2 二次函数的图象与性质-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

9.(1)AD=EF=BC=z m, .AB=(18-3.x)m .V=1.5.x(18-3.x)=-4.5.x2+ 27x(0<x<6)」 (2)当V=36时，一4.5.x2+27x= 36, 即x2-6x十8=0，解得x=2或x=4. x的值应为2或4. 10.(1)由题意，可设y与x之间的 函数表达式为y=kx十b(k≠0). 将(2,100)，(5,160)代入y=kx+b, (2k+b=100, (k=20: 得 解得 5k+b=160, b=60. .y与x之间的函数表达式为y= 20x+60(0x20). (2)由题意，得=(80一60一x)· (20x+60)=-20.x2+340x+1200. (3)根据题意，得一20x2十340x十 1200=2600,解得x1=7,x2=10. ,要让顾客获得更大实惠， .x=10. .应对这种玩偶每个降价10元. 2 二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数y=士x2的 图象与性质 1.A2.A3.4(2,4)在 1 +.(1)由题意得y=2x·2x=x (x>0). (2)列表如下： 3 2 2 2 3 25 4 9 4 4 (3)如图所示. y 7 6 3 2 1 01234x (第4题) 5.C6.C7.C8.-4<y≤0 x<-1或x>19.1 10.π解析：由题意，易得题图中阴 影部分的面积合起来恰好为半圆O的 面积：圆O的半径为2，∴题图中 1 阴影部分的面积为2元×（②）2=元， 11.如图，作出点B关于y轴的对称 点B',连接AB'交y轴于点P. 点B,B关于y轴对称， .PB=PB' .PA+PB=PA+PB'=AB'. '.此时△PAB的周长最小 B(3,9), .B'(-3,9). 设直线AB'对应的函数表达式为y= kx+b 将B′(-3,9)，A(1,1)代人，得 -3k+b=9, k=一2， 解得 k+b=1, b=3. ∴.直线AB′对应的函数表达式为 y=-2.x+3. .易得点P的坐标为(0,3) .易得S△PAB=S△B'BA一S△BBP 1 1 X6X(9-1)-2 ×6×(9 3)=6. 0八 (第11题) 12.(1)当x=a时，y=-x2=-a2, 则点A的坐标为(a,一a2): 当x=a十1时，y=-x2=-(a十 1)2=-a2-2a-1,则点B的坐标为 (a+1,-a2-2a-1). ,BC与x轴平行， .易得点C的坐标为(-a一1， -a2-2a-1). S=2(a+1+a+1)(-a2+a2+ 2a+1)=2a2+3a+1. (2)由题意，得2a2+3a+1=15. 12 整理，得2a2+3a-14=0,解得a1= 7 -2a=2. a>0, .a=2. (3)当a=2时，点A,B,C的坐标分 别为(2，一4)，(3，一9)，（一3,9） :点D在边BC上， .设点D的坐标为(t,一9)，则 CD=+3. △ACD的面积为7， 1 ·2×(-4+9)×(1+3)=7,解得 = 5 六点D的坐标为（号，-9）小： 第2课时 二次函数y=axr2 和y=ar2+c的图象与性质 1.B 2.A 方法归纳 二次函数y=ax2十k与 y=ax2图象之间的关系 二次函数y=a.x2十k与y= ax2的图象形状相同，只是位置不 同.抛物线y=a.x2十k可由抛物线 y=ax2沿y轴向上（下）平移|个 单位长度得到.当>0时，抛物线 y=Q.x2沿y轴向上平移k个单位 长度得到抛物线y=ax2十k:当 k<0时，抛物线y=ax2沿y轴向 下平移|个单位长度得到抛物线 y=ax2+k. 3.y=2x2+3(0,3)4.> 5.(1)如图所示. (2②)y=一22的图象的开口向下 对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0). 