第2章 5 培优专题8：二次函数的图象与系数的关系&第2课时 利用图象法求一元二次方程的近似根-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

第二章二次函数 培优专题8：二次函数的图象与系数的关系 数 学 素 温馨提示 下列结论错误的是( ) 养 十十十十十 归纳总结：抛物线y=ax2十bx十c的图象与 A.abc0 B.b2>4ac 字母系数a,b,c之间的关系： C.4a+2b+c>0 D.2a十b=0 2.(陕西中考)二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的 (1)当a>0时，开口 ;当a<0时，开 图象如图所示，则下列结论中正确的是( A.c>-1 B.b>0 (2)若对称轴在y轴的左边，则a,b ;若 C.2a+b≠0 D.9a+c>36 对称轴在y轴的右边，则a,b (3)若抛物线与y轴的正半轴相交，则c 0;若抛物线与y轴的负半轴相交，则c 0;若抛物线经过原，点，则c (4)当x=1时，y=ax2+bx十c= 第2题图 第3题图 当x=1时，y=ax2十bx十c= 3.(龙岩中考)已知抛物线y=ax2十bx十c的图象 ;当x=2时，y=ax2+bx+ 如图所示，则|a-b十c|+|2a十b=() ;当x=-2时，y=ax2十bx A.a+b B.a-26 C.a-b D.3a 4.(孝感中考)如图是抛物线y=a.x2十bx十c(a≠ 十C= 0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n),且与x轴 (5)当对称轴为直线x=1时，x= b 2a 的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，则下列结 论：①a-b+c>0;②3a+b=0;③b2=4a(c ,所以一b= ,此时2a十 n);④一元二次方程a.x2十bx十c=n-1有两 b= 当对称轴为直线x=一1时， 个不相等的实数根.其中正确的个数是() 应 b ,所以b= ,此 A.1 B.2 C.3 D.4 2a 识 时2a一b= ;判断2a十b大于或等于 (1,n) 0,看对称轴与 的大小关系；判断2a 一b大于或等于0，看对称轴与 的大 小关系 0234元 x=1 (6)b2一4ac>0台→二次函数与横轴 交 第4题图 第5题图 ,点；b2一4ac=0曰二次函数与横轴 交 5.(青岛中考)如图，二次函数y=ax2+bx+c 点；b2一4ac<0台二次函数与横轴 的图象与正比例函数y=kx的图象相交于 交点。 A,B两，点，已知点A的横坐标为一3，点B的 横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线 1.(毕节中考)如图，已知抛物 x=-1.下列结论：①abc<0;②3b十2c>0; 线y=ax2+bx十c开口向 ③关于x的方程ax2十bx十c=kx的两根为 上，与x轴的一个交点为 x1=-3,x,=2:④k=a.其中正确的是 (一1,0)，对称轴为直线x=1. (填序号) 做神龙题得好成绩 61 ☑同行学案学练测九年级数学下BS 第2课时 利用图象法求一元二次方程的近似根 (教材P53~55练习) 即基础闯关 >>>>>>>>>>>》>>> 难度等级基础题 bx十c=0的两个根分别是x1=1.6,x2= 知识点一：利用表格求一元二次方程的近似根 1.(兰州中考)下表是一组二次函数y=x2+3x一5 的自变量x与函数值y的对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 012345 y -0.490.04 0.59 1.16 A.-1.6 B.3.2 那么方程x2十3x一5=0的一个近似根 C.4.4 D.以上都不对 是() 即能力提升 >>>>>>>>>>>>>> 难度等级中等题 A.1 B.1.1 5.利用图象解一元二次方程x2十x一3=0时， C.1.2 D.1.3 我们采用的一种方法：在平面直角坐标系中 2.小明利用二次函数的图象估计方程x2一2x一2 画出抛物线y=x2和直线y=一x十3的图 =0的近似解，下表是小明探究过程中的一些 象，两图象交点的横坐标就是该方程的解。 计算数据.根据表中数据可知，方程x2一2x (1)利用图象解一元二次方程x2十x一3=0， 一2=0必有一个实数根在( 也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出 1.5 2 2.5 33.5 抛物线y= 和直线y=一x,其交点 x2-2x-2 -2.75-2-0.7513.25 的横坐标就是该方程的解。 