3 确定二次函数的表达式-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

∴.抛物线对应的函数表达式为y= 3)由题意，得点0的坐标为(0，日)）】 -2=(x 》 ∴向上平移后的抛物线对应的函数 表达式为y=2(-名)+名 2-+2. “抛物线向上平移了日-（罗） 4(个)单位长度. 设p(x,2-号x-2)小，则Q(x, O'P=O'Q, 易得x2- -2x-2+2x2 +2=2×名，解得=- 7 x22 若x=-则2-号-2 p(28),Q(2器) 若x=则--2=- 9 P(经，)Q(,3), 综上所述，点P的坐标为(-之， 号），点Q的坠标为-合器)或 点P的坐标为（子，-吕），点Q的 坐标为（子，） 12.(1):点A(-5,0)在抛物线 y=-x2-4x+c上， .'.0=一(-5)2一4×（一5）+c,解得 c=5. .y=-x2-4x+5. 当x=0时，y=5, ∴.点C的坐标为(0,5). (2)如图，过点P作PE⊥AC于点 E,PF⊥x轴于点F,PF与AC交于 点H. 点A的坐标为(-5,0)，点C的坐 标为(0,5)， ∴.OA=OC=5. ∴.△AOC是等腰直角三角形， ∠CAO=45°. PF⊥x轴， ∴.易得∠AHF=∠PHE=45. ·PE⊥AC, ∴.易得△PHE是等腰直角三角形 aPE=PH·sm∠PHE-号PH ∴.当PH的长最大时，PE的长取得 最大值 设直线AC对应的函数表达式为y kx+5. 将A(-5,0)代人y=kx+5,得 0=-5k+5,解得k=1. ∴.直线AC对应的函数表达式为y= x+5. 设P(m,-m2-4m+5)(-5<m< 0),则H(m,m+5) .PH=(-m2-4m+5)-(m+ 5=-m-5m=-(+2》'+ -1<0, ,.当m= 号时，PH的长有最大 值，最大值为5，此时PE=25 8 '.点P到直线AC的距离的最大值 为 H我 B A FO (第12题) 15 方法归纳 二次函数的一般式化为 顶点式的方法 将二次函数的一般式y= a.x2十bx十c(a≠0)通过配方化为 顶点式y=a(x一h)2十k,有两种 方法：一是利用y=a2十)+ Aac-b2 进行配方：二是直接配方 Aa 其步骤与用配方法解一元二次方 程类似，不同的是这里为恒等变 形，解一元二次方程中的配方是同 解变形 3 确定二次函数的表达式 1.B2.B3.y=x2+2x-5 4.y=x2-2x-8(1,-9) 解析：抛物线y=ax2十bx十c过 点A(-2,0),B(4,0),.y=a.x2+ bx十c=a(x+2)(x一4).将D(0, -8)代人，得-8=-8a,解得a=1. .y=(x+2)(x-4)=x2-2x-8, 即抛物线对应的函数表达式为y= x2-2x-8.y=x2-2x-8= (x一1)2一9，.顶点的坐标为(1， -9). 5.(1)设二次函数的表达式为y= ax2+bx+c. a+b+c=0, 由题意，得4a十2b十c=3,解得 c=-5, a=-1, b=6, 1c=-5. .二次函数的表达式为y=一x2+ 6x-5. y=-x2+6x-5=-(x 3)2十4， .该二次函数图象的顶点坐标为 (3,4). (2)将二次函数的图象向左平移 m(n>0)个单位长度后得到的新图 象对应的函数表达式为y=一(x一 3+m)2+4, :将二次函数的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后恰好经过坐 标原点， .一(0-3+m)2+4=0,解得m=5 或m=1. 一方法归纳 根据已知点的坐标，设二次 函数表达式的方法 (1)已知任意三，点，设一般式. (2)当已知，点中有两点的纵坐 标都为0时，设交点式 (3)已知顶，点的坐标，设顶 点式 (4)已知，点中有两点的纵坐标 相等，此时可利用抛物线的对称性 求得顶点的横坐标，设顶点式 6.B7.A 8y=++1.839 解析：把(0,1.8)，(3,3.0)，(6,2.7)代人 1.8=c, y=ax2+br+c,得3=9a+3b十c, 2.7=36a+6b+c, 1 a=- 12’ 解得 13 '.抛物线对应的函 ib= 2 c=1.8 1 13 数表达式为y= 122+20x+1.8 13 b 20 =3.9.∴.该铅 2a 2x(-) 球飞行到最高点时，水平距离是3.9m 9y=2+子2解析：由题 意，得∠AOC=∠ACB=90°， '.∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+ ∠ABC=90.∴.∠ACO=∠ABC.又 ".·∠AO℃=∠COB=90°，.∴.△ACOcの △80∴%8器即6c-0B· OA.OA=1,O℃=2，.OB=4, A(一1,0)，C(0,2)..B(4,0).设经 过A,B,C三点的抛物线对应的函数 表达式为y=a.x2+bx十c(a≠0).将 A(一1,0)，B(4,0),C(0,2)代入，得 a=- a-b+c=0, 2 16a+4b+c=0,解得 b=2 1c=2, c=2. ∴.经过A,B,C三点的抛物线对应的 3 函数表达式为)=一2x+2x+2 10.(1).8-6=2(m), ∴.抛物线的顶点坐标为(2,3). 设抛物线对应的函数表达式为y a(x-2)2+3. 将A(8,0)代人，得0=a×(8-2)2+ 1 3,解得u=一2： .抛物线对应的函数表达式为 y=-12 x-2)2+3. 7 ×4+3= 当x=0时y=一2 2.44, ∴.球不能射进球门. (2)设小明应该带球向正后方移动 mm,则移动后再射门形成的抛物线 对应的函数表达式为y=一2x 2-m)2+3.