1 y=一2x2+3的图象的开口向下， 对称轴为y轴，顶点坐标为(0,3). y=一之2-1的图象的开口向下， 对称轴为y轴，顶点坐标为(0，一1). (3)y=- 2+6的图象的开口向 下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,6). 2x2+3的图象由y 1 (4)y= 之r产的图象向上平移3个单位长 度得到. y一2-1的图象由y=-之 的图象向下平移1个单位长度得到. 1 1 y=-2x+6的图象由y=-2x 的图象向上平移6个单位长度得到. y -5-4-32@2345x -5 -6 y223 (第5题) 6.A 7.B解析：如图，过点A作AH⊥ x轴于点H.,四边形OABC是正方 形，∴.∠AOB=45.∴.∠AOH= 45°.∴.易得AH=OH.设A(m,m), 则易得B(0,2m).:点A,B在抛物线 [m=amc, y=a.x2+c上，∴. 解得 \2m=c, 1 a=- m'∴.ac= 1×2m=-2. c=2m. ∴.ac的值为-2. y B 0 H (第7题) 8.a1>a2>a3>a49.8 10.6解析：抛物线y=ax2十3 (a<0)与y轴交于点A,∴.点A的 坐标为(0,3).BC过点A且与 2轴平行，令了2=3解得x 士3..点B的坐标为（一3,3），点C 的坐标为(3,3).∴.BC=3一（一3）=6. 11.(1) (2):二次函数y=2x2十m的图象 经过点(0，一4)， .m=-4 .y=2x2-4. 由题意，得四边形ABCD为正方形， 抛物线和正方形都是轴对称图形，且 y轴为它们的公共对称轴. ∴.OD=OC,BC=CD,易得S色= S矩形BOE, 设点B的坐标为(，2n)(n>0). ,点B在二次函数y=2x2-4的图 象上， ∴.21=2n2-4,解得21=2，n2=-1 (不合题意，舍去) ∴.点B的坐标为(2,4) ∴.S牌色=S矩形0F=2X4=8. 12.(1)1:1:5;5. (2)OP=PH. :P(m,n)是抛物线y=-1上任 意一点， .n -1. 4 :OP2=m2+n2=m2+（ 4 +1,PH2=[n- (-2P=m+2)2=(四 -1+ 2-+学+1， .OP2=PH2 ∴.OP=PH (3)①当线段AB不过点O时，如 图，分别过点A,B作直线1的垂线， 垂足分别为M,N,连接OA,OB. 由(2)的结论，得AM=OA,BN=OB. 在△OAB中，OA+OB>AB=6, '.AM+BN>6. 13 ②当线段AB过点O时，AM+ BN=OA+OB=AB=6. '.AM+BN的最小值为6，即A,B两 点到直线（的距离之和的最小值为6. N-2 M (第12题) 第3课时二次函数y=a(xr一h)2 和y=a(x一h)2十k的图象与性质 1.C2.C3.①②③4.y= 2(x十2)2-4(-2，-4) 5.(1)如图所示 (2)该函数图象的开口向下，对称轴 为直线x=1,顶点坐标为(1,8). (3)将该抛物线向左平移1个单位长 度，再向下平移8个单位长度，能使顶 点在原点上 (第5题) 6.D7.D 8.D解析：①向右平移2个单位长 度，则平移后抛物线对应的函数表达 式为y=(x一2)2.当x=2时，y=0, ∴.平移后的抛物线过点(2,0).故① 正确.②先向右平移1个单位长度 再向下平移1个单位长度，则平移后 抛物线对应的函数表达式为y=(x 1)2-1.当x=2时，y=0,∴.平移后 的抛物线过点(2,0).故②正确.③向 下平移4个单位长度，则平移后抛物 线对应的函数表达式为y=x2一4.当 x=2时，y=0,∴.平移后的抛物线过 点(2,0).故③正确.④沿x轴进行翻 折，再向上平移4个单位长度，则新抛 物线对应的函数表达式为y=一x十 4.当x=2时，y=0,∴.新抛物线过点 (2,0).故④正确综上所述，正确的有 4个. 9.B解析：.点A(m一1，y1), B(m,y2)都在二次函数y=(x 1)2+1的图象上，.y1=(m一1 1)2+n=(m-2)2+n,y2=(m 1)2+.y1<y2,.