2.3 确定二次函数的表达式(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

二次函数 第二章 确定二次函数的表达式（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题已知抛物线过点A(-2,0),B(1,0),C(0,2),求此抛物线的函数表达式。 【分析】A,B,C为抛物线上三点，所以可设为一般式；另外，观察点A,B的坐标， 可以看出1(-2,0)，B(1,0)都在x轴上，所以对称轴是这两点连线的垂直平分线x=了， 可设形如ya+户+k的顶点式，亦可选用交点式。 【解答】解法1：由题意知，抛物线与y轴的交点为点C,则可设抛物线的函数表达式为 4-2b+2=0, a=-1, y=a+bx+2,将A(-2,0),B(1,0)两点的坐标分别代入上式，得 解得 a+b+c=0. b=-1. ∴.抛物线的函数表达式为y=-x2-x+2. 解法2：抛物线过点A(-2,O),B(1,0),∴.抛物线的对称轴是这两点连线的垂直平 分线x=子设抛物线的函数表达式为y=ax+乃h,将A(-2,0,C(0,2)两点的坐标分 -2+w=0, a=-1, 别代入上式，得 解得 0+分+h=2. ,抛物线的函数表达式为)=+宁 h=- 4 4 即抛物线的函数表达式为y=-x2-x+2, 【点拨】本题主要考查已知三点确定二次函数的表达式，其中一点为抛物线与y轴的交 点，可先根据这个交点求出二次函数的常数项C,再设出抛物线表达式y=ax+bx+c,从而 根据另外两点列出二元一次方程组，求出二次项系数a和一次项系数b的值. 基础巩固达标闯关 一多多 L.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-3,0)，(1,0)，且顶点的纵坐标为4，则此 函数表达式为 2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,2)和(-1，-6)，则a+c= 3.已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： -1 0 2 3 10 5 2 则该二次函数的表达式为 数学 九年级下册（北师大版） 4.已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为 ( A.y=x2-2x+3 B.y=x2-2x-3 C.y=x2+2x-3 D.y=x2+2x+3 5.若所求的二次函数的图象与抛物线y=2x2-4x-1有相同的顶点， 并且在对称轴的左侧，y随x值的增大而增大，在对称轴的右侧，y随 第4题图 x值的增大而减小，则所求二次函数的表达式为() A.y=-x2+2x+4 B.y=-am2-2ax-3(a>0) C.y=-2x2-4x-5 D.y=ax2-2ax+a-3(a<0) 6,某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一根高度为氵m的喷水 管喷水的最大高度为4m,此时喷水水平距离为)m,在如图所示的坐标 系中，这个喷泉的函数表达式是() 2 Ax4 B.y=-10x+34 第6题图 C.y=-0x+4 D.y=3x34 7.如图，已知二次函数y=ax+bx+c的图象经过点A(2,0),B(0,-1)和C(4,5) (1)求二次函数的表达式以及函数图象与x轴的另一个交点D的坐标 (2)在同一平面直角坐标系中画出直线y=x+1的图象，并写出当x在什么范围内时，一 次函数的值大于二次函数的值. -IB 第7题图 8.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点(1,0)，（2,10)，(0，-6). (1)求这个抛物线的函数表达式， (2)运用配方法，把这个抛物线化为y=a(x+h)+k的形式，并指出它的顶点坐标. (3)把这个抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度，求平移后 得到的抛物线与y轴交点的坐标. 