第2章 3 第1课时 由两点确定二次函数的表达式-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

☑同行学案学练测九年级数学下BS 3确定二次函数的表达式 第1课时由两点确定二次函数的表达式 (教材P42~43练习) 即基础闯关 >>>>>>>>>难度等级基础题 知识点二：已知任意两点的坐标求二次函数表 知识点一：已知顶点和另一点的坐标求二次函数 达式 表达式 4.已知抛物线1与抛物线y=一3x2十2x一5的 1.图象的顶点坐标为（一2，一2），且经过原点的 形状和开口方向均相同，且过点A(1,2), 二次函数的表达式是( B(4,5). Ay=2(x+2)-2By=2x-2)2-2 (1)求抛物线1的表达式. (2)用配方法求抛物线1的对称轴与顶点 C.y=2(x十2)2-2D.y=2(x-2)2-2 坐标. 2.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2十bx十c的图象顶点为A(-2,-2), 且过点B(0,2),则二次函数的表达式 为() 5-43-2- 2 A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2 知识点三：已知抛物线与x轴的交点坐标求二次 函数表达式 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x十2)2-2 5.如图所示，抛物线的表达式是( 3.已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为 (一1,2)，且图象过点(1，一3) A.y= 2x2-x十4 (1)求这个二次函数的表达式. (2)写出它的开口方向和对称轴. 2x2-x+4 -20 4 C.y- 2x2+x十4 D.y=- +x+4 6.已知抛物线的对称轴为直线x=1,且经过点 (0,2)和(4,0)，则抛物线的表达式 为 7.已知抛物线与x轴交于点A(一3,0)，对称轴 是直线x=一1，且过点(2,4)，则抛物线的表 达式为 46做神龙题得好成绩 第二章二次函数☑ 知识点四：已知抛物线与坐标轴的交点坐标求二 11.如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0, 次函数表达式 3),B(-1,0). 8.(盐城中考)已知抛物线y=a(x一1)2十h经 (1)求抛物线对应的二次函数表达式： 过点(0，一3)和(3,0). (2)抛物线的顶点为D,对称轴与x轴交于 (1)求a,h的值. 点E,连接BD,求BD的长 (2)将该抛物线向上平移2个单位长度，再向 右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接 写出新的抛物线对应的函数表达式 B O iE 即能力提升 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级中等题 素养提升微专题 【由抛物线的平移、旋转、轴对称求其表达式】 即培优创新 >>>》>>》>>难度等级综合题 9.[一题多辨](1)在平面直角坐标系中，将抛 12.[几何直观]如图，抛物线y=ax2十bx(a> 物线y=x2+2x十3绕着它与y轴的交点 0)经过原点O和点A(2,0),B(-1,2)三点. 旋转180°，所得抛物线的表达式是( (1)写出抛物线的对称轴和顶点坐标， A.y=-(x+1)2+2B.y=-(x-1)2+4 (2)点(x1,y1),(x2,y2)在抛物线上，若x1< C.y=-(x-1)2+2D.y=-(x+1)2+4 x2<1,比较y1,y2的大小，并说明理由， (2)在平面直角坐标系中，把一条抛物线先 (3)点C与点B关于抛物线的对称轴对称， 向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转 求直线AC的函数表达式， 180°得到抛物线y=x2十5x+6,则原抛物 线的表达式是( ) B.y=-(x+2 1211 4 C.y=-(x- 521 2-4 Dy=-z++ 10.(徐州中考变式)已知二次函数的图象经过 点P(2,2),当点为O(0,0).