(m-2)2+ n<(m-1)+n,解得m>是 10.答案不唯一，如y=一(x一3)2一1 11.5m11 12.1或6解析：①若h<2,则当 x=2时，y有最大值，即一(2一 h)2=-1,解得h,=1,h2=3(不合题 意，舍去)：②若2≤h≤5，则当x=h 时，y有最大值，最大值为0，不合题 意；③若h>5,则当x=5时，y有最 大值，即-(5-h)2=-1,解得h3=4 (不合题意，舍去)，h4=6.综上所述， h的值为1或6. 13.(1).点P(a-5,c),Q(4m+ 3十a,c)都在该二次函数图象上， .该二次函数的对称轴为直线x a-5+4m+3+a=2m,即2a-2= 2 0,解得a=1. (2)小明的说法正确 1 “y=-(x-2m)2+3-4m(m是 实数)， ∴.其图象的顶点坐标为(2m,3-4m. .3-4m=-2×2m+3, ∴.当m的值变化时，二次函数图象 的顶，点始终在直线y=一2x+3上 运动 ∴.小明的说法正确 14.(1):抛物线C:y=4-(6- x)2=-(x-6)2+4, .抛物线的顶点坐标为(6,4)，抛物线 的对称轴为直线x=6,y的最大值为4. 把P(a,3)代人y=一(x一6)2+4，得 3=-(a-6)2十4，解得a1=5, a2=7. 点P在对称轴的右侧， ∴.a=7. .点P的坐标为(7,3) (2)·平移后的抛物线对应的函数 表达式为y=-(x-3)2, ∴.平移后抛物线的顶点坐标为(3,0). ,平移前抛物线的顶点坐标为(6,4)， ∴点P移动的最短路程为平移前 后抛物线顶点间的距离，即 √(3-6)2+(0-4)=5. 一方法归纳 抛物线平移问题的解决方法 一般有两种解决方法：一是将 待解决的问题转化为顶点的平移 问题：二是直接利用抛物线的平 移规律“左加右减，上加下减”来 解决问题」 第4课时二次函数y=ax2+ b.x十c的图象与性质 1.B2.C3.> 4.(1)y=x2+2x-3=(x十 1)2-4, .抛物线开口向上，顶点坐标为 (一1，一4)，对称轴为直线x=一1. (2)画图略 抛物线y=x2+2x-3=(x十1)2-4 是由抛物线y=x2向下平移4个单 位长度，向左平移1个单位长度得 到的. 5.A6.C 7.C解析：由图象可知，抛物线交 x轴于点(2,0)，另一个交点的横坐标 在一1和0之间.根据对称性可知， 1 <品<1<-a,6>-2a 即2a十b>0.故B选项错误.由图象 可知，当x=-1时，y>0,即a-b+ c>0.故D选项错误.易知a>0,b< 0,c0,,∴.abc>0.故A选项错误 b<-a,∴.b+a<0.∴.4b+4a< 14 0①.把，点(2,0)代入y=a.x2+bx+c, 得4a+2b+c=0,∴.4a=-2b c②.将②代人①，可得4b-2b-c< 0,即2b一c<0.故C选项正确 8.2.75 9.2解析：：y=一x2十a.x-a十 1=-(-)°+号-a+1二=次 函数图象的顶点坐标为（号， a+1.:顶点在x轴上， a十1=0，解得a1=a2=2.∴.a的值 为2. 10.(1)0解析：把(-1，m)代人 y=x2+(a+1)x+a,得m= (-1)2+(a+1)×(-1)+a=0. (2)2解析：将抛物线y=x2十(a十 1)x十a向上平移2个单位长度，得到 抛物线y=x2+(a十1)x十a+2. ∴易得平移后抛物线的顶点的纵坐 标为-子(a-1y+2.:-子<0， ∴.当a=1时，抛物线顶点的纵坐标 的最大值是2. 11.(1)令y=0,得ax2-3a.x-4a=0. a>0, ∴.x2-3x-4=0,解得x1=-1, x2=4. 点A在点B的左侧， .A(-1,0),B(4,0). ∴.抛物线的对称轴为直线x= -1+4_3 2 一2 (y=ax2-3ax-4a, (2)根据题意，得 3 y=-2x. 整理，得ar2-(3a-2)x-4a=0, 3 3 ∴.x1十x2= 3a2 a 点M,N关于原点对称， 3 .3u-2-0,解得u=2 ∴.