A.1.5和2之间 B.2和2.5之间 (2)已知函数y=一6的图象（如图所示），利 C.2.5和3之间 D.3和3.5之间 知识点二：利用图象法求一元二次方程的近似根 用图象求方程6 一x十3=0的近似解. 3.小颖用计算器探究方程ax2十bx十c=0的 根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根 x=一3.4，则方程的另一个近似根为( ) (精确到0.1) A.4.4 B.3.4 C.2.4 D.1.4 4.如图是二次函数y=ax2十bx十c的部分图 象，由图象可知关于x的一元二次方程a.x2十 62做神龙题得好成绩70≤x≤80时，W随x的增大而减小，∴.当x=70时，W取 -2x)(6-2x)=4x2-48x+120=4(x-6)2-24.因为对 得最大值，此时W=1800,即售价为每千克70元时获得最 称轴为直线x=6,开口向上，所以当0<x≤2.5时，w随x 大利润，最大利润是1800元. 的增大而减小，所以当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总 4.解：(1)y=-2x十220(2)设药店每天获得的利润为 费用最低，最低为25元. w元.由题意，得w=(x-50)(-2x十220)=-2(x-80)2 2.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx十b,将(10， 十1800.-2<0，∴.函数有最大值，.当x=80时，w有 10k十b=30 30),(20,20)分别代入，得 最大值，此时最大值是1800，故销售单价定为80元时，药 店每天获得的利润最大，最大利润是1800元 y与x之间的函数关系式为y=一x十40.(2)当1≤x≤ 5.解：(1)设y=kx+b,将(25,110)，(30,100)代入，得 25k+b=110 15时，u=(分x+20-10)(-x+40)=-2(x-10)y2+ (2)由 30k+b=100 解得一2 6=160y=-2x+160. 450.- 2<0,当x=10时，0取最大值，最大值为 题意，得(x-20)(-2x+160)=1000,即-2x2+200x 3200=1000,解得x=30或70..每千克售价不低于进 450;当16≤x≤30时，w= (20+10-10）(-x+40) 价，且不高于40元，.x=30..该超市要想获得1000元 12000 的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为30元.(3)设超 -300.12000>0,.当16≤x≤30时，w随x的 x 市日销售利润为w元，则=(x一20)（一2x十160）= 增大而减小，.当x=16时，w取最大值，最大值为450.故 -2x2+200x-3200=-2(x-50)2+1800..-2<0, 第10,16天获得的利润最大，最大利润为450元.(3) .当20≤x≤40时，w随x的增大而增大，∴.当x=40时， -2x-102+450+7a(-x+40)=-22+(10 1 1 w取得最大值为一2×(40-50)2+1800=1600..当每 千克樱桃的售价定为40元时，日销售利润最大，最大利润 2az+400+20a.“前8天每天获得奖励后的利润随 1 是1600元. 6.解：(1)设蛤蜊每次降价的百分率为α%，依题意，得20(1 1 10-2 1 a%)2=16.2,解得a1=10,a2=190(舍去)..蛤蜊每次降 x的增大而增大，。 1 10-2a>7.5,解得a< 价的百分率为10%.(2)结合(1)得第1次降价后的价格 2大2 为20×(1一10%)=18（元），.当1≤x<9时，y=(18 5,故a的取值范围为2≤a<5. 8.2)(105-3x)-(40+3x)=-32.4x+989.,k=-32.4 5二次函数与一元二次方程 0,.y随着x的增大而减小，.当x=1时，利润最大为 第1课时二次函数与一元二次方程的关系 一32.4×1十989=956.6（元）.当9≤x<15时，第2次降价后 1.B2.D3.C 的价格为18×(1一10%)=16.2（元），.y=(16.2-8.2)(120 5 -x)-(3x2-68x+300)=-3x2+60x+660=-3(x 4y=号x2-3x2 10)2+960..a=一3<0，.当x=10时，利润最大为 5.x1=-2,x2=1 960元.956.6<960，.