将该图象向右 平移，当它再次经过点P时，则所得抛物 线的函数表达式为 做神龙题得好成绩 47宽处AB的长为4m.(2)如图，设小货车行驶到城门正13.A14.D15.C16.D17.A18.C19.18 中间，用矩形CDEF表示小货车的横截面，则由题意，得20.解：一次函数y=kx-2的图象过点A(-1,一1)， ED,FC均垂直于AB,点E,F到AB的距离均为2.6m,F .一1=一k一2，解得=一1，.一次函数的表达式为 点的横坐标为1.1.设CF所在直线交抛物线于G点，则 y=-x-2,.令x=0,得y=-2,.G(0,-2).y= G点的横坐标为1.1，.G点的纵坐标为一1.21，.G点 ax2过点A(-1,-1),.-1=a×1,解得a=-1,∴.二 到AB的距离为4-1.21=2.79(m).2.79>2.6,∴.小 次函数的表达式为y=一x2.一次函数与二次函数联立可 货车能完全通过此城门. 得=-x-2 y=-x,解得 S60g+5am=号×2X1+号×2X2=1+2=3, 1 第4课时二次函数y=a(x一h)2的图象与性质 D B 1.D2.B3.D4.(3,0)x=3 第2课时二次函数y=a.x2的图象与性质 5.(1)②⑤①③④⑥(2)①②③④⑤⑥ 1.B2.A3.(1)A(2)A4.±25.-5 6.B7.B8.<-309.a≤210.D11.左1 6.B7.B8.C9.A 12解：抛物线②的函数表达式为y=一号(+2，物 10.y<y3<y2 1.B12.y=-2x213.C14.A15.会16.23 线@的函数表达式为y=宁ú-3， 13.D14.y=2(x+1)2 17.解：(1)把点A(1,b)代入y=2x-3,得b=2×1-3= 15.解：由题意，得P(6,0).令x=0,得y=18.∴.OP=6,OA -1,.A(1,-1).把点A(1,-1)代入y=ax2,得a= 1 -1.(2),a=-1,.二次函数y=ax2为y=-x2,它 =18,S△0m=2X6X18=54 的图象开口向下，对称轴为y轴，∴当x<0时，y的值随 16.解：·所得新抛物线的顶点的横坐标为2，∴.可设新抛物 x值的增大而增大.(3)解方程组 |y=2.x-3 线的表达式为y=a(x-2)2.将(4,8)代入，得8= a(4-2)2,∴.a=2. =-1',=-g心抛物线y=ax2与直线y=2z-3 x1=1x2=-3 17.解：(1)函数y=一子x2的图象开口向下，对称轴为y轴， 的另一个交点B的坐标是（一3，一9）. 1 18.解：把点A(2,0)和点B(0,2)分别代人y=x+b,得 顶点坐标为(0,0)；函数y=一4(x十2)2的图像开口向 (2k十b=0 k=-1 下，对称轴为直线x=一2，顶点坐标为（一2,0）；函数y= ,解得 b=2 6=2,心一次函数的表达式为y= 1 一x十2.设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2, (x一2)2的图象开口向下，对称轴为直线x=2,顶点 y2),则y1=ax,y2=ax.y1·y2=1:4,y2=4y1, 坐标为2,0).(2)函数y=一子（红十2》是由函数y am:ar号=1：4，号-士2又：点Q在第二象限，点 1 x2 产向左平移2个单位长度得到的：函数y=一号红 P在第-象限，=-号，2=21点Q的坐 1 -2)是由函数y=-}x2向右平移2个单位长度得到 标为（一2x1,4y1).把P,Q两点的坐标分别代入y=一x +2,得9=-1+2 =2+2解得1】 得=心点P的坐标为1， 的.(3)y=- 4x2,当x<0时，y随着x的增大而增 1),把点P(1,1)的坐标代入y=ax2,得a=1,∴.二次函 大，当x>0时，y随着x的增大而减小，y=一子（红十 数的表达式为y=x2. 2)2,当x<-2时，y随着x的增大而增大，当x>-2 第3课时二次函数y=a.x2十k的图象与性质 1.B2.(1)A(2)C3.C4.D5.C6.D7.A 时，y随着x的增大而减小y=一（红一23，当x<2 8.0大-1 时，y随着x的增大而增大，当x>2时，y随着x的增大 9.解：1y=3r2-1.2y=-2-1 而减小. 18.解：由二次函数表达式y=一(x一h)2知，其对称轴为直 (3)y=-x2-1. 线x=h.