20 二次函数 第二章 能力提升螂综合拓展 卡B多参上 9如图，二次函数y=乃+x+的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点A 的坐标为(-1,0)，点C的坐标为(0，-3)，连接BC. (1)求该二次函数的表达式， (2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△PBC的面积最大时，求BC边上 的高PN的值. 第9题图 10.已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A（-2,5),对称轴为直线 21 (1)求二次函数的表达式， (2)若点B(1,7)向上平移2个单位长度、向左平移m(m>0)个单位长度后，恰好落 在y=x2+b+c的图象上，求m的值. (3)当-2≤≤n时，函数)=2+b+c的最大值与最小值的差为}，求n的取值范围。 四 数学 九年级下册（北师大版） 中考链接©真题演练 B 11.(2025·辽宁)为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增 加立柱.为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 1.去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 活动准备 2.准备皮尺等测量工具 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1.大门形状为矩形（矩形ABCD); 采集数据 2.底部跨度(AD的长)为8m; 3.立柱OE的长为2m,且OE⊥AD于O,AO=OD 图1 考虑实用和美观等因素，在A,D间增加两根与AD垂直的立 设计方案 柱，垂足分别为M1,M2,立柱的另一端点N,N2在抛物线形框 tfY/m 架结构上，其中AM1=MD=1m N D M. x/m 小组成员经过讨论，确定以点O为坐标原点，线段AD所在直 线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系.点E的坐标为 确定思路 (0,2),设抛物线的表达式为y=x2+2,分析数据得到点A或点 图2 D的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立 第11题图 柱的长度，从而解决问题 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式. (2)现有一根长度为2m的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算判断这根材 料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）· 28 二次函数 第二章 12.(2025·陕西)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1,左、右门洞 L2,L,均呈抛物线形，水平横梁AC=16m,L,的最高点B到AC的距离BO=4m,L2,L3关 于BO所在直线对称.MN,MP,NQ为框架，点M,N在L1上，点P,Q分别在L2,L3上， MN∥AC,MP⊥AC,NQ⊥AC.以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系， (1)求抛物线L1的函数表达式. (2)已知拉物线山的函数表达式为y6x4只，N0弓m,求Mv的长， 第12题图 13.(2025·福建)在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-2的图象过点A(1,t),B(2,t). (1)求6的值. (2)已知二次函数=ax2+bx-2的最大值为1-3a. 4 ①求该二次函数的表达式： ②若M(x,m),N(x,m)为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：t-山)2 m =22 x1-2 29参考答案与提示 物线号-2x过原点，且点A与原点不重合，出产 x的取值范围是-3≤x≤1. 8.解：(1)：抛物线y=-x2+mx+n,直线y2=kx+ 07>0 b,y的对称轴与2交于点A(-1,5),点A与y的顶 点B的距离是4，B(-1,1)或(-山，9).2x- m ②由题意，知y=ax-4ax1,y2=x号-2x22-点 YI xI -2x,=也.