第10天利润最大，最大利润为 6.>7.(4,7)和(-1，-3)8.(1)A(2)B9.A 1-32.4x+989(1≤≤x<9) 960元.综上，可得y= 第 10.A[解析]：二次函数y=x2+2x十b+1的图象与 -3.x2+60x+660(9≤x<15) x轴有两个交点，.△=22一4(b十1)>0，解得b<0.当 10天利润最大，最大利润为960元.(3)当1≤x<9时， k>0,b<0时，一次函数y=x十b的图象经过第一、三、 32.4红+989≥930，解得x<23,此时有1天的禾 四象限；当k<0,b>0时，一次函数y=kx十b的图象经 过第一、二、四象限.故选A 润不低于930元；当9≤x<15时，y=-3x2+60x十660≥ 11.(1)C(2)C12.C 930,根据图象法可解得10一√10≤x≤10+√10，.9x 13.D[解析]y=(x-a-1)(x-a十1)-3a十7=x2-2ax ≤13，.此时第9~13天的利润不低于930元，13一9+1= +a2一3a+6.抛物线与x轴没有公共点，∴.△ 5(天).综上可知，有1十5=6（天）利润不低于930元. (-2a)2-4(a2-3a十6)<0，解得a<2.抛物线的对称 培优专题7：二次函数中的决策问题 轴为直线x=一一20=4，抛物线开口向上，而当x<一】 1.解：(1)图略.设裁掉的正方形边长为xdm,由题意，得(10 2 -2x)(6-2x)=12,即x2-8x+12=0,解得x1=2或x2 时，y随x的增大而减小，.a≥一1，.实数a的取值范 =6(舍去).即裁掉的正方形边长为2dm.(2)因为长不 围是-1≤a<2. 大于宽的5倍，所以10一2x≤5(6一2x),所以0<x2.5. 14.B 设总费用为w,由题意可知w=0.5×2x(16-4x)十2(1015.D[解析]当m=0时，函数为y=2x十1，其图象与x轴 只有-个交点：当m≠0时，4=0，即(m十2)2-4m(2m 时与新抛物线也有三个公共点。 十1=0，解得m=士2.当m=0或m=士2时，函数 y=m2十(m十2)z十2m十1的图象与x轴只有一个 交点 16.A[解析]依题意，画出函数y=(x一a)(x-b)的图象， 如图所示.函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交 将一次函数与二次函数表达式联立得x2-5x一6=2x十 b,整理得x2-7x-6-b=0,.△=49-4(-6-b)=0, 点的横坐标分别为a,b(a<b),方程1一(x一a)(x一b)= 0,转化为(x一a)(x一b)=1,方程的两根是抛物线y=(x 解得6-孕当一次函数过点B时，令y一-x一-6 一a)(x一b)与直线y=1的两个交点.由m<n,可知对称 =0,解得x=一1或6，即点B的坐标为(6,0).将点B的 轴左侧交点横坐标为m,右侧为n.由抛物线开口向上，则 坐标代入y=2x十b,得0=12十b,解得b=-12.综上，若 在对称轴左侧，y随x增大而减小，则有m<a;在对称轴 直线y=2x十b与这个新图象有3个公共点，则b的值为 右侧，y随x增大而增大，则有b<n.综上所述，可知m< _73或-12. 4 a<b<n.故选A 21.解：(1)，抛物线y=一x2十mx+3过点B(3,0),∴.0= (y=-x2+2x+3 -9+3m+3,∴.m=2. (2)由 3 y=-2x+3 ·得 7 /x1=0 x2= y1=3' gD(，-)Sm= 17.B y2= 4 18.解：(1)补全函数图象如图所示. 4SABXIyr1-4XABXyr-9. ∴yp=士9.当yp=9时，-x2+2x十3=9，无实数解；当 yp=-9时，-x2+2x+3=-9,解得x1=1+√13，x2 =1-√13，∴.点P的坐标为(1十√13，-9)或(1- √13，-9). 5x 22.(1)证明：.△=(k-5)2-4(1-k)=k2-6k+21=(k 3)2+12>0,.无论k为何值，方程总有两个不相等的实 数根.(2)解：由题意知抛物线开口方向向上.：△=(k 一3)2十12>0，∴.抛物线与x轴有两个交点.设抛物线与 (2)3(3)由图象，知①此函数在实数范围内既没有最大 x轴的交点的横坐标分别为x1,x2.:抛物线不经过第三 值，也没有最小值；②此函数分别在x<一2和x>2范围 象限，.x1十x2=5-k>0,x1·x2=1-k≥0，解得≤ 内，y随x的增大而增大；③此函数图象过原点；④此函数 1.(3)解：设方程的两个根分别是x'1,x'2,根据题意， 图象关于原点对称.