当h<2时，在2≤x≤5上，y的值随x值的增 10.B11.y=x2+212.y=3x2+7 大而减小，所以当x=2时，取得最大值y=一1，即一(2 h)2=-1,所以h1=1,h2=3(舍去).当2≤h≤5时，函数 是直线x=-=一1，：当x≥2时，y随c的增大而增 值y=一(x一h)2的最大值为0，与已知矛盾，不符合题 2a 意.当h>5时，在2≤x≤5上，y的值随x值的增大而增 大，a>0.-2≤x≤1时，y的最大值为9， 大，所以当x=5时，取得最大值y=一1，即-(5-h)2= ∴.当x=1时，y=a十2a十3a2+3=9,即3a2+3a-6= 一1，所以h1=4(舍去)，h2=6.综上所述，h的值为1 0,解得a=1或a=-2(不合题意，舍去)，∴a=1. 或6. 3确定二次函数的表达式 第5课时二次函数y=a(x一h)2十k的图象与性质 第1课时由两点确定二次函数的表达式 1.A2.B3.C4.D5.D6.A7.C 1.A2.D 81>>9日 3.解：(1)设二次函数的表达式为y=a(x十1)2+2，把点(1，-3) 10.D11.(1)A(2)A12.C13.B14.C15.(1,0) 代入，得a=一号.∴抛物线的表达式为y=号十1)+2 16.解：(1)0一1补充函数图象如下图. (2)抛物线的开口向下，对称轴为直线x=一1. y↑ 4.解：(1)，抛物线1与抛物线y=-3x2+2x一5的形状和 开口方向均相同，∴.可设抛物线1的表达式为y=一3x2十 bx+c.抛物线l过点A(1,2),B(4,5), -3-24T34x 1-3+b+c=2 b=16 {-3X4+6十c=5解得。=-1 (2)y=-3x2+ A 16x-11=- (-5+g号)-1=-3(-g》 (2)示例：①图象关于y轴对称；②函数有最大值是0： ③当x>1时，y随x的增大而减小. 十：∴范物钱1的对称轴为直线工=号，顶点坐标为 (3)-1<a<0 () 17.解：(1)a=3,b=6,二次函数y=2(x一m)2-2(m是常 数)的图象经过点P(a,b),∴.把点P(3,6)代入，得2(3一 5.D6.y=- -10+号 m)2-2=6,解得m=5或1，∴.m的值为5或1. (2):二次函数y=2(x-m)2一2的图象的对称轴为直 7y= 线x=m,点P到对称轴的距离为1，∴.a=m十1或m一 8.解：(1)因为抛物线y=a(x一1)2十h经过点(0，一3)和(3， 1.当a=m+1时，b=2(m+1-m)2-2=0,当a=m-1 时，b=2(m-1-m)2-2=0,∴.b的值为0. 0),所以{-3=a(0-1)+ l0=a(3-1)2+h 解得01 6=二4：所以a,五的值 第6课时二次函数y=a.x2十bx十c的图像与性质 分别为1，一4.(2)新的抛物线对应的函数表达式为y= 1.A2.C3.A4.D5.C6.C7.D (x-2)2-2=x2-4x十2. 8解：10=-2x2+2x+1=-2(x2-4z+4-40+1= 9.(1)B[解析]：y=x2+2x十3=(x十1)2十2，∴.原抛物 线的顶点坐标为（一1,2）.当x=0时，y=3,∴.抛物线与 x2-4红+40+3=-7c-2)+8 1 (2)抛物线的 y轴的交点坐标为(0,3).，抛物线绕着与y轴的交点旋转 180°，.旋转后抛物线的顶点与原抛物线顶点关于(0,3)对 开口向下，顶点M的坐标为(2,3)，对称轴是直线x=2,函 称，且开口向下，.所得抛物线的顶点坐标为(1,4)，所 数的最大值为3，无最小值.(3)当x=0时，y=1,抛物 线与y轴的交点坐标为(0,1).(4)当x<2时，y随x的 得抛物线的表达式为y=一(x一1)2+4.故选B. (2)A 增大而增大；当x≥2时，y随x的增大而减小. 9.D10.D11.-412.C13.D14.D15.C 10.y=2(x-4) 16.(1)解：，抛物线开口向下，∴.a<0.对称轴是直线x= 11.獬：(1)，抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3), -多=-1,6<0.“抛物线与y轴的交点在x轴的上 2a 方，c>0.(2)证明：，抛物线的顶点在x轴上方，对 a-10心合】3外.部降-号二次通数的 称轴为直线x=-1,∴.当x=一1时，y=a一b十c>0. 表达式为y=-x2+2x十3.