抛物线对应的函数表达式为y= 3)由题意，得点0的坐标为(0，日)）】 -2=(x 》 ∴向上平移后的抛物线对应的函数 表达式为y=2(-名)+名 2-+2. “抛物线向上平移了日-（罗） 4(个)单位长度. 设p(x,2-号x-2)小，则Q(x, O'P=O'Q, 易得x2- -2x-2+2x2 +2=2×名，解得=- 7 x22 若x=-则2-号-2 p(28),Q(2器) 若x=则--2=- 9 P(经，)Q(,3), 综上所述，点P的坐标为(-之， 号），点Q的坠标为-合器)或 点P的坐标为（子，-吕），点Q的 坐标为（子，） 12.(1):点A(-5,0)在抛物线 y=-x2-4x+c上， .'.0=一(-5)2一4×（一5）+c,解得 c=5. .y=-x2-4x+5. 当x=0时，y=5, ∴.点C的坐标为(0,5). (2)如图，过点P作PE⊥AC于点 E,PF⊥x轴于点F,PF与AC交于 点H. 点A的坐标为(-5,0)，点C的坐 标为(0,5)， ∴.OA=OC=5. ∴.△AOC是等腰直角三角形， ∠CAO=45°. PF⊥x轴， ∴.易得∠AHF=∠PHE=45. ·PE⊥AC, ∴.易得△PHE是等腰直角三角形 aPE=PH·sm∠PHE-号PH ∴.当PH的长最大时，PE的长取得 最大值 设直线AC对应的函数表达式为y kx+5. 将A(-5,0)代人y=kx+5,得 0=-5k+5,解得k=1. ∴.直线AC对应的函数表达式为y= x+5. 设P(m,-m2-4m+5)(-5<m< 0),则H(m,m+5) .PH=(-m2-4m+5)-(m+ 5=-m-5m=-(+2》'+ -1<0, ,.当m= 号时，PH的长有最大 值，最大值为5，此时PE=25 8 '.点P到直线AC的距离的最大值 为 H我 B A FO (第12题) 15 方法归纳 二次函数的一般式化为 顶点式的方法 将二次函数的一般式y= a.x2十bx十c(a≠0)通过配方化为 顶点式y=a(x一h)2十k,有两种 方法：一是利用y=a2十)+ Aac-b2 进行配方：二是直接配方 Aa 其步骤与用配方法解一元二次方 程类似，不同的是这里为恒等变 形，解一元二次方程中的配方是同 解变形 3 确定二次函数的表达式 1.B2.B3.y=x2+2x-5 4.y=x2-2x-8(1,-9) 解析：抛物线y=ax2十bx十c过 点A(-2,0),B(4,0),.y=a.x2+ bx十c=a(x+2)(x一4).将D(0, -8)代人，得-8=-8a,解得a=1. .y=(x+2)(x-4)=x2-2x-8, 即抛物线对应的函数表达式为y= x2-2x-8.y=x2-2x-8= (x一1)2一9，.顶点的坐标为(1， -9). 5.(1)设二次函数的表达式为y= ax2+bx+c. a+b+c=0, 由题意，得4a十2b十c=3,解得 c=-5, a=-1, b=6, 1c=-5. .二次函数的表达式为y=一x2+ 6x-5. y=-x2+6x-5=-(x 3)2十4， .该二次函数图象的顶点坐标为 (3,4). (2)将二次函数的图象向左平移 m(n>0)个单位长度后得到的新图拔尖特训·数学（北师版）九年级下 2二次函数的图象与性质 第1课时二次函数y=士x2的图象与性质~“答案与解析"见P12 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·天津期中)关于二次函数y=一x2的 5.在同一平面直角坐标系内，函数y=x2和 图象，下列说法中错误的是 () y=一x一2(k≠0)的图象大致是 () A.它的开口向上，且关于y轴对称 B.它的顶点是抛物线的最高点 C.它的顶点在原点处 D.它与y轴只有一个交点 2.(2024·广东)若点(0，y1),(1,y2),(2,y3)都 在二次函数y=x2的图象上，则 10 A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2 D. 3.已知点A(-2,a).若A是抛物线y=x2上 6.