点G. B(3,0),C(0,3) ∴.OB=OC=3. :∠COB=90, ∴.∠CB0=45. :∠DCB=90°=∠BCG, ∴.∠CGB=90°-∠CBO=90° 45°=45°. ∴.∠G00=180°-∠C0G-∠CGB= 180°-90°-45°=45° .0G=OC=3. .G(-3,0) 设直线CG对应的函数表达式为y= kx十m(k≠0). 把C(0,3),G(-3,0)代入，得 3=m, k=1, 解得 0=-3k+m, m=3, ∴.直线CG对应的函数表达式为y= x+3. .·D是直线CG与抛物线的交点， y=x+3, {x=0, .联立 解得 y=-x2+2x+3, (y=3 x=1, 或 y=4. .D(1,4). ②如图②，过点O作OH∥EF,且 OH=EF=√2，连接HE,DH,设 DH与x轴的交点为M. .·OH∥EF,且OH=EF .四边形OFEH是平行四边形 .OF=EH. :∠CB0=45, .∠BOH=45. ∴.△OMH为等腰直角三角形 .'OM=MH. .·OH=EF=√2，OM+MH2= OH, '.OM=MH=1. 23 '.H(1,-1). .DE+EH≥DH .当DE+EH=DH时，DE+EH 的值最小 D(1,4),H(1,-1) ∴.DH=5,此时D,E,H三点共线 且DH⊥x轴 ∴点F的坐标为(0,3)，与点C重 合，满足EF在线段BC上. .OF+DE的最小值为5. yt D D C A/VM: B 0 H ① ① (第1题) 2.(1)抛物线过点O(0,0),且它 的对称轴为直线x=2, ∴.抛物线与x轴的另一个交点的坐 标为(4,0) 设抛物线对应的函数表达式为y= ax(x一4)(a≠0) 把A(5,5)代入，得5a=5,解得a=1. .y=x(x-4)=x2-4x. ∴.抛物线对应的函数表达式为y= x2-4x. (2)由B是抛物线对称轴上的一点， 且点B在第一象限，可设B(2,m) (m>0). 设直线OA对应的函数表达式为y= kx(k≠0) 把A(5,5)代入，得5k=5,解得k=1. ∴.直线OA对应的函数表达式为 y=I. 设直线OA与抛物线的对称轴交于点 H,则易得H(2,2). ∴.BH=m-2. S△04B=15, 2×m-2引X5=15,解得m,= 8,m2=一4（不合题意，舍去）. ∴.点B的坐标为(2,8). (3)由PA一PBAB可知，当点P 在线段AB的延长线上时，PA一PB 取得最大值，最大值为AB的长.