（答案不唯一，写出两条即可） 得(x'1-3)(x'2-3)<0,即x'1·x'2-3(x'1十x'2)+9 19.D[解析]，y=x2-4x十a=(x-2)2-4十a,.将二次 <0.又x1十x'2=5-k,x1·x'2=1-k,代入得1-k- 函数y=x2一4x十a的图象向左平移1个单位长度，再向 35-)十9<0，解得k<号，则k的最大整数值为2 上平移1个单位长度，得到的函数关系式为y=(x一2十 培优专题8：二次函数的图象与系数的关系 1)2-4+a十1，即y=x2-2x十a-2.将y=2代入，得 (1)向上向下(2)同号异号(3)><= 2=x2-2x十a一2，即x2-2x十a-4=0.由题意，得△= (4)a+b+ca-b+c4a+2b+c4a-2b+c(5)1 4-4(a-4)>0,解得a<5. 2a0-12a01-1(6)有两个有一个无 20.A[解析]如图所示，过点B的直线y=2x十b与新抛物 1.C2.D3.D4.C 线有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此：5.①③ 同行学案学练测·17· 第2课时利用图象法求一元二次方程的近似根 十285=0，解得x1=15,x2=19.,4y≤12，即4≤-x十 1.C2.C3.D4.C 24≤12，.12≤x≤20，.此时的售价为15元/件或19元/件 5.解：(1)x2-3(2)图象如图所示. ②设利润为w万元，当4≤y≤12时，即12≤x≤20，则w =xy-10y=(x-10)y=(x-10)(-x+24)=-x2+ 6 34x-240=-(x-17)2+49..-1<0,∴.当x=17时， w有最大值，最大值为49.当12<y≤19时，把y=12,P =120代入P=-号y+6y+c,得-号×12+6X12+ c=120,解得c=96,P=32+6y十96dw=y 由图象得出方程的近似解为x1=一1.4，x2=4.4. p=w-(-3y2+6y+96）=(24-y+3,2-6 章末复习 96=号(-罗)°+只.”-号<0当y=号时，w 1.B2.2或43.D4.C5.A6.C 7.解：(1)①：b=4,c=3,.y=-x2+4x+3=-(x-2)2+ 有最大值，大值为号此时=21-号-号签上所述， 7,.顶点坐标为(2,7).②，一1≤x≤3中含有顶点(2， 当售价为17元时，利润最大，最大利润是49万元. 7),.当x=2时，y有最大值7.：2-（-1)>3-2， 12.解：(1)抛物线与y轴交于点C(0,4),∴.c=4.对称轴为 .当x=一1时，y有最小值为-2，∴.当-1≤x≤3时，一2 ≤<7。(2)由题意，得抛物线的对称轴直线x=名在y 直线x=一号一乌2=一是6=-3抛物线的表达 式为y=一x2-3x十4.(2)如图①，点B'在对称轴直线 轴的右侧，∴.b>0.,抛物线开口向下，且当x≤0时，y的 最大值为2，c=2.又：4X1)×c-b x=-名上，令-父2-3x十4=0，解得1=1,4=-4， 4×(-1) =3,b=士2. .A(-4,0),B(1,0),AB=1-(-4)=5.由翻折可得 ,b>0,.b=2..二次函数的表达式为y=一x2十2x +2. AB'=AB=5:对称轴为直线z=一号AH=-号 8.B9.C -(-4)=5, ,.AB=2AH,∠AB'H=30,∠B'AB 10.解：(1)，抛物线C1:y=a(x-3)2+2,.C1的最高点坐 标为(3,2).点A(6,1)在抛物线C1:y=a(x-3)2+2 =60°，∠DAB= 2∠B'AB=30.在Rt△AOD中，OD 上，1=a(6-3)2+2,a=-号，抛物线C1:y= =0A·tan30=分3，∴D(0,33） 4 4 -}x-3)+2,当x=0时，c=1.(2)由题意，得嘉嘉 (3)如图②，设PF交x轴于Q,设BC所在直线的表达式 为y1=1x十b1,把B,C坐标代人直线的表达式，得 能接到沙包的坐标范围是(5,1)~(7,1).当经过(5,1)时， |k1+b1=0 1=-日×25+号X5+1+1,解得m号当经过(， (b1=4 解得飞，一4 6,=4y=-4x+4.:04= ×49+号×7+1+1，解得n=号，号≤≤ 时，1=一1 OC,∴∠CAO=45.∠AEF=90°，.直线PE与x轴 7…5 所成夹角为45°，即∠PQ0=45°.设P(m,-m2-3m+ 号为维数符合条件的元的整数值为4和5 4),设PE所在直线的表达式为y2=一x十b2,把点P代 入，得b2=-m2-2m+4,∴.y2=-x-m2-2m+4.令 11.解：(1)根据表格中数据，可知y与x是一次函数关系.