比较二次函数y=x2与y=一x2的图象，下 点，则a= ,点A关于y轴的对称 列说法中，错误的是 () 点C的坐标是 ,则点C (填 A.对称轴相同 “在”或“不在”)抛物线y=x2上. B.顶点的坐标相同 4.已知一个菱形的一条对角线的长为x,另一 C.都有最高点 条对角线的长是这条对角线长的2倍，其面 D.开口方向相反 积为y 7.若点(-3，y1),(1,y2),(2,y3)都在二次函数 (1)求y关于x的函数表达式，并写出x的 y=x的图象上，则 () 取值范围。 A.y:>y2>y (23列出当的直为分1，号2号3时y与 B.y2>y1>y3 x的对应值表. C.y1>y3>y2 (3)画出y关于x的函数图象， D.y3>y1>y2 8.函数y=一x2的图象如图所示，当一2<x< 1时，y的取值范围是 ;当y<-1 时，x的取值范围是 y 2 3-2-￥1 0八123x -2 -3 -4 (第8题) 26 第二章二次函数 9.如图，抛物线y=一x2经过点A,B,且AB∥的思维拓展 x轴，∠AOB=90°，则S△AOB 12.如图，在抛物线y=一x2上取A, B,C三点，设点A,B的横坐标分 别为a(a>0),a+1,直线BC与 x轴平行，连接AC,AB. (第9题) (1)用含a的代数式表示△ABC的面积S. 10.如图，圆O的半径为√2，C1是函数y=x (2)当S=15时，求a的值 的图象，C2是函数y=一x2的图象，则图中 (3)在(2)的条件下，在边BC上取一点D, 阴影部分的面积为 使△ACD的面积为7，求点D的坐标 (第10题) 11.如图，A(1,1),B(3,9)是抛物线y=x2上的 (第12题) 两点.若在y轴上有一动点P,则当△PAB 的周长最小时，求△PAB的面积 0 (第11题) 27 拔尖特训·数学（北师版）九年级下 第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的 图象与性质 ●“答案与解析”见P12 基础进阶 (4)试说明二次函数y=一 2x2+3,y 1.关于二次函数y=一4x2的图象，下列说法中 错误的是 ( 222-1w=一2x2+6的图象分别是由 A.它是一条抛物线 y=- B.它的顶点是图象的最低点 2的图象怎样平移得到的. C.它的开口向下，且关于y轴对称 D.它和函数y=4x2的图象关于x轴对称 2.★(2025·上海)抛物线y=3x2向下平移两 个单位长度所得的抛物线对应的函数表达 式为 A.y=3x2-2 B.y=3x2+2 C.y=(3x-2)2 幻素能攀升 D.y=(3x+2)2 3.将抛物线y=一2x2先沿x轴翻折，再向上 6.在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=。 平移3个单位长度，得到的抛物线对应的函 与二次函数y=ax2一a的图象可能是( 数表达式为 ,顶点坐标为 4.若点（一4，y1),(-1,y2)在抛物线y=(a2十 1)x2-3上，则y1 y2(填“>”“<” 或“=”) 7.如图，抛物线y=ax2十c经过正方形OABC 的三个顶点A,B,C,点B在y轴上，则ac 5.新考法·操作实践题已知函数y=一 2x2, 的值为 () y A.-1 B.-2 C.-3D.-4 y=一 22+3和y=一22-1. AY y=a x y=ax (1)在同一平面直角坐标系中，分别画出它 们的图象 (2)写出各个图象的开口方向、对称轴和顶 Y-ux 点坐标 (第7题) (第8题) (3)猜想函数y=一 女+6的图象的开口 8.四个二次函数的图象如图所示，则a1,a2,a3, a4之间的大小关系是 (用“>” 方向、对称轴和顶点坐标。 连接) 28 第二章二次函数 9.如图，两条抛物线y=一2x2+1,y2= 思维拓展 12.新考法·探究题如图①，P(m,n)是 -1与分别经过点(-2.0>.