两条抛物线均过原点，且点A,B与 =-1, 4x1)x-m=1或9，解得m=-2,n=0或8， 4×(-1) a(x7-4x1）x1 1=-x2-2x或y1=-x2-2x+8.(2)抛物线与x轴交 原点都不重合，≠0，≠0.。-2 a(-4)=1.= 点的纵坐标等于0，即=0.①当y=-x2-2x时，令- a(x1-4)+2.-axr4)+2=+24.依题意，知a+ x2-2x-0.∴.抛物线与x轴的交点是(0,0)和(-2,0). 1 y1的对称轴与2交于点A(-1,5),且y2随着x的增 24恤是与无关的定值，又≠0,2-4=0.解得 大而增大，少与y2都经过x轴上的同一点(-2,0) =分此时，兰=号是一个与无关的定值.a子 1 把(-1,5，（-2,0)代入2kx+b,得2+b0解 x12 b=-4a=-2. 得0y5x+10.②当=-2-2x+8时，由题意知 3确定二次函数的表达式（第1课时） -x2-2x+8=0,解得x=-4或2，.抛物线与x轴的交点 1.-72.=-x2+x+23.D4.B 是(-4,0)和(2,0).随x的增大而增大，且过 5.解：(1)抛物线y=a+2x+c经过点A(0,3), 点A(-1,5),y1与2都经过x轴上的同一点(-4,0) B(-L,0),将点A与B的坐标代入得3=C, 解 l0=a-2+c. 把(-1,5)，4,0)代人x+b,得0解 得，1，则抛物线表达式为y=-+2x+3.(2)将 c=3, 3 得 5x+20. y=-x2+2+3配方，得y=-(x-1)2+4,则顶点D(1,4)· :y 3 :对称轴=1与x轴交于点E,DE=4,OE=1.B(-1, -号 9.解：以桥面横截面为x轴，以主缆垂度所在的 O),:BO=1..BE=2.在Rt△BED中，根据勾股定理得 直线为γ轴建立平面直角坐标系，则抛物线顶点坐标 BD2=BE+DE2=22+42=20,∴.BD=2V5. 为(0,0.0015).可设该抛物线的表达式为y=ax2+ 6.解：(1)抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0)、 0.0015.由题意，知抛物线经过(0.85,0.18)，则 点2,3，第得修子范药的 lc=-3. 01S-035+0015解得一酷：该抛物线的表达式 表达式为y=x2-2x-3. 为=2+0.0015. (2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,.点D的坐标为(1， 851 -4).令x=0,则y=x2-2x-3=-3,.点C的坐标为(0， 10.解：(1)将A(1,0),C(2,5)代入y=ax2+ -3).又点B的坐标为(2，-3)，BC∥x轴，BC= 6x3（a≠0)，得2s解得2，抛物线对 2Se×2x1=1.设抛物线上点P的坐标为(m, l4a+2b-3=5. 应的函数表达式为y=x2+2x-3. m-2m-3),sam=号2xni-2nm-3-(←3lelm-2m=4 (2)①令y=0,则x2+2x-3=0.解得x=-3或x=1. 点A的坐标为(-3,0)·②-3<x<1 当m2-2m=-4时，方程无解；当m2-2m=4时，解得m= (3)存在.设点P的坐标为(0，a),A(-3,0), 1±V5.当m=1+V5时，m2-2m-3=1；当m=1-V5 C(2,5),.AC-(2+3)24(5-0)P=50,A-(0+3)24(a-0)2 时，m2-2m-3=1.综上所述，点P的坐标为(1+V5, =9+2,CP2=(0-2)2+(a-5)2=d2-10a+29..·△ACP是以 1)或(1-V5,1). AC为直角边的直角三角形，∴分以下两种情况讨论： 7.解：(1)把A(1,-2)和B(0,-5)代人y= 当AP为斜边时，A严=AC+CP2,即9+2=50+2- ,82邻阳；三武商数的衣 10a+29.解得=7..P1(0,7). 当CP为斜边时，CP2=AC+AP严，即a2-10a+29= 达式为y=x2+2x-5.y=x2+2x-5=(x+1)2-6,.顶点坐标 50+9+2.解得a=-3.∴.P2(0,-3).综上所述，存在符 为(-1，-6). 