设 y1=y2,则-4x十4=-x-m2-2m+4,解得x= y关于x的函数表达式为y=kx十b,将(10,14)，(12,12) 10k+b=14 m十2m,G=e=二4m+2m）+4,v2FP= 代入表达式，得 2+6=12解得/=1， 6=240关于x 3 3 的函数表达式为y=一x十24.(2)①设4≤y≤12时， E0-.巨-p)=号(m-mP心 P=my+n(m≠0)，将(4,40)，(12,120)代入表达式，得 +V2Fp=二40m+2m+4+20mgm-号(m+ 3 3 12m+m=120解得m=10, /4m+n=40 4n=0P=10gy,xy-10y= 多》+想：点P在直线AC上方，4-4<m<0当 (x-10)y=(x-10)(-x+24)=45,整理，得x2-34x ·18·同行学案学练测 m=一号时，FG+V厅FP的值最大，最大值为铝 90°-2∠A0B,在△c0D中，∠C=90-2∠C0D, ∴∠B=∠C 13.解：四边形OACB是菱形.理由如下：C为AB的中点， .BC=AC,∴.∠BOC=∠AOC.在△BOM和△AOM (OB=OA 中，∠BOM=∠AOM,.△BOM≌△AOM(SAS), A OM-OM ∴.∠OMB=∠OMA=90°，BM=AM.在Rt△AOM中， ① ② 18-9<<114215.C16-1或2或1 s∠A0M-8-号乙AaM-0∠M- .OA=OB=OC,∴.△BOC与△AOC都是等边三角形， 17.一1或5[解析]由二次函数表达式y=(x一h)2+1知， ∴.OA=AC=BC=BO,∴.四边形OACB是菱形. 其对称轴为x=h.当h<1时，在1≤x≤3时，y随x的 14.解：CD=AE=BF.理由：如图，连接AC,BD.在⊙O 增大而增大，所以当x=1时取得最小值y=5,即(1一h)2 +1=5,所以h=-1或3（舍去）：当1≤h≤3时，函数值 中，∠AOB=90°，C,D为AB的三等 y=(x一h)2+1的最小值为1，不符合题意；当h>3时， 分点∠A0C=吉∠A0B=言 在1≤x≤3时，y随x的增大而减小，所以当x=3时取 90°=30°.OA=OB,.∠OAB= 得最小值y=5,即(3-h)2+1=5,所以h=5或1（舍 ∠OBA=45°.，∠AOC=∠BOD= 去).综上所述，h的值为-1或5. 30°，∴.∠OEF=∠OAB+∠AOC= 第三章圆 45°十30°=75°.同理，∠OFE=75°，∴∠AEC=∠BFD= 1圆 75°.，∠AOC=30°，OA=OC,∴.∠AC0=∠CA0= 1.D2.B3.D4.(1)C(2)A5.B 180°30°=75，∠AEC=∠AC0=75,AE=AC. 2 6.6.5或2.57.B8.B9.B10.D 同理，BF=BD.,C,D是AB的三等分点，AC=CD 11.证明：如图，连接BD,取BD的中点O,连接OA,OC. =BD,∴.CD=AE=BF ∠BAD=∠BCD=90°，OB=OD,∴.OA=OB=OD= OC,∴A,B,C,D四个点在同一个圆上 “3垂径定理 1A2B3741659670 7.解：分两种情况：当AB,CD在圆心O的两侧时，如图①， 过点O作OE⊥CD于点E,延长EO交AB于点F,连接 OD,OB.AB//CD,EF LAB,ED-CD,BF- 12.解：(1)在△ABC中，，∠ACB=90°，AC=4,BC=5, 2AB.AB=12,CD=16ED=7×16=8,BF=号 ∴.AB=√JAC+BC=√42+5=√红.AB的中点 ×12=6.由勾股定理，得OE=√OD2-ED2=√102-8 为点MCM-=号AB-四.：以点C为圆心4为半 =6,OF=√OB2-BFz=√102-6=8，.EF=OE+ OF=6+8=14;当AB,CD在圆心O的同侧时，如图②，同 径作⊙C,AC=4点A在⊙C上.CM=四<，则点 理，得EF=OF-OE=8-6=2.综上所述，AB与CD之 间的距离为14或2. M在⊙C内；BC=5>4,则点B在⊙C外. r<5. D 2圆的对称性 1.B2.B3.B4.B5.C6.D ② 7.125°8.(1)C(2)B9.B 8.C9.B10.B11.2612.713.2√/1T14.7.5 10.示例：AB=CD,OE=OF 15.解：如图，MN⊥AB,MN过圆心，设圆心为点O,连接 11.4√6或4w2 OD,OB,.MN=3.5cm.CD∥AB,MN⊥CD, 12.证明：在⊙0中，AB=CD,AB=CD,∠AOB= ∠COD.OA=OB,OC=OD,∴.在△AOB中，∠B= DM=号cD=2×4=2(am,BN=号AB= 2X3=