(2.0)且 抛物线y= 一1上任意一点，l 4 平行于y轴的两条直线围成的涂色部分的面 积为 是过点(0，一2)且与x轴平行的直线，过点 P作PH⊥L,垂足为H. (1)当m=0时，OP PH= ；当m=4时，OP= PH= (第9题) (第10题) (2)对任意的m,n,猜想OP与PH的大小 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 关系，并证明你的猜想 ax2+3(a<0)与y轴交于点A,过点A且 (3)如图②，线段AB=6,点A,B在抛物线 与x轴平行的直线交抛物线y=号x2于点 少三1上滑动，求A,B两点到直线1的 B,C,则BC的长为 距离之和的最小值 11.已知二次函数y=2x2十m. (1)若点（一2，y1),(3,y2)在该二 次函数的图象上，则y1 y2 (填“>”“<”或“=”). (2)如图，该二次函数的图象经过点(0， (第12题) 一4)，正方形ABCD的顶点C,D在x轴 上，点A,B恰好在该二次函数的图象上，求 图中涂色部分的面积 (第11题) 29 拔尖特训·数学（北师版）九年级下 第3课时 二次函数y=a(x一h)和y= a(x一h)2+k的图象与性质 >“答案与解析”见P13 基础进阶 淘素能攀升 1.二次函数y=一2(x十3)2的图象大致是( 6.在同一平面直角坐标系中，二次函数y (x-a)2与一次函数y=a十ax的图象大 年行 致是 ( ) 2.(2025·威海)已知点(-2，y1),(3,y2),(7, y)都在二次函数y=一(x-2)2+c的图象 上，则y1y2y的大小关系是 A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.y3>y2>y1 3.关于抛物线y=(x一2)一1，有下列说法：①开 口向上；②对称轴是直线x=2;③顶点坐标 7.若点P(xo,yo)在抛物线y=ax(a≠0)上， 为(2，一1)；④当x>2时，y随x的增大而 则下列各点在抛物线y=a(x+h)2+k(h,k 减小.其中，正确的是 (填序号) 均为非零实数)上的是 4.(2025·沛县模拟)把抛物线y=2(x+3)2一 A.(xo+h,yo) B.(xo+h,yo+k) 1先向右平移1个单位长度，再向下平移3个 C.(xo-h,yo-k)D.(-xo-h,yo+k) 单位长度后得到的抛物线对应的函数表达式 8.将二次函数y=x2的图象平移或翻折后经过 为 ,顶点坐标为 点(2,0)，有下列四种方法：①向右平移2个 5.已知二次函数y=一2(x一1)2+8. 单位长度；②先向右平移1个单位长度，再 (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出 向下平移1个单位长度；③向下平移4个单 该函数的图象， 位长度；④沿x轴进行翻折，再向上平移 (2)指出该函数图象的开口方向、对称轴和 4个单位长度.其中，正确的有 () 顶点坐标. A.1个B.2个C.3个D.4个 (3)该抛物线经过怎样的平移才能使顶，点在 9.已知点A(m-1,y1),B(m,y2)都在二次函 原点上？ 数y=(x-1)十n的图象上.若y1<y2,则 实数m的取值范围是 () A.m>2 Bm>号 C.m<1 3 D.2<m<2 10.新考法·开放题有下列条件：①图象不经过 (第5题) 第一、二象限；②当x<3时，y的值随x值 30 第二章 二次函数 的增大而增大；③当x>3时，y的值随x思维拓展 值的增大而减小.符合以上条件的二次函数 14.★如图，点P(a,3)在抛物线C:y= 的表达式可以为 (写出 4一(6一x)2上，且在C的对称轴 一个即可) 的右侧， 11.如图，正方形ABCD的顶点坐标分 (1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a 别为A(1,1),B(1,2),C(2,2), 的值 D(2,1),抛物线y=一(x+1)2向 (2)现在坐标平面内放置一透明胶片，并在 上平移m个单位长度(m>0)后与正方形 胶片上描出点P及C的一段，分别记为点 ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m P',C.