(2)：y=-x2+2x十3= (3)解：根据图象可知，当-3<x<1时，y>0;当x<-3 -(x-1)2+4,.D(1,4),.DE=4,OE=1. 或x>1时，y<0. B(-1,0),∴.BO=1,.BE=2,.BD=√BE2+DE 17.解：由题意，知二次函数y=a.x2+2a.x十3a2+3的对称轴 =2w5. 同行学案学练测·15· 12.解：(1)，抛物线y=ax2十bx(a>0)经过原点O和点 十n,一2X2,得m=一4。（2)”点A与抛物线 77 /4a+2b=0 4 A(2,0),B(-1,2),. lab2.a=3,6三一3 的顶点B的距离为4，点A的坐标为(2,5)，∴点B的坐 抛物线的表达式为y=号-台=号（红-1）-号 2 2 标为(2,1)或(2,90，.4n-（二)-1或9，解得m=5或 4 “抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1，一子）： 13,∴.抛物线y1的表达式为y1=x2-4x+5或y1=x2 -4x+13. (2)该抛物线开口向上，对称轴为直线x=1,.当x<1 以 时，y随x的增大而减小，而x1<x2<1,故y1>y2· 12解，①号5 (2)设二次函数的表达式为Sn=an2+ (3):点B(-1,2)在该抛物线上，点C与点B关于抛物 号-a+6+c a=1 线的对称轴x=1对称，.C(3,2).设直线AC的函数表 2k十m=0 k=2 bm十c,则5=4a十2b十c,解得b= 2这个二次函 达式为y=kx十m, 3k+m=2'解 m=一4心直线 21 2 =9a+3b+c (c=0 AC的函数表达式为y=2x一4. 第2课时由三点确定二次函数的表达式 数的表达式为S,=心+ 1.D2.A 培优专题6：求二次函数表达式的常见类型 3.解：(1)由图象知A(-1,0),B(0,-3),C(4,5),代入y= 1.A2.D a-b+c=0 3.y=x2-2x-34.y=x2-x+1 ax2十bx十c(a≠0)，得c=一3 ,解得a=1,b= 5.解：(1)由已知条件，得C(0,4),B(4,4),把B,C两点的坐 16a+4b+c=5 一2，c=一3，.二次函数的表达式为y=x2-2x-3. 标代人y=一号x2+a+c,得厂8+6+c=4 \c=4 解得 (2)y=x2-2x-3=(x一1)2一4，所以抛物线的顶点坐标 b=2 1 1 为(1，一4)，对称轴为直线x=1. c=4y=-2x2+2x+4. (2):y= 2x2+2a+ 4.D 5.y=-x2+x+2 4 乞(x一2)2十6，顶点D(2,6),Sg助形c=SAAc 6.解：，∠AOC=∠ACB=90°，.∠CAO+∠AC0=90°， +5Am=2X4X4+号×4X(6-40=12 1 ∠CAO+∠ABC=90°.∴.∠ACO=∠ABC.又.∠AOC= ∠08=90，△A0△C80.8器-82.0c2 6.解：(1)过点A作AD⊥x轴，垂足为点D,如图.，斜坡的 坡比为1：2，∴.AD:OD=1:2.AD=1.5,.OD=3, OB·OA.OA=1,O℃=2，.OB=4..B(4,0),C(0, ∴A(3,1.5).设二次函数的表达式为y=ax2+bx,将 2).设抛物线的表达式为y=a(x十1)(x一4).将C(0,2) 9a+3b=1.5 代人，得-4如=2，解得a=-,∴过A,B,C三点的二次 函数的表达式为y=2c+1Dc0=名+8+2 7.B 2三次函数的表达式为y=-7x2+2G b=2 8.y=-3x2+3 822、1 9.y= 4x+2 (2),y=一 x2+2x=-合（x-2)2+2,-合<0当 1 x=2时，y取最大值2，∴小球到达的最高点的坐标为(2,2). 10.解：把x=2代入y=x+1,得y=2+1=3,∴.点B(2,3). 当y=0时，0=x+1,解得x=-1,∴.点A(-1,0).由于 抛物线的顶点在y轴上，因此对称轴为y轴，设抛物线的 表达式为y=ax2+c.把A(-1,0),B(2,3)代入，得 a十c=3解得a=1,c=-1,抛物线的表达式为y (a十c=0 D x2-1. 11.解：(1)，点A的纵坐标为5，点A在直线y2=2x十1上， 4二次函数的应用 .5=2x十1，得x=2,点A的坐标为(2,5).抛物线 第1课时最大面积是多少 y1的对称轴与直线y2的交点为A,抛物线y1=x2十mx 1.10m,10m ·16·同行学案学练测 2.