合条件的点P,P(0,7),P(0,-3). (2)y≤-2，即满足该条件的抛物线上的点在过 3确定二次函数的表达式（第2课时）】 点(0，-2)且平行于x轴的直线y=-2的下方（包括 1.y=-x2-2+32.-23.y=x2-4x+5 直线y=-2与抛物线的交点).：点A(1,-2)关于对称 4.B5.D6.C 轴直线x=-1的对称点为C(-3,-2),∴.当y≤-2时， 7.解：由题意，得c=-1.二次函数y=a2+bx-1 数学 九年级下册（北师大版） 4a+2b-1-0,解 的图象经过点A(2,0),C(4,5),16+46-1=5. 向左平移m个单位长度(m>0),.平移后的点为(1- m,9).又(1-m,9)在二次函数y=x2+x+3的图象 上，∵9=(1-m)2+(1-m)+3..m=4或m=-1（舍去) 得 :所求二次函数表达式为了1令 m=4.(3)由题意，二次函数y=x2+x+3图象的对称 轴为直线=子，当<分时，最大值与最小值的差 0,即之宁-10解得=2，-1点D的坐 为(-2y-2+3-(a2+n3)=呈==号 (不符合题 标为(-1,0)·(2)画图略.根据图象得，当-1<<4 时，一次函数的值大于二次函数的值 意，含去)当子≤n≤1时，+3+号 0=a+b+c, a=2, 8.解：(1)根据题意得10=4a+2b+c,解得b=4, 最大值与最小值的差为(-2-2+3-4号，符合题 -6=c. c=-6. 意.当心1时，最大值与最小值的差为+2+ .这个抛物线的函数表达式为y=2x244x-6.(2)将y= 2x2+4x-6配方，得y=2(x+1)2-8,.顶点坐标是(-1， 9 ，解得=1或=-2，不符合题意.综上所述，n -8).(3)将顶点(-1，-8)先向右平移4个单位长 度，再向上平移6个单位长度，得顶点坐标为(3，-2)， 的取值范围为-≤n≤1. .平移后得到的抛物线的表达式为y=2(x-3)2-2,令x= 11.解：(1)由条件可得AD=8,∴.0A=0D=4. 0,得y=16,.它与y轴的交点坐标是(0,16) :A(-4,0).将点A的坐标代人表达式y=ax2+2,得 9.解：(1)把(-1,0)和(0，-3)代入表达式 ab=-5 0=16a*2.gg=g242 2’.二次函数的表达 (2)AM=MD=1m,∴.OM=OM2=3.V1,N2关于 c=-3. c=-3. 式为)宁多-3.(2②)令)0.则号马-30 y轴对称=日r42。当3时，=日×32=尽 8 解得=-1,2=6.点B的坐标为(6,0).∴BC= MN=N-冬2x子-子2，：这根材料的长度够用 VOB+OC-3V5.设直线BC的表达式为y=mx+n, 12.解：(1)B0=4m,.抛物线L1的顶点B的 将点B(6,0),C(0.-3》代入，得6=0，解得 坐标为(0,4).设抛物线L的函数表达式为y=ax2+ =-3. 4,AC=16m,点A,C关于y轴对称，A(-8,0), C(8,0).将C(8,0)代人y=ax2+4,得0=64a+4,则 m=2,:直线BC的表达式为 、 n=-3. 6=64 =-3.如图，过点P作m1 (2)由（山）得抛物线L,的函数表达式为)=。 x轴交BC于点D,设点P的坐 +4,MN/AC,MPLAC,01AC,NQ=号m,且抛 标为x,分多-3列，则点D 物线L,的函数表达式为)一。4，r64 的坐标为x,-3,PD 第9题答图 4-名-4多整理方程，得12+36=0.解得 3--3=-7435am=5am=× x1=x2=6.∴.MN=2×6=12(m）. m0643=-号-30. 13.(1)解：二次函数y=a2+bx-2的图象的对称 2 2 :S有鼓大值.△PBC面税的最大值为翌.P八 轴为=品“点A山，，B2,)都在该函数的图 象上，点A与点B关于对称轴X=品对称.2 2S=27-9V5 BC 3V5 5 1合3 10.解：(1)二次函数为y=x2+bx+c,∴抛物线 (2)①解：由(1)可得b=-3a,∴.该函数的表达式 的对称轴为直线=令分=1二次函数的表 为)-3-2，函数图象的顶点坐标为号，号-2 达式为y=x2+x+c.又函数图象经过点A(-2,5), 4-2+c=5..c=3..二次函数的表达式为y=x2+x+3. :函数的最大值为1子c,a0是4-2=lc解 (2)由题意，点B(1,7)向上平移2个单位长度、 得a=-1或=4（舍去）.