将(0,2.25)代人，得 1 2.25=-120-2-m)+3,解得 m1=-5(不合题意，舍去)，m2=1. ∴.当时小明应该带球向正后方移动 1m再射门，才能让球经过点O正上 方2.25m处. 11.(1)将B(1,0),C(2,5)代入y a+b-3=0, a.x2十bx-3(a≠0)，得 (4a+2b-3=5, a=1, 解得{ b=2, ∴.抛物线对应的函数表达式为y= x2+2x-3. 16 (2)①令y=0,则x2+2x-3=0,解 得x=-3或x=1, ∴.点A的坐标为（一3,0） ②-3<x<1. (3)存在 设点P的坐标为(0，a). A(-3,0),C(2,5), ∴.AC2=(2+3)2+(5-0)2=50, AP2=(0+3)2+(a-0)2=9+a2, CP2=(0-2)2+(a-5)2=a2 10a+29. ,△ACP是以AC为直角边的直角 三角形， '.分以下两种情况讨论， 当AP为斜边时，AP2=AC+CP, .9+a2=50+a2-10a+29,解得 a=7, .P1(0,7). 当CP为斜边时，CP2=AC2+AP2, .a2-10a+29=50+9+a2,解得 a=-3. .P2(0,-3) 综上所述，存在符合条件的点P,点P 的坐标为(0,7)或(0，一3) 4二次函数的应用 第1课时最大面积 与抛物线型问题 1.A解析：过点A作AM⊥BC于 点M,交DE于点N,则AN⊥DE.设 AN=a..DE∥BC,.△ADEc∽ △ABC,股-即E=告 8 6 4 1 .DE= 3a.Sar=2DE· 4 2 MN=2×a·(6-a)= 3a2+ 4=2(a-3)2+6.·-4<0, 3 ∴当a=3时，S△pr取得最大值， 为6.拔尖特训·数学（北师版）九年级下 3确定二次函数的表达式 ◆“答案与解析”见P15 自基础进阶 幻素能攀升 1.已知抛物线的顶点坐标为(2，一3)，且过点 6.已知一个二次函数y=a.x2+bx+c图象上 (4,1),则该抛物线对应的函数表达式为 部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如 下表： A.y=x2-4x-1B.y=x2-4x+1 -5 -3 0 2 4… C.y=x2+4x+1D.y=x2+4x-1 12 0 -3 5 21… 2.如图，抛物线对应的函数表达式为 () 下列关于这个二次函数的结论正确的是() A图象的开口向下 B.点（一4,5）在该函数图象上 C.当x>2时，y的值随x值的增大而减小 (第2题) D.函数的最小值为一3 A.y=x2-2x+3 B.y=x2-2x-3 7.新考法·探究题在“探索函数y=ax2十bx十c C.y=x2+2x+3D.y=x2+2x-3 的系数a,b,c与图象的关系”活动中，老师给 3.小聪做作业时不小心将墨水滴在一道数学题 出了平面直角坐标系中的四个点：A(0,2), 上，题目变为：“二次函数y=x□x☐的图象 B(1,0),C(3,1),D(2,3).同学们探索了经 经过点A(1,一2)，B(0,一5)”，则题目中二 过这四个点中的三个点的二次函数图象，发 次函数的表达式为 现这些图象对应的函数表达式各不相同，其 4.已知抛物线y=a.x2+bx+c过点A(-2, 中a的值最大为 ( 0),B(4,0),D(0,一8)，则抛物线对应的函 A号 R是 n 数表达式为 ,顶点坐标是 8.(2025·盐城射阳期末)运动员推出铅球后铅 5.*已知二次函数的图象经过点(1,0)，(2,3)， 球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一 (0,-5): 部分，铅球在空中飞行的竖直高度y(单位： (1)求二次函数的表达式及图象的顶点坐标. m)与水平距离x(单位：m)近似地满足函数 (2)将二次函数的图象向左平移m(m>0)个 单位长度后恰好经过坐标原点，求m的值. 关系y=a.x2十bx十c(a≠0).如图所示为铅 球飞行中的x与y的三组对应数据，根据上 述函数模型和数据，可得抛物线对应的函数 表达式为 ;该铅球飞行到 最高点时，水平距离是 m. y/m 6 x/m (第8题) 34 第二章 二次函数 9.如图，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，斜边 思维拓展 上的高CO在y轴的正半轴上，且OA=1, 11.(2025·青海)如图，在平面直角坐 OC=2,则经过A,B,C三点的抛物线对应 标系中，抛物线y=ax2十bx一3 的函数表达式为 (a≠0)与x轴交于A,B两点，点 B的坐标为(1,0)，点C(2,5)在抛物线上 (1)求抛物线对应的函数表达式， B (2)①求点A的坐标 (第9题) ②当y<0时，根据图象直接写出x的取值 10.新情境·现实生活在一次足球训练 范围： 中，小明从球门正前方8m的点A (3)连接AC.在y轴上是否存在一点P,使 处射门，球射向球门的路线呈抛物 △ACP是以AC为直角边的直角三角形？ 线形.当球飞行的水平距离为6m时，球到 若存在，请写出所有符合条件的点P的坐 达最高点，此时球离地面的高度为3m.已 标；若不存在，请说明理由 知球门OB的高为2.44m,现以O为原点 建立如图所示的平面直角坐标系 (1)求抛物线对应的函数表达式，并通过计 算判断球能否射进球门（忽略其他因素）. (2)对本次训练进行分析，若球射向球门的 (第11题) 路线的形状和最大高度均保持不变，则当时 小明应该带球向正后方移动多少米再射门， 才能让球经过点O正上方2.25m处？ 个y/m 0 x/m (第10题) 35