解：1)下部分矩形的长=10-)14红=5一7x,由x>0,5 2 大棚的最高处到地面的距离为行米。(3)令y-,则 -7z>0,得0<<号，y=(5-7z+2x)2x=-10x2 +10x(0<x< .(2):y=-10x2+10x=-10(x <6,“大棚内可以搭建支架的土地的宽为6一号 -)广+号当z=号时y取到最大位最大值为 号（米）.又：大桶的长为16米，∴需要搭建支架部分的士 答：x取号时，透光面积最大，最大透光面积是号m。 地面积为16×号-8（平方米），故共需要准备88×4- 3.2s 352(根)竹竿. 4.解：设P,Q同时出发后经过的时间为ts,四边形APQC的 6.解：以左边柱子与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左 面积为Smm2,则有S=SAx-Sm=号×12X24-号 1 边柱子为y轴建立平面直角坐标系，如图.由题意，得 A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1).设函数表达式为y=ax2 ×4t×(12-2t)=4t2-24t+144=4(t-3)2+108.4> +bz十c,把A,B,C三点的坐标分别代入，得 0,.当t=3时，S取得最小值，即移动3s时，四边形 c=2.5 a=2 APQC的面积最小. 4a十2b+c=2.5,獬得b=-4,∴.y=2x2-4x+2.5 5.C6.D7.243 0.25a+0.5b+c=1 (c=2.5 8,解：D:E,F为AB,AD中点，EF=合BD,同理，GH =2(x-1)2+0.5.2>0,.当x=1时，ym血m=0.5,∴.绳 子的最低点距地面的距离为0.5米 =2BD.:EF+BD+GH+AC=80,∴BD=40- 2x. 四边形ABCD是菱形，∴y=(40-号x)z=-子x 米 +20z.(2AC≤号BD,∴≤号(40-7）x≤ 3225<x<32y=-子r2+20r=-6x-40r+ 一2米 7.解：(1)由题意，知抛物线顶点为(5,3.2)，设抛物线的表达 40.又：-<0，当x=32,即AC为32cm时面积最 式为y=a(x-5)2+3.2,将(0,0.7)代入，得0.7=25a+ 3.2,解得a=- 0y=b-5+82=02+ 1 大，此时最大面积为-子×(32-40)2+400=384(cm2). 9.解：(1)，(21-12)÷3=3(m),.I,Ⅱ两块矩形的面积为 x+0“抛物线的表达式为y=一+x+ 7 12×3=36(m2).设水池的长为am,则水池的面积为a× 1=a(m2),.36-a=32,解得a=4,∴.DG=4m,∴.CG= (2)当y=16时，0+x十0=16，解得x=1或 1 CD-DG=12-4=8(m),即CG的长为8m,DG的长为 x=9,.她与爸爸的水平距离为3-1=2(m)或9一3= 4m.(2)设BC的长为xm,则CD长度为(21-3x)m, 6(m). .总种植面积为(21-3x)x=-3(x2-7x)= 8.解：(1)在y=-0.4x十2.8中，令x=0得y=2.8,∴.点P -3(-号）+14-30,0<21-3x≤12当x= 的坐标为(0,2.8)，把P(0,2.8)代入y=a(x-1)2+3.2, 得a十3.2=2.8，解得a=-0.4,.a的值是-0.4. 名时，总种植面积有最大值为14m,即BC应设计为 (2),OA=3m,CA=2m,.OC=5m,.C(5,0).在y= m总种植面积最大，此时最大面积为m配。 7 -0.4x十2.8中，令y=0,得x=7;在y=-0.4(x-1)2+ 3.2中，令y=0,得x=-2V2十1（舍去）或x=2W2+1. 第2课时抛物线形实际问题 ,|7-5>2√2-4|，.选择吊球方式，球的落地点到C 1.102.243.4 点的距离更近. 44反-02号 第3课时利润问题 1.B2.B 5解：16=名c=1.(②)曲y=-日+名+1= 1 3.解：(1)y=-2x+200(2)W=-2x2+280x-8000 (红-召)”+爱，可知当x=名时y有最大值器故 (3),W=-2x2+280x-8000=-2(x-70)2+1800(40 ≤x≤80)，.当40≤x≤70时，W随x的增大而增大；当