∴.该二次函数的表达式为y= 08 参考答案与提示 -x2+3x-2. ②证明：：点M(,m)在函数y=-x2+3x-2的图 9+2400.当x=l0,即MG=10时，S元amr最大. 象上，∴m=-+3x-2. 此时FM=号×109FG=VWG4HF-号VE.当 由①知，点M,m).N,m)关于直线x号 点G在EF上距点F0V3m时，公园面积最大. 3 对称，不妨设<，则2 33 -1,即xt2=3. 8.解：(1)如图，过 (x-1)2-2_(x-1)2(x-2)-m(x2-2) 点A作AE⊥BC于点E. mx1-2 m(x1-2) :AC=2V3,∠ACB=60°， =x-1)(x-1)(x-2)-m(-2)】 则AE=3.又PD∥AB,易 m(x1-2) B =（G-3x+2)(-1)-m(-2)--m(x-1)-m(2-2) 证△ABC∽△DPC.:CD= AC m(x1-2) m(x1-2)） .CD=Y3(4-).过 第8题答图 =-mx+3-0.÷rl2=-2 BC 2 m(x1-2) m-2 4二次函数的应用（第1课时）】 点D作DF1C于点R、E-2瓷D子4 1.625m225m,25m )AE-化-号DF-PC-=PCAE 2 2)=-7*w0k21习 3.2提示：设EF=xm,EG=ym,由三角形相似 -0号43-子4小g422)南四 的性质，得y-4号5m-6B=4号刘 得，Seuw意x-2P4号，当x=2时，S6m最大，最 -子4，当x3时，Sm最大，此时)2. 大值为2.(3)0<4 4.B 9.解：(1)x=5时，EF=20-2x=10,EH=30-2x= 5解：（①=43子月￥子 20.y-2x(BH+AD)-x20+2·分GH+D)x60+BF EH·40=(20+30)×5×20+(10+20)x5×60+20x10×40=22000 0,当x号时，函数的最大值是？，即演员弹跳 A (元). (2)EF-20-2,EH=30-2,-2号(BH+ 的最大商度是475m(2)当x=4时，)=-子×4+3x AD)x20+2:号(GH+CD)x:60+EF-EH:40,得=(30 4+1=3.4,.这次表演成功. +30-2x)·x·20+(20+20-2x)·x·60+(30-2x)(20-2x)· 6.解：(1)如图，过点D作DE⊥AB于点E,则 40=-400x+24000(0<x<10).(3)由题意，得S甲=2· △ADE△ABD.,AD产=AEAB.AE=.DC=AB- (EH+AD)x=(30+30-2x)x=-22+60x,同理S乙=-2 24E=2-x2.y=-x2+2x+4.(2)y=-x2+2x+4=-(x-1)2+ +40x..·甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120m, 5,.当=1时，y最大=5 .-2x2+60x-(-2x2+40x)≤120.解得x≤6.故0<x≤6. y=-400x+24000,k=-400<0,y随x的增大而减小， .当x=6时，y的最小值为21600.∴.三种花卉的最低 种植总成本为21600元. 10.解：(1)由题意，A0=17m,A(0,17). 又OC=100m,缆索L的最低点P到FF的距离PD= 2m,∴.抛物线的顶点P的坐标为(50,2)..设抛物 第6题答图 第7题答图 线的表达式为y=a(x-50)2+2.将A(0,17)的坐标代入 3 7.解：如图，延长HG,KG分别交AD,AB于点 抛物线的表达式中，得2500a+2=17.a=500缆索 M,N.(1)G是EF的中点，MG=AE=30m, 4所在揽物线的表达式为y0-50+2。(②)：缆 GN=7FM=20m..SE形ac=HG·KG=(200-30)×(160- 索L,所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称， 20)=23800(m2).(2)设MG=xm,则GH=(200- 且缆索L所在抛物线为y广300(x-50)+2,缆素L4 )m由△1E△MG得FM号m,M=40子m 所在抛物线为y=写0x+50+2.又令y-26,2.6 (0≤≤605em=(20-)l60-(40-号到]-子+ 0+50+2解得=-40，=-60.又：0<0D-50m, 209