平移该胶片，使C所在抛物线对应 的取值范围是 的函数表达式恰为y=一(x一3).求点P y 6 移动的最短路程 (第11题) 12.已知二次函数y=一(x一h)(h为常数)， 当自变量x的取值范围是2≤x≤5时，与 (第14题) 其对应的函数值y的最大值为一1，则h的 值为 13E知二次函数y=-青6c-2m)户+3-m (m是实数). (1)若点P(a-5,c),Q(4m+3十a,c)都在 该二次函数的图象上，求a的值， (2)小明说：“当m的值变化时，二次函数图 象的顶点始终在一条直线上运动.”你认为 他的说法对吗？为什么？ 31 拔尖特训·数学（北师版）九年级下 第4课时」 二次函数y=ax2十bx十c的图象与性质，“答案与解析"见P14 自基础进阶 幻素能攀升 1.二次函数y=a.x2+bx十c的系数a,b,c满 5.(2025·福建)已知点A(-2,y1),B(1,y2) 足关系式a一b十=0，且a<b<c,则下列图 在抛物线y=3x2+bx十1上.若3<b<4,则 象中，符合题意的是 下列判断中，正确的是 () A.1<y1<y B.y1<1<y2 C.1<y2<y1 D.y2<1<y1 B 6.抛物线y=ax2+bx十c上部分点的横坐标 x,纵坐标y的对应值如下表所示： -1071 0 0 D. 2.下列关于二次函数y=一2x2+4x+1的图 下列结论中，不正确的是 象和性质的说法，正确的是 A.抛物线开口向下 A.图象开口向上 B抛物线的对称轴为直线x=2 B.对称轴是直线x=2 C.抛物线与x轴的一个交点的坐标为(2,0) C.顶点坐标是(1,3) D.点（一1,0）在此函数图象上 D.当x>2时y随x的增大而减小 3.(2025·唐山期末)已知二次函数y=一x2 7.(2025·安徽)二次函数y=a.x2十 4x十2的图象向右平移3个单位长度得到抛 bx十c(a≠0)的图象如图所示，则下 物线C,点P(2,y1),Q(3,y2)在抛物线C 列结论中，正确的是 () 上，则y1 y2(填“>”或“<”). A.abc0 B.2a+b<0 4.已知抛物线y=x2+2x一3. C.2b-c<0 D.a-b+c<0 (1)试确定抛物线的开口方向、顶点坐标和 y/m 对称轴. (2)用“五点法”画出该抛物线，并说明该抛 物线是怎样由抛物线y=x2平移得到的. x/m (第7题) (第8题) 8.(2025·甘肃)如图，一个圆形喷水池的中央 竖直安装了一个柱形喷水装置OM,喷头M 向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的 抛物线路径落下，水流喷出的高度y(m)与 水平距离x(m)之间的函数表达式为y -+2z+>0》,则水流喷出的最大高 度是 m. 32 第二章二次函数 9.已知二次函数y=一x2+a.x一a十1的图象 的思维拓展 的顶点在x轴上，则a的值为 12.★如图，在平面直角坐标系中，抛物 10.设抛物线y=x2+(a+1)x+a,其中a为 线y=一x2一4x+c与x轴交于点 实数 A,B(点A在点B的左侧)，与y轴 (1)若抛物线经过点（一1，m),则m= 交于点C,且点A的坐标为(-5,0). (1)求点C的坐标. (2)将抛物线y=x2+(a十1)x+a向上平 (2)若P是第二象限内抛物线上一动点，求 移2个单位长度，所得抛物线的顶点的纵坐 点P到直线AC的距离的最大值， 标的最大值是 11.已知抛物线y=ax2-3a.x-4a(a>0)与 x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）， 顶点为D (1)求点A,B的坐标及抛物线的对称轴. 3 (第12题) (2)若直线y=- 2x与抛物线交于点M, N,且点M,N关于原点对称，求抛物线对 应的函数表达式 (3)如图，将(2)中的抛物线向上平移，使得 到的亦范物线的顶点'在直线1：y-号。 设直线l与y轴的交点为O,原抛物线上的 点P平移后的对应点为Q.若O'P=OQ, 